Многие называют М. К. Эшера гением сочетания математики и искусства. Его работы часто изображают фантастические образы, которые вводят в заблуждение и бросают вызов нашему восприятию пространства. Не все знают, что Эшер черпал многие свои художественные идеи из математики. Несмотря на отсутствие формального образования в области математики, Эшер проводил много времени, изучая математические статьи для вдохновения своей работы. Его основной формой искусства была резьба по дереву, но он также работал с литографией. Особенно часто встречаются изображения неевклидовых геометрий и мозаики. В этой статье я покажу вам некоторые его картины и расскажу о математике, которая их вдохновила.
«Мы обожаем хаос, потому что любим создавать порядок». — М. К. Эшер
Странная геометрия
Как художник, Эшер был очень заинтересован в демонстрации различных геометрических структур. Многие аспекты геометрии можно проследить до платоновых тел, которые интенсивно изучались древнегреческими математиками. В работе «Исследование звезд», показанной ниже, Эшер демонстрирует различные трехмерные формы. Некоторые из этих форм — платоновы тела, другие — нет. Мне нравится это произведение, потому что оно действительно показывает, насколько велик Эшер в демонстрации сложных структур с разных точек зрения.
Эшер также интересовался другими типами геометрии, которые не являются стандартными. Многие его резьбы по дереву — попытки визуализировать так называемую гиперболическую геометрию. Эта геометрия очень близка к обычной евклидовой геометрии, за исключением того, что она не допускает параллельные линии в обычном смысле этого слова. Гиперболическая геометрия является основой специальной теории относительности и стала очень важным математическим конструктом. Вместо параллельного постулата в определении геометрии, который не нравился Евклиду, у нас есть следующее для двумерного пространства:
Для любой данной линии R и точки P, не лежащей на R, существует как минимум две отличные друг от друга линии через P, которые не пересекают R.
Это означает, что через одну и ту же точку могут существовать множество различных параллельных линий! В стандартной геометрии количество параллельных линий, построенных таким образом, ограничено одной. Если это сбивает вас с толку, это потому, что наш мозг не предназначен для такого мышления. К счастью, Эшер всю свою жизнь пытался сделать математические концепции более наглядными.
В «Пределе круга III» Эшер показывает дисковую репрезентацию гиперболической геометрии. Этот метод визуализации гиперболической геометрии называется моделью диска Пуанкаре и является очень полезным инструментом для размышлений об этом странном пространстве. Белые линии соответствуют гиперкругам, которые являются уникальной особенностью гиперболической геометрии, аналогичной линиям в стандартной геометрии. Давайте посмотрим на пример нескольких параллельных линий, существующих через одни и те же точки в этой дисковой модели.
Поскольку мы используем модель, а не смотрим на настоящую гиперболическую геометрию, прямые линии на самом деле не выглядят прямыми. На вышеприведенной картине все чёрные линии параллельны синей линии и находятся под разными углами друг к другу. Такая конфигурация не могла бы существовать в стандартной евклидовой геометрии, потому что там мы ограничены одной отличной линией.
Эшер также визуализировал другие типы пространств, такие как сферическая геометрия. Это просто пространство, распространённое по поверхности сферы, а не на плоской плоскости.
Симметрия
Большая часть работ Эшера посвящена узорам. Как математик, он стремился найти интересные взаимосвязи между объектами. Вместо того, чтобы думать о теоремах, он работал над демонстрацией примеров этих структур. Многие его работы направлены на выявление узоров и формирование мозаик, которые очень важны как для математики, так и для кристаллографии.
Симметрия является фундаментальным аспектом абстрактной алгебры. Эта масштабная область математики стремится создать структуры, сводимые только к набору объектов и их взаимоотношениям друг с другом. Более конкретно, каждую мозаику можно отнести к определённому типу структуры в абстрактной алгебре, называемой группой обоев. Интересно, что было показано, что существует только 17 различных типов групп обоев. Этот удивительный результат был доказан Евграфом Федоровым в 1891 году. Эти группы часто имеют странные названия, такие как «p1» или «p31m», что может быть немного сбивающим с толку.
Многие работы Эшера соответствуют различным симметриям, представленным разными группами обоев. Например, Пегас показывает группу обоев типа p. Каждая группа соответствует разной основной форме (квадрат, шестиугольник и т. д.) и разным типам вращения вокруг этой формы. Несмотря на то, что Эшер не был знаком с точной математикой, стоящей за этим, он явно знал об этих различиях. Его произведения содержат множество из 17 различных типов мозаик.
Есть еще много замечательных произведений искусства М. К. Эшера! Я даже не говорил о его невозможных структурах или поразительных изображениях. Я настоятельно рекомендую вам уделить время, чтобы просмотреть его другие работы и попытаться охватить эти странные структуры. Математики продолжают черпать вдохновение из его изображений и открывать целые новые миры идей. Эшер явно стремился создавать вещи, зарожденные в его разуме, но чувствовал, что никогда не сможет полностью достичь этого. Он подытожил это в тревожной цитате:
«То, что я придаю форму при дневном свете, составляет всего лишь один процент от того, что я видел в темноте». — М. К. Эшер
Мы все привилегированы стать свидетелями хотя бы одного процента его невероятного воображения через его искусство!