Итак, теперь покажу вам мои любимые экземпляры из моей коллекции. Все фотографии высокого разрешения, чтобы вы могли их увеличить.
Логарифмическая линейка «Симплекс» с основными шкалами:
Простая, высококачественная бамбуковая линейка «Симплекс» из моей коллекции На изображении выше — очень простая линейка «Симплекс» марки Hemmi. Линейка «Симплекс» имеет минимальные шкалы (A, B), (C, D), CI, K, L, S, T. Названия шкал на всех логарифмических линейках XX века, даже на советской линейке 1940-х годов из моей коллекции, всегда стандартны и означают одно и то же. Я никогда не видел отклонений.
Я сгруппировал шкалы A и B, а также C и D вместе, так как каждая пара представляет собой идентичные логарифмические шкалы. Эти шкалы сдвигаются относительно друг друга для выполнения основной функции умножения, о которой мы говорили. C/D — это квадратичная версия A/B; то есть C/D идет от 1 до 100, тогда как A/B — от 1 до 10. Пользователь может вычислять квадраты и квадратные корни, переходя между шкалами с помощью курсора. Нужно делить все на степень 10, чтобы привести операнды в диапазон, в котором их можно обрабатывать на логарифмической линейке, умножать значащие цифры операндов с помощью линейки и следить за степенью 10 в уме.
CI — это обратная шкала к C. Обратные и другие уменьшающиеся шкалы всегда красные, в то время как A, B, C, D увеличиваются.
K — кубическая шкала, идущая от 1 до 1000. Ее можно использовать вместе с A или B для вычисления кубов и кубических корней.
L — это шкала логарифмов. То есть она НЕ логарифмическая — она используется для вычисления логарифмов чисел на логарифмических шкалах. Поэтому это линейная, равномерно распределенная шкала на логарифмической линейке, идущая от 0 до 1, в то время как (A, B) идет от 1 до 10. Таким образом, она вычисляет логарифмы по основанию 10.
S и T — это тригонометрические функции синуса и тангенса. Косинусы вычисляются как синус 90º минус соответствующий угол. S и T являются «опциональными» — истинный «Симплекс» имеет всего семь шкал: (A, B), (C, D), CI, K, L, то есть все вышеперечисленные шкалы без тригонометрии.
В этой маленькой линейке Hemmi шкалы S, L и T находятся на обратной стороне: основная цель «Симплекс» — (A, B), (C, D), CI, K, L. Можно перевернуть линейку, чтобы считать синус, логарифм или тангенс с помощью курсора. Или вытащить ползунок, перевернуть его и вставить обратно для выполнения тригонометрических расчетов!
Типичные «высококлассные» линейки
Типичная максимальная сложность логарифмической линейки, достигнутая после 1930-х годов, включает в себя обширные шкалы для вычисления как тригонометрических, так и гиперболических функций. Тригонометрические (шкалы S и T1, T2 для синусов и тангенсов, как выше, косинусы вычисляются как синус 90º минус соответствующий угол) и гиперболические функции (шкалы Sh1, Sh2, Th и, возможно, Ch для гиперболических синусов, тангенсов и гиперболических косинусов) необходимы для многих ручных расчетов в электротехнике, особенно для анализа линий передачи (телеграфных) и физики.
Простым языком, требуется вычислять тригонометрические и экспоненциальные функции комплексных чисел в этих областях, и введение мнимых чисел превращает тригонометрические функции в гиперболические и наоборот. Затем используются тригонометрические формулы суммирования для нахождения тригонометрических функций общих комплексных значений. Таким образом, тригонометрические и гиперболические функции охватывают всю комплексную плоскость для тригонометрических и гиперболических функций.
Также часто встречаются шкалы LL — двойные логарифмические шкалы для вычисления e⁰’⁰¹ˣ (LL1), e⁰’¹ˣ (LL2) и eˣ (LL3).
Еще один чрезвычайно элегантный трюк — это складывающаяся шкала, такая как CF. Логарифмическая шкала, очевидно, нелинейна и «сжимается» для больших чисел. Поэтому точность чтения уменьшается для больших чисел. Входит в дело «Складывающаяся» шкала, логарифмическая шкала, которая начинается с коэффициента складывания k, который обычно равен √10 или 𝜋 (по совпадению, эти числа близки), вместо 1. Если нужно умножить x и y, ставите «1» на нескладывающейся шкале против вашего множимого x на складывающейся шкале. Затем переходите к y на нескладывающейся шкале и возвращаетесь к складывающейся шкале, чтобы прочитать ответ x y на складывающейся шкале. Это работает, потому что, если k — коэффициент складывания, позиция на нескладывающейся шкале равна log(x) — log(k) + log(y).
Поскольку складывающаяся шкала начинается с k вместо 1, число, прочитанное на этой позиции при возвращении к складывающейся шкале, компенсирует расстояние log(k). Это означает, что, когда ваш ответ находится в районе 10, вы читаете его в области логарифмической шкалы, которая имеет такое же количество сжатий, как обычная шкала на √10. Иными словами, числа гораздо менее сжаты и легче читаемы. Поскольку производная логарифма равна 1/x, вы увеличиваете точность чтения примерно в 3 раза!
Почти всегда в качестве коэффициента складывания использовалось 𝜋, а не теоретически оптимальное √10 (что давало бы наименьшую среднюю ошибку чтения по всему диапазону), потому что 𝜋 и √10 настолько близки, что нет заметной разницы с оптимальным условием. Более того, умножение на 𝜋 гораздо полезнее и чаще используется, чем умножение на √10, так что шкала служит также полезным, общим умножением с одного взгляда, без необходимости использования ползунка.
Высококлассная линейка обычно имеет около двадцати пяти шкал! Picket N4-ES имела 34 из них! Это несколько шкал LL, а также многие из очень полезных «складывающихся» версий: не только обычная CF, но и для обратных шкал.
Это в основном соответствует всем кнопкам на научных калькуляторах, которые пришли на смену логарифмическим линейкам между 1975 и примерно 2000 годом.
Контроль над хаосом…
Hemmi 255D выше имела 24 шкалы, а немецкая Aristo 0972 Hyperlog из моей коллекции — суперширокий пример с тридцатью одной шкалой! Picket N4-ES имела тридцать четыре из них! Это действительно стало немного неуправляемо: добавление шкал создает инструмент, настолько загроможденный, что надежное, точное чтение становится сложным, и наступает момент, когда добавление шкал снижает функциональность инструмента. Поэтому некоторые производители тщательно продумывали эргономику своих шкал: снижали количество шкал, сохраняя при этом полную функциональность самых мощных современных инструментов.
Специальные окна для просмотра различных функций с одного и того же настроения можно увидеть на одной из последних логарифмических линеек выше: Faber Castell Mathema 2/84 из Германии. Еще один метод, также использованный на Mathema, — использование специальных шкал, которые позволяют вычислять многие другие шкалы из одной шкалы. Например, √(x²-1) дает вам sinh из cosh и tanh из sech (обратная шкала к cosh). √(1 + x²) дает вам cosh из sinh и sech из tanh.
Mathema 2/84 крайне необычна тем, что использует математические символы для обозначения шкал, а не гораздо более непрозрачные (по моему мнению) буквенные обозначения шкал. Это может показаться очевидным эргономическим улучшением — использовать стандартные математические обозначения, но криптические универсальные буквенные обозначения, однако, оставляли максимум пространства для шкал без загромождения. Уменьшение загромождения на самом деле является основной эргономической задачей, поэтому, я думаю, все производители строго придерживались буквенного стандарта. И, конечно, производитель все еще хотел оставить место для своего бренда на своем инструменте!
Еще одной эргономической мерой было продуманное использование цвета. Немецкие производители Faber Castell и Aristo к концу эпохи логарифмических линеек использовали великолепные цветовые «акцентные полосы», которые действительно делали их линейки более понятными. Стандартное использование черного цвета для шкал, увеличивающихся слева направо, и красного для обратного также очень помогает. Faber Castell 2/83N выше была довольно хорошей попыткой разместить экстремальное количество шкал — двадцать девять! — которые все еще довольно легко читаемы. Это самая красивая логарифмическая линейка для просмотра.
Но ни одна из них, на мой взгляд, не сравнится с элегантностью моей следующей линейки.
Абсолютная эргономика вычислений
На мой взгляд, Hemmi абсолютно решила проблему профилирования шкал к 1938 году с помощью своей самой замечательной линейки 153, показанной выше. Существует также 20-дюймовая версия, которая у меня тоже есть, с двумя курсорами, называемая 154, которая, как говорят, была популярна в обсерваториях среди астрономов. У меня есть несколько 20-дюймовых линеек, но даже в эпоху популярности логарифмических линеек они были немного неудачны. Идея заключалась в том, чтобы дать вам еще одну значащую цифру в ваших расчетах, но устройство не было портативным, и если вам требовалась такая точность, скорее всего, вы бы использовали печатные таблицы и механический настольный калькулятор. Это, как бы, опровергает научно-фантастическую идею о том, что в будущем люди будут носиться с гигантскими длинными логарифмическими линейками! Даже мужчины не любили длинные логарифмические линейки и предпочитали удобство инструмента, который можно было бы носить в портфеле или, для мини-линек 6 дюймов, в кармане.
По качеству сборки и элегантности эргономики шкал, я думаю, был явный лидер в мире производства логарифмических линеек, и это была компания Hemmi из Японии. Девять шкал с каждой стороны, как в Hemmi 153 выше, — это действительно комфортное, малое количество — линейка немного шире обычного, поэтому она имеет такую же чистоту шкалы, как и простая семишкальная линейка Simplex. Но гениальность этой линейки заключается в том, чтобы сжать все возможные тригонометрические и гиперболические вычисления в шесть шкал. Одна шкала осталась после того, как были предложены стандартные логарифмические шкалы (три шкалы LL).
Тяжелые тригонометрические и гиперболические функции выполнялись с помощью шкал угла 𝜃 и радиана R, тангенса T и совершенно уникальных шкал Пифагоровой суммы P и Q с уникальной обратной функцией Гудермана G𝜃. Это единственное применение этой функции, которое я знаю на логарифмических линейках.
Функция Гудермана y = gd(x) превращает тригонометрические функции в гиперболические и наоборот через свое определение:
Из этого определения и небольшого математического танца для tan(gd(G)), что фактически является числом, прочитанным на шкале T (tan), мы обнаруживаем, что число на шкале tan на самом деле sinh(G). Таким образом, начинаете на шкале G, переходите к T, и число, которое вы читаете на шкале T, — это sinh(G), а также tan(𝜃). Переверните линейку и перейдите к шкале P, и число, которое вы читаете, — это sin(gd(G)), что, по нескольким тригонометрическим идентичностям, оказывается tanh(G), а также sin(𝜃). Два движения курсора и четыре взгляда, у вас есть tan, sinh, sin и tanh для одного и того же числа, все из трех шкал.
Функция Гудермана также имеет простые и элегантные правила сложения аргументов, как и тригонометрические функции, поэтому легко использовать шкалу G для вычисления функции Гудермана для всей комплексной плоскости.
Теперь замечательные Пифагоровы шкалы. P и Q показывают не только sin(𝜃). Они расположены так, что числа, показанные на P и Q, а именно sin(𝜃) = tanh(G), пропорциональны квадратному корню от длины позиции на шкале. Это означает, что если вы используете две шкалы P и Q для сложения P+Q с помощью механизма ползунка (как вы делали при умножении двух чисел, складывая их логарифмические длины), число z на этой шкале будет соответствовать z=√(P²+Q²). Иными словами, вы используете эти две шкалы для нахождения сумм и разностей по Пифагору.
Это очень полезно само по себе, но также означает, что вы можете вычислить дополнение по Пифагору с простым вычитанием: таким образом, мы получаем как cos(𝜃) = √(1 — sin(𝜃)²), так и √(1 — tanh(G)²) = 1/cosh(G). Вы выполняете этот расчет так, чтобы ваш результат 1/cosh(G) оказался на шкале Q (на ползунке): ставите курсор на результат, переворачиваете линейку, чтобы прочитать ее обратное значение cosh(G) на обратной шкале CI. Одно движение линейки, три движения курсора и шесть взглядов дают нам все шесть значений cos, sin, tan, cosh, sinh и tanh. Одно движение линейки, три движения курсора и двенадцать взглядов дают нам все двенадцать значений cos, sec, sin, cosec, tan, cot, cosh, tech, sinh, csch, tanh и coth из шести, комфортно расположенных шкал.
Типичные физические расчеты с тригонометрическими функциями в комплексной плоскости означают, что вам часто нужно вычислять эти функции в пакете, включая большинство тригонометрических и гиперболических функций для каждого комплексного числа, так что в этих случаях линейка предоставляет вам нужные пакеты!
Это звучит сложно, но с практикой это становится автоматическим и не более сложным, чем чтение с шести или двенадцати отдельных шкал некоторых линеек, на которых все тригонометрические и гиперболические функции показаны явно. И, поскольку вы сосредотачиваетесь на шести смежных шкалах, я думаю, что это гораздо менее подвержено ошибкам, чем линейки, которые используют вдвое больше шкал.
Шкала Q' не используется для тригонометрии. Она просто расширяет шкалу Q и таким образом увеличивает «динамический диапазон» intrinsically useful Пифагоровой суммы z=√(P²+Q²).
Я чрезвычайно впечатлен продуманностью эргономики и дизайна, вложенными в этот самый элегантный, красивый маленький инструмент.
Знаменитая проблема эпохи
Просвещения Функция Гудермана имеет огромное историческое значение. Действительно, если бы вы могли записать ее в XVII веке, Британский флот был бы готов выплатить вам премию. Обычно премия Британского флота представляла собой награду за «голову» вражеского корабля, а не человека. «Разыскивается — за ошибочное блокирование каналов»! Но после того, как известный голландский картограф Герардус Меркатор опубликовал свою знаменитую проекцию карты с уникальным свойством, что линии румба были прямыми (линии, следующие по постоянному курсу), все хотели знать, каким был интеграл от sec(𝜃), чтобы они могли повторно и дешево чертить эту карту в эпоху Просвещения, связанную с мореплаванием, колонизацией и торговлей. Это была математическая проблема, которая занимала лучших математиков Европы. Потому что функция Гудермана определяет, где идут линии широты на проекции Меркатора. Плавание по большому кругу было бесполезной идеей, даже если теоретически это было кратчайшее расстояние, потому что морякам нужны были пути, которые они могли бы легко следовать с простыми и точными инструментами, и румб был абсолютно необходим как легкий для навигации маршрут.
Удивительно, что интеграл, который вы можете попросить Mathematica выдать вам за несколько миллисекунд сегодня, мог бы сделать ваше состояние на всю жизнь и устроить вас в качестве члена аристократии в 1600-х годах!
Австралия никогда не производила много сама по себе. Любое квалифицированное производство, которое появлялось, как это было в Англии в годы правления Тэтчер, не имело политической поддержки и было продано за копейки и закрыто в экономической мудрости лидеров моей родины. Но нарушения в Антиподах из-за войн и других торговых блокад иногда порождали интересные инструменты, рожденные из необходимости.
White and Gillespie были мелбурсской фирмой по производству печатных принадлежностей, основанной в 1910-х годах двумя стереотипистами, которые перешли от своей профессии к ее снабжению. Они также производили виниловые пластинки, но главным образом для записи и распространения предварительно записанных радиошоу для повторных региональных трансляций. Их навыки были отмечены австралийским правительством Лейбористской партии под руководством Кёртина, стремившимся снизить уязвимость Австралии к зависимости от специализированного импорта в годы конфликта. W&G были привлечены для производства логарифмических линеек для австралийской армии в начале Второй мировой войны. Это была грандиозная идея, но запуск был медленным и начался только в 1945 году!
Следовательно, австралийские правила W&G — это правила Simplex, но с специальными шкалами, предназначенными для нужд военных инженеров. 432 выше называется «комплексным», это самое близкое, что можно получить к правилу, которое хотели бы использовать обычные технические специалисты, и это правило, которое большинство гражданских лиц в Австралии покупали. Оно было на самом деле разработано для военных электрических инженеров и включало шкалы для электрических расчетов, связанных с потребностями электрических двигателей и генераторов, что действительно важно для полевых военных установок, но также имело все полезные шкалы, необходимые обычным гражданским лицам. В других правилах, таких как 443 и 454, добавленные шкалы предназначались для таких вычислений, как артиллерийские расчеты дальности, военное горное дело и подрывные работы.
Я немного устала от устаревших крутых гаджетов! Я склонна любить те, которые были в прошлом, потому что я не любительница гаджетов, и что-то элегантное должно привлечь мое внимание. Логарифмическая линейка определенно обладает этой элегантностью. А теперь, как насчет гаджета, изобретенного в начале двадцатого века, который до сих пор остается на высоте...