Коротко: непонятно
Закон ничего не говорит по поводу животных в квартире, поэтому лучше прописать все нюансы в договоре, чтобы потом не было споров. В любом случае наниматель будет отвечать за весь ущерб, нанесённый квартире питомцем, даже если завёл его с согласия хозяина квартиры.