©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Авторы: И. В. Ященко, С. А. Шестаков
Содержание:
1.2 Равносторонний и равнобедренный треугольники. Уровень А. Уровень B. Уровень C.
🟢Уровень A
№1
а)
📝Решение
Внешний угол при вершине C равен сумме углов при вершинах A и B, а также угол при вершине A равен внутреннему углу C, смежному с углом в 124°. Тогда угол при вершине B равен 124° - (180° - 124°) = 68°.
✅Ответ: 68°
б)
📝Решение
Аналогично решению в пункте а:
угол при вершине B равен 123° - (180° - 123°) = 66°.
✅Ответ: 66°
№2
а)
📝Решение
Искомый угол смежный с внутренним углом A равным (180° - 48°)/2; тогда искомый угол равен 180° - (180° - 48°)/2 = 180° - 66° = 114°.
✅Ответ: 114°
б)
📝Решение
Аналогично, поскольку искомый угол смежный с внутренним углом A, то он равен 180° - (180° - 128°)/2 = 154°
✅Ответ: 154°
№3
а)
📝Решение
Высота в равностороннем треугольнике равна произведению стороны на синус 60°. Тогда h = 14√3 * √3/2 = 21.
✅Ответ: 21
б)
📝Решение
Сторона равностороннего треугольнике равна частному высоты и синусу 60°. Тогда a = 13√3 / (√3/2) = 26.
✅Ответ: 26
№4
а)
📝Решение
P△ABC = 3a = 126; отсюда a = 42. Средняя линия равна половине основания, которому она параллельна ⇒ средняя линия равна 42/2 = 21.
✅Ответ: 21
б)
📝Решение
P△ABC = 3a = 126; отсюда a = 14√3.
h = 14√3 * √3/2 = 21.
✅Ответ: 21
№5
а)
📝Решение
По свойству правильного треугольника медиана BM = AH = 6
✅Ответ: 6
б)
📝Решение
По свойству правильного треугольника биссектриса CK = AH = 6
✅Ответ: 6
№6
а)
📝Решение
В равностороннем треугольнике высота является и биссектрисой, и медианой. И соответственно, наоборот. Отсюда искомый угол равен сумме половин углов A и B, то есть угол между высотой AH и медианой BM равен 60°.
✅Ответ: 60°
б)
📝Решение
Аналогично, угол между биссектрисой CK и высотой AH равен сумме половин углов A и C, то есть равен 60°
✅Ответ: 60°
№7
а)
📝Решение
Поскольку экраны расположены вертикально, то они параллельны; отсюда треугольники подобны по 2-ум углам. Тогда расстояние ρ до экрана B равно 250 * 160/80 = 500.
✅Ответ: 500
б)
📝Решение
Аналогично из-за подобия треугольников, расстояние ρ до экрана B равно 300 * 180/90 = 600.
✅Ответ: 600
№8
а)
📝Решение
В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, является медианой и биссектрисой; отсюда по т. Пифагора высота равна √(30^2 - 18^2) = √576 = 24.
✅Ответ: 24.
б)
📝Решение
Аналогично высота равна √(25^2 - 20^2) = √225 = 15.
✅Ответ: 15.
№9
а)
📝Решение
В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, является медианой и биссектрисой; отсюда по т. Пифагора боковая сторона равна √(30^2 + 16^2) = √1156 = 34.
✅Ответ: 34.
б)
📝Решение
Аналогично боковая сторона равна √(40^2 + 30^2) = √2500 = 50.
✅Ответ: 50.
№10
а)
📝Решение
Площадь равностороннего треугольника равна (а^2 * √3)/4, где а - сторона треугольника. Тогда S = (5^2 * √3)/4 = 25√3/4.
✅Ответ: 25√3/4.
б)
📝Решение
Площадь треугольника равна ah/2, где а - сторона и h - высота треугольника; сторона a = h/sin 60°; Тогда S = (h^2)/2sin 60° = 9/√3 = 3√3.
✅Ответ: 3√3.
№11
а)
📝Решение
В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, является медианой и биссектрисой; отсюда по т. Пифагора боковая сторона равна 2 * √(10^2 - 6^2) = 2 * 8 = 16; тогда S = 1/2 * 6 * 8 = 24.
✅Ответ: 24.
б)
📝Решение
В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, является медианой и биссектрисой; отсюда по т. Пифагора высота, проведённая к основанию, равна √(13^2 - 12^2) = √25 = 5; тогда S = 1/2 * 5 * 24 = 60.
✅Ответ: 60.
№12
а)
📝Решение
Пусть угол при основании равен α; cos α = 3/7 ⇒ sin α = √(1 - 9/49) = 2√10/7. Опустим высоту h на основание, она разделит её на 2 равные части, каждая из которых равна 14 * cos α = 14 * 3/7 = 6; тогда основание равно 12. Высота h = 14 * sin α = 14 * 2√10/7 = 4√10. Получаем, S = 1/2 * 4√10 * 12 = 24√10.
✅Ответ: 24√10.
б)
📝Решение
Пусть угол при основании равен α; sin α = 2/5 ⇒ cos α = √(1 - 4/25) = √21/5; Тогда ctg α = (√21/5)/(2/5) = √21/2. Опустим высоту h на основание, она разделит её на 2 равные части, каждая из которых равна 6 * ctg α = 6 * √21/2 = 3√21; тогда основание равно 6√21. Получаем, S = 1/2 * 6 * 6√21 = 18√21.
✅Ответ: 18√21.
🟡Уровень B
№1
📝Решение
△A'AC ~ △BB'C по двум углам, отсюда BC : AC = BB' : AA' = 2 : 1. Пусть AB = BC = 2x, тогда AC = x; AB' = B'C = AC/2 = x/2 по св-у равнобедренного треугольника. По т. Пифагора BB'^2 = 4x^2 - (x^2)/4 = (15x^2)/4. Отсюда получаем:
(15x^2)/4 = 6^2
15x^2 = 36 * 4
x = √(36 * 4 / 15) = 6 * 2/√15 = 12√15/15 = 4√15/5.
✅Ответ: 4√15/5.
б)
📝Решение
△A'AC ~ △BB'C по двум углам, отсюда BC : AC = BB' : AA' = 5 : 2. Пусть AB = BC = 5x, тогда AC = 2x; AB' = B'C = AC/2 = x по св-у равнобедренного треугольника. По т. Пифагора BB'^2 = 25x^2 - x^2 = 24x^2. Отсюда получаем:
24x^2 = 100
x = √(100/24) = 10/2√6 = 5√6/6
S△ABC = 1/2 * BB' * AC = 1/2 * 2x√6 * 2x = 1/2 * 2√6 * 5√6/6 * 2 * 5√6/6 = 25√6/3.
✅Ответ: 25√6/3.
№2
а)
📝Решение
Пусть ∠A'AB = ∠A'AC = α. В прямоугольном △OAB': AB' = 3 * ctg α; В прямоугольном △BB'A: AB' = 8 * ctg α. Отсюда получаем:
3ctg α = 8ctg 2α
3ctg α = 8(ctg^2 α - 1)/2ctg α | обозначим ctg α за х
3x = 8(x^2-1)/2x | * x ≠ 0
3x^2 = 4x^2 - 4
x^2 = 4
x = 2 (x > 0)
ctg α = 2
AB' = 3 * ctg α = 3 * 2 = 6; AC = 2*AB' = 12.
S△ABC = 1/2 * BB' * AC = 1/2 * 8 * 12 = 48.
✅Ответ: 48.
б)
📝Решение
Пусть ∠A'AB = ∠A'AC = α. В прямоугольном △OAB': AB' = 4 * ctg α; В прямоугольном △BB'A: AB' = 9 * ctg 2α. Отсюда получаем:
9ctg 2α = 4ctg α
9(ctg^2 α - 1)/2ctg α = 4ctg α | обозначим ctg α за х
9(x^2 -1)/2x = 4x | *2x ≠ 0
9(x^2 - 1) = 8x^2
x^2 = 9
x = 3 (x>0)
ctg α = 3
AB' = 4 * ctg α = 4 * 3 = 12; AC = 2*AB' = 24.
S△ABC = 1/2 * BB' * AC = 1/2 * 9 * 24 =108.
✅Ответ: 108.
№3
а)
📝Решение
Точка пересечения серединных перпендикуляров - центр описанной окружности треугольника ⇒ треугольник △ABC - прямоугольный; по условию △ABC - равнобедренный с AC = CB = 5, тогда S△ABC = 1/2 * 5 * 5 = 12,5.
✅Ответ: 12,5.
б)
📝Решение
Точка пересечения серединных перпендикуляров - центр описанной окружности треугольника ⇒ треугольник △ABC - прямоугольный; по условию △ABC - равнобедренный с AC + CB = 6, где AC = CB; тогда AC = CB = 3. S△ABC = 1/2 * 3 * 3 = 4,5.
✅Ответ: 4,5.
🔴Уровень C
№1
а)
📝Решение
Всего существует 4 варианта истинности утверждений:
- истина, истина, истина, ложь
- истина, истина, ложь, истина
- истина, ложь, истина, истина
- ложь, истина, истина, истина
Рассмотрим все варианты поочерёдно:
- Треугольник △ABC - равнобедренный прямоугольный, то есть с углами 90°, 45°, 45°. Тогда не выполняется условие №3, так как 90° + 45° > 132°.
- Треугольник △ABC - равнобедренный прямоугольный, то есть с углами 90°, 45°, 45°. Тогда не выполняется условие №4, так как нет угла 80°.
- Треугольник △ABC - равнобедренный с углом 80°. Тогда данный вариант разбивается ещё на 2 случая: либо угол при основании равен 80°, либо угол при вершине противолежащей основанию равен 80°. В первом случае не выполняется условие №3, так как 80° + 80° > 132°; во втором случае выполняются все условия, углы равны 80°, 50° и 50°
- Треугольник △ABC - прямоугольный с углом 80°. Тогда не выполняется второе условие, так как 90° + 80° > 132°.
✅Ответ: 80°, 50°, 50°.
б)
Всего существует 4 варианта истинности утверждений:
- истина, истина, истина, ложь
- истина, истина, ложь, истина
- истина, ложь, истина, истина
- ложь, истина, истина, истина
Рассмотрим все варианты поочерёдно:
- Треугольник △ABC - равнобедренный прямоугольный, то есть с углами 90°, 45°, 45°. Тогда не выполняется условие №3, так как 90° + 45° > 126°
- Треугольник △ABC - равнобедренный прямоугольный, то есть с углами 90°, 45°, 45°. Тогда не выполняется условие №4, так как нет угла 70°.
- Треугольник △ABC - равнобедренный с углом 70°. Тогда данный вариант разбивается ещё на 2 случая: либо угол при основании равен 70°, либо угол при вершине противолежащей основанию равен 70°. В первом случае не выполняется условие №3, так как 70° + 70° > 126°; во втором случае выполняются все условия, углы равны 70°, 55° и 55°
- Треугольник △ABC - прямоугольный с углом 70°. Тогда не выполняется второе условие, так как 90° + 70° > 126°.
✅Ответ: 70°, 55° и 55°.
№2
а)
📝Решение
△AA'M ~ △BB'M по 2-ум углам (∠AA'M = ∠BB'M = 90°, ∠AMA' = ∠BMB' как вертикальные), тогда AM/BM = AA'/BB' = 1/7; Пусть AM = x, тогда MB = 7x, отсюда AC = CB = 8x.
В △CAM по т. косинусов: CM = √(64x^2 + x^2 - 2 * 8x * x * 1/2) = √57x^2 = x√57;
В △MCB по т. косинусов: cos∠MCB = (57x^2 + 64x^2 - 49x^2)/(2 * x√57 * 8x) = (72x^2)/(16√57 * x^2) = 9/2√57. sin∠MCB = √(1 - 81/235) = √(147/228) = √(49/76) = 7/2√19.
В прямоугольном △BB'C: BC * sin∠MCB = BB', то есть
8x * 7/2√19 = 7
8x = 2√19
✅Ответ: 2√19.
б)
📝Решение
△AA'M ~ △BB'M по 2-ум углам (∠AA'M = ∠BB'M = 90°, ∠AMA' = ∠BMB' как вертикальные), тогда AM/BM = AA'/BB' = 2/5; Пусть AM = 2x, тогда MB = 5x, отсюда AC = CB = 7x.
В △CAM по т. косинусов: CM = √(49x^2 + 4x^2 - 2 * 7x * 2x * 1/2) = √(39x^2) = x√39;
В △MCB по т. косинусов: cos∠MCB = (39x^2 + 49x^2 - 25x^2)/(2 * x√39 * 7x) = (63x^2)/(14√39 * x^2) = 9/2√39. sin∠MCB = √(1 - 81/156) = √(75/156) = √(25/52) = 5/2√13.
В прямоугольном △BB'C: BC * sin∠MCB = BB', то есть
7x * 5/2√13 = 5
7x = 2√13
✅Ответ: 2√13.
№3
а)
📝Решение
Пусть ∠B = ∠C = α, тогда ∠A = 180°-2α. В △BAM по т. косинусов: BM^2 = 81 + 9 - 2 * 9 * 3 * cos(180°- 2α) = 90 + 54cos(2α). В △BCM по т. косинусов: BM^2 = 36 + 36 - 2 * 6 * 6 * cos α = 72 - 72cos α. Отсюда получаем:
90 + 54cos(2α) = 72 - 72cos α
54(2cos^2 (α) - 1) + 72cos α + 18 = 0 | : 18
6cos^2 (α) - 3 + 4cos α + 1 = 0
6cos^2 (α) + 4cos α - 2 = 0 | : 2
3cos^2 (α) + 2cos α - 1 = 0
3cos^2 (α) + 3cos α - cos α - 1 = 0
3cos α *(cos α + 1) - (cos α + 1) = 0
(cos α + 1)(3cos α - 1) = 0
cos α = -1 v cos α = 1/3
cos α = 1/3 (т.к. 0° < α < 90°)
Тогда BM^2 = 72 - 72 * 1/3 = 48 ⇒ BM = 4√3.
✅Ответ: 4√3.
б)
📝Решение
Пусть ∠B = ∠C = α, тогда ∠A = 180°-2α. В △BAM по т. косинусов: 256 + 16 - 2 * 16 * 4 * cos(180° - 2α) = 272 + 128cos(2α). В △BCM по т. косинусов: BM^2 = 64 + 64 - 2 * 8 * 8 * cos α = 128 - 128cos α. Отсюда получаем:
272 + 128cos(2α) = 128 - 128cos α | : 16
17 + 8cos(2α) = 8 - 8cos α
8(2cos^2 (α) - 1) + 8cos α + 9 = 0
16cos^2 (α) + 8cos α + 1 = 0
(4cos α + 1)^2 = 0
4cos α + 1 = 0
cos α = -1/4
Тогда BM^2 = 128 + 128/4 = 160 ⇒ BM = 4√10.
✅Ответ: 4√10.
№4
а)
📝Решение
S△ADC = 1/2 * AD * DC * sin(∠ADC); S△BDC = 1/2 * BD * DC * sin(∠BDC). Однако поскольку sin(∠ADC) = sin(∠BDC) (так как они смежные), то S△ADC/S△BDC = AD/BD = 4/(5/2) = 8/5.
Пусть AD = 8x, тогда BD = 5x и BC = 13x. По св-у биссектрисы BC/AC = BD/AD ⇒ AC = 13x * 8x/5x = 104x/5.
В △ABC по т. косинусов: cos(∠ACB) = ((104x/5)^2 + (13x)^2 - (13x)^2)/(2 * 104x/5 * 13x) = ((104x/5)^2)/(2 * 104/5 * 13 * x^2) = 104/(5 * 2 * 13) = 4/5; sin(∠ACB) = √(1 - (4/5)^2) = √(9/25) = 3/5.
S△ABC = 1/2 * AC * BC * 3/5 = 3/10 * 104x/5 * 13x; S△ABC = S△ACD + S△BCD = 13/2. Отсюда получаем:
3/10 * 104x/5 * 13x = 13/2 | * 2/13
x = √(25/(104 * 3)) = 5/2√78
Тогда AC = 104/5 * 5/2√78 = 52/√78 = 2√78/3.
✅Ответ: 2√78/3.
б)
📝Решение
S△ADC = 1/2 * AD * DC * sin(∠ADC); S△BDC = 1/2 * BD * DC * sin(∠BDC). Однако поскольку sin(∠ADC) = sin(∠BDC) (так как они смежные), то S△ADC/S△BDC = AD/BD = 12/(13/2) = 24/13.
Пусть AD = 24x, тогда BD = 13x и BC = 37x. По св-у биссектрисы BC/AC = BD/AD ⇒ AC = 37x * 24x/13x = 37*24x/13.
В △ABC по т. косинусов: cos(∠ACB) = ((37*24x/13)^2 + (37x)^2 - (37x)^2)/(2 * (37*24x/13) * 37x) = ((37*24x/13)^2)/(2 * (37*24x/13) * 37x) = 24/(2*13) = 12/13; sin (∠ACB) = √(1 - (12/13)^2) = √(25/169) = 5/13.
S△ABC = 1/2 * AC * BC * 5/13 = 1/2 * 37*24x/13 * 37x * 5/13 ; S△ABC = S△ACD + S△BCD = 37/2. Отсюда получаем:
1/2 * 37*24x/13 * 37x * 5/13 = 37/2 | * 2/37
1/2 * 37 * 24/13 * 5/13 * x^2 = 1
x^2 = (13^2)/(5 * 24 * 37)
x = 13/√(5 * 24 * 37)
Тогда AC = 37 * 24/13 * 13/√(5 * 24 * 37) = √(37 * 24)/√5 = 2√222/√5 = 2√1110/5.
✅Ответ: 2√1110/5.