Задание: Найдите все значения параметра a, при которых уравнение имеет хотя бы одно решение на промежутке [0, п/2].
Если хотите, можете решить задание самостоятельно, а затем сравнить в приведенным здесь решением.
Хотя поначалу задание может казаться трудным, оно на самом деле относительно легкое. Можно найти несколько вариантов решения, мы здесь разберем вариант замены переменной. Но не будем с этим торопиться.
1. Поскольку мы имеем алгебраическое выражение в знаменателе, нужно "перестраховаться" по поводу того, чтобы знаменатель не был равен нулю. То есть нужно понять, когда либо и синус и косинус равны нулю одновременно (а этого, слава Богу, в нашей Вселенной не бывает), либо второй вариант - понять когда синус равен минус косинусу. Это вполне может случиться. Нам в помощь - тригонометрический круг.
Синус и косинус равны по модулю при значениях t=(п/4)+пk/2 (k-целые числа). При этом они имеют противоположные знаки во второй и четвертой четвертях единичной окружности. Как видим, точки, которые "нужно" выкалывать, не входят в наш интервал. Так что опять нам повезло.
2. Преобразование и упрощение. Давайте попробуем иначе записать наше уравнение, домножив обе части на знаменатель.
По-моему, самое простое, что можно сделать - произвести замену переменных. Так как тогда мы получим линейное уравнение (с соответственными ограничениями), более того, мы будем знать, что новые переменные будут, по-сути, удовлетворять основному тригонометрическому тождеству.
3. Замена переменной и равносильная система. Пусть sint=x, cost=y, тогда запишем систему, учитывая все данные.
4. Графическая интерпретация. Мы видим, что уравнение с квадратами - это уравнение окружности радиуса 1. Второе уравнение - это уравнение прямой. Поскольку "икс" и "игрек" неотрицательны (в силу того, что углы "t" у нас находятся в первой четверти), то пересечение графика линейной функции и окружности должно произойти в 1-м квадранте системы координат.
Разделив обе части уравнения линейной функции на "три", получим уравнение прямой, которая, казалось бы, может находиться где угодно. Но это не совсем так. Давайте проанализируем.
Поскольку и синус, и косинус положительны, коэффициент a обязан быть положительным. А, следовательно, прямая y=ax+(5/3)a во-первых, имеет положительный коэффициент наклона (функция возрастает), а во-вторых, она пересекает ось ОУ в начале координат или выше.
Таким образом, "нижнее" возможное пересечение прямой и окружности - это точка (1,0), и это происходит при а=0. А "верхнее" из возможных пересечений произойдет в точке (0,1), когда а=3/5.
Следовательно, решением задачи будут следующие значения параметра:
На этом всё.
- Поделитесь, какие еще видите пути решения?
- Есть ли, на ваш взгляд более простые или более интересные варианты?
Заранее спасибо за ваш интерес!