Как научиться решать текстовые задачи?
Вы слышали такую фразу : «страх чистого листа»? Такое чувство возникает у начинающих художников, когда они собираются начать писать картину. Это чувство связано с тем, что не ясно с чего же начать. Подобное возникает и у школьников при встрече с текстовой задачей. Почему ребята, неплохо решающие уравнения, легко запоминающие различные алгоритмы, не справляются с «Из пункта А в пункт В выехал автомобиль...»? А ведь такие задачи - это классика школьной программы, они представлены во всех типах экзаменов по математике: в ОГЭ, в ЕГЭ по базовой, и, конечно, в ЕГЭ по профильной математике. Вряд ли когда-нибудь экзамен изменят так, что из него исчезнут текстовые задачи.
Ответ на вопрос выше прост. У школьников способность анализировать текст задачи и выполнять его «перевод» с русского языка на математический развивается постепенно и не у всех быстро. Иногда в этом требуется дополнительная помощь. Эта статья посвящена правилам, которые мы формулируем для ребят на занятиях. Такие правила, пусть даже они работают не везде и не всегда (об этом конечно необходимо упомянуть), помогают перекинуть мостик между текстом задачи и тетрадным листом.
Пример 1.
Расстояние между городами A и B равно 500 км. Из города A в город B выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города B со скоростью 80 км/ч выехал второй автомобиль. Найдите скорость первого автомобиля, если они встретились на расстоянии 260 км от города A. Ответ дайте в км/ч.
Выполним рисунок, чтобы разобраться в условии задачи.
Эту задачу можно решить по действиям не вводя переменную.
Решение.
Ответ: 65.
Пример 2.
Автомобиль выехал с постоянной скоростью 70 км/ч из города А в город В, расстояние между которыми равно 350 км. Одновременно с ним из города С в город В, расстояние между которыми равно 399 км, с постоянной скоростью выехал мотоциклист. По дороге он сделал остановку на 15 минут. В результате автомобиль и мотоцикл прибыли в город В одновременно. Найдите скорость мотоциклиста (в км/ч).
Делаем рисунок.
Эту задачу можно решить без уравнения.
1) Найдём время, за которое автомобиль доехал из А в В.
2) Мотоциклист был в пути из С в В столько, сколько автомобиль был в движении, значит мотоцикл двигался на 15 минут меньше. 15 минут - это 15/60, то есть 1/4 часа. Вычтем из времени автомобиля 1/4 и получим время движения мотоцикла в часах.
3) Разделим расстояние, которое преодолел мотоциклист, на полученное время и таким образом найдём скорость.
Решение.
Ответ: 84.
Пример 3.
Дорога между пунктами А и В состоит из подъёма и спуска, а её длина равна 8 км. Путь из А в В занял у туриста 5 часов, из которых 1 час ушёл на спуск. Найдите скорость туриста на спуске, если она больше скорости на подъёме на 3 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Рисунок.
Нам не известны отдельно длины подъёма и спуска, поэтому мы не можем найти какую-либо величину не вводя переменную. И здесь встаёт вопрос: ЧТО брать за переменную?
Конечно, многие учителя могут возмутиться, сказав, что это далеко не везде работает. Да, это так. Но друзья, в чем наша цель? Наша цель в том, чтобы тот, у кого есть страх чистого листа, преодолел его и этот кто-то хотя бы НАЧАЛ думать над задачей. Конечно, учителю стоит начать обучать решению задач именно с таких задач, где это правило работает, а ученику пробовать пользоваться этим правилом. Итак, в нашей задаче требуется найти скорость на спуске, её мы за x и обозначим.
Пусть скорость на спуске x км/ч. По условию она больше, чем скорость на подъёме, а значит скорость на подъёме меньше на 3 км/ч, то есть равна ( x－3) км/ч. Время на спуске по условию 1 ч. Общее время 5 ч, значит подъём занял 5－ 1= 4 часа.
Теперь мы можем составить классическую для текстовой задачи таблицу.
Значит, длина подъёма: 4(x－3), длина спуска: 1x, что в сумме по условию равно 8.
Значит, скорость на спуске составляла 4 км/ч.
Ответ: 4.
Пример 4.
Два человека отправляются из одного дома на прогулку до опушки леса, находящейся в 4,4 км от дома. Один идёт со скоростью 2,5 км/ч, а другой — со скоростью 3 км/ч. Дойдя до опушки, второй с той же скоростью возвращается обратно. На каком расстоянии от дома произойдёт их встреча? Ответ дайте в километрах.
Сделаем рисунок и проанализируем его.
Пусть встреча произойдёт на расстоянии x км от дома.
Тогда первый до встречи пройдёт x км, а второй человек от Д до О 4,4 км и от О до места встречи ещё (4,4 － x) км на обратном пути, то есть всего
(4,4 ＋ 4,4 － x) км. Скорости нам известны.
Нам известно, что
В таблице выражаем время в каждой строке по этой формуле через величины, записанные в той же строке.
Получаем:
Время, которое они затратили, одинаково, поэтому
Воспользуемся свойством пропорции (или приведём дроби к общему знаменателю):
Используем распределительный закон умножения (раскрываем скобку «фонтанчиком»):
Значит, встреча произойдёт на расстоянии 4 км.
Ответ: 4.
Пример 5.
Два велосипедиста одновременно отправились в 220-ти километровый пробег. Первый ехал со скоростью на 9 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 9 часов раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым. Ответ дайте в км/ч.
Пусть скорость первого велосипедиста x км/ч.\
Оба велосипедиста должны были проехать 220 км.
Рассуждаем дальше. В задаче сказано что первый ехал со скоростью на 9 км/ч большей и мы уже обозначили его скорость за х. Но тогда второй ехал со скоростью на 9 км/ч меньшей, а, значит, скорость второго велосипедиста
(x － 9) км/ч. Эти мысли можно записывать или они могут быть «в уме», но итогом является ещё одна заполненная графа таблицы.
Что же дальше? Мы внесли в таблицу известное расстояние, ввели переменную и выразили ещё одну неизвестную величину через эту переменную. Теперь нам остаётся заполнить пустые ячейки таблицы.
Применяем второе правило текстовых задач: выражаем время.
Для того, чтобы составить уравнение, отправляемся снова в текст задачи. Ищем в нём предложение, которое мы ещё не использовали. Первый прибыл к финишу на 9 часов раньше второго. Что значит «раньше»? Переводим с русского на математический. В математическом языке «раньше» = «потратил меньше времени». То есть, первый велосипедист, который ехал с большей скоростью, потратил меньше времени на движение, а второй больше, при этом нам известно, что разница равна 9 часам.
У нас получилось дробно-рациональное уравнение. Перенесём всё в левую часть и приведём обе части к общему знаменателю:
Воспользуемся равносильным переходом:
Отдельно решим квадратное уравнение.
(－11) не является решением задачи, так как скорость не может быть отрицательной. Значит, скорость первого велосипедиста 20 км/ч.
Натуральные делители числа 220: 1; 2; 4; 5; 10; 11; 20; 22; 44; 50; 55; 220.
Выберем из них два числа, таких, чтобы они отличались на 9 и разность дробей при этих знаменателях так же была равна 9.
Подходят 20 и 11
220 : 11 = 20 и 220 : 20 = 11. 20 － 11 = 9.
Значит, х = 20, а х － 9 = 11.
Ответ: 20.
Пример 6.
Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 27 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 1 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в исходный пункт теплоход возвращается через 32 часа после отправления из него. Сколько километров прошёл теплоход за весь рейс?
В этой задаче мы не будем придерживаться первого правила и обозначим за x расстояние между пунктами, а найти и записать в ответ нам нужно будет 2x.
Пусть расстояние между пунктами x км.
По условию теплоход вернулся через 32 часа после своего отправления, но 5 часов он находился на стоянке, значит, общее время движения теплохода 32－5 = 27 часов. Из таблицы общее время - это сумма дробей x/28 и x/26, следовательно
Не будем сразу бросаться в вычисления столбиком. Поступим так:
Мы не выполняли умножение двузначных чисел в знаменателе, при выражении переменной пользовались правилом нахождения неизвестного множителя в произведении, но тоже ничего не считали.
Вместо громоздких вычислений нам остаётся только сократить последнюю дробь
и всего один раз выполнить умножение
Вспоминаем, что в ответ мы должны записать 2x
Значит, теплоход прошёл за весь рейс 728 км.
Ответ: 728.
Задачи для самостоятельного решения.
1) Расстояние между городами A и B равно 470 км. Из города A в город B выехал первый автомобиль, а через 3 часа после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 60 км/ч второй автомобиль. Найдите скорость первого автомобиля, если автомобили встретились на расстоянии 350 км от города А. Ответ дайте в км/ч.
2) Автомобиль выехал с постоянной скоростью 90 км/ч из города А в город В, расстояние между которыми равно 270 км. Одновременно с ним из города С в город В, расстояние между которыми равно 162 км, с постоянной скоростью выехал мотоциклист. По дороге он сделал остановку на 45 минут. В результате автомобиль и мотоцикл прибыли в город В одновременно. Найдите скорость мотоциклиста. Ответ дайте в км/ч.
3) Дорога между пунктами А и В состоит из подъёма и спуска, а её длина равна 19 км. Путь из А в В занял у туриста 13 часов, из которых 6 часов ушло на спуск. Найдите скорость туриста на спуске, если она больше скорости на подъёме на 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
4) Два человека отправляются из одного дома на прогулку до опушки леса, находящейся в 1,5 км от дома. Один идёт со скоростью 2,2 км/ч, а другой — со скоростью 4,4 км/ч. Дойдя до опушки, второй с той же скоростью возвращается обратно. На каком расстоянии от точки отправления произойдёт их встреча? Ответ дайте в километрах.
5) Два велосипедиста одновременно отправились в 96-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 4 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 4 часа раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.
6) Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 15 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 3 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в исходный пункт теплоход возвращается через 25 часов после отплытия из него. Сколько километров проходит теплоход за весь рейс?
Ответы:
1) 70;
2) 72;
3) 2;
4) 1;
5) 8;
6) 288.