Найти тему
КОСМОС

Мастер математического искусства

Оглавление

Многие называют М. К. Эшера гением сочетания математики и искусства. Его работы часто изображают фантастические образы, которые вводят в заблуждение и бросают вызов нашему восприятию пространства. Не все знают, что Эшер черпал многие свои художественные идеи из математики. Несмотря на отсутствие формального образования в области математики, Эшер проводил много времени, изучая математические статьи для вдохновения своей работы. Его основной формой искусства была резьба по дереву, но он также работал с литографией. Особенно часто встречаются изображения неевклидовых геометрий и мозаики. В этой статье я покажу вам некоторые его картины и расскажу о математике, которая их вдохновила.

«Мы обожаем хаос, потому что любим создавать порядок». — М. К. Эшер

Странная геометрия

Как художник, Эшер был очень заинтересован в демонстрации различных геометрических структур. Многие аспекты геометрии можно проследить до платоновых тел, которые интенсивно изучались древнегреческими математиками. В работе «Исследование звезд», показанной ниже, Эшер демонстрирует различные трехмерные формы. Некоторые из этих форм — платоновы тела, другие — нет. Мне нравится это произведение, потому что оно действительно показывает, насколько велик Эшер в демонстрации сложных структур с разных точек зрения.

-2

Эшер также интересовался другими типами геометрии, которые не являются стандартными. Многие его резьбы по дереву — попытки визуализировать так называемую гиперболическую геометрию. Эта геометрия очень близка к обычной евклидовой геометрии, за исключением того, что она не допускает параллельные линии в обычном смысле этого слова. Гиперболическая геометрия является основой специальной теории относительности и стала очень важным математическим конструктом. Вместо параллельного постулата в определении геометрии, который не нравился Евклиду, у нас есть следующее для двумерного пространства:

Для любой данной линии R и точки P, не лежащей на R, существует как минимум две отличные друг от друга линии через P, которые не пересекают R.

Это означает, что через одну и ту же точку могут существовать множество различных параллельных линий! В стандартной геометрии количество параллельных линий, построенных таким образом, ограничено одной. Если это сбивает вас с толку, это потому, что наш мозг не предназначен для такого мышления. К счастью, Эшер всю свою жизнь пытался сделать математические концепции более наглядными.

Предел круга III
Предел круга III

В «Пределе круга III» Эшер показывает дисковую репрезентацию гиперболической геометрии. Этот метод визуализации гиперболической геометрии называется моделью диска Пуанкаре и является очень полезным инструментом для размышлений об этом странном пространстве. Белые линии соответствуют гиперкругам, которые являются уникальной особенностью гиперболической геометрии, аналогичной линиям в стандартной геометрии. Давайте посмотрим на пример нескольких параллельных линий, существующих через одни и те же точки в этой дисковой модели.

Модель диска гиперболической геометрии
Модель диска гиперболической геометрии

Поскольку мы используем модель, а не смотрим на настоящую гиперболическую геометрию, прямые линии на самом деле не выглядят прямыми. На вышеприведенной картине все чёрные линии параллельны синей линии и находятся под разными углами друг к другу. Такая конфигурация не могла бы существовать в стандартной евклидовой геометрии, потому что там мы ограничены одной отличной линией.

Эшер также визуализировал другие типы пространств, такие как сферическая геометрия. Это просто пространство, распространённое по поверхности сферы, а не на плоской плоскости.

Сферические спирали
Сферические спирали

Симметрия

Большая часть работ Эшера посвящена узорам. Как математик, он стремился найти интересные взаимосвязи между объектами. Вместо того, чтобы думать о теоремах, он работал над демонстрацией примеров этих структур. Многие его работы направлены на выявление узоров и формирование мозаик, которые очень важны как для математики, так и для кристаллографии.

Пегас (тип p1)
Пегас (тип p1)

Симметрия является фундаментальным аспектом абстрактной алгебры. Эта масштабная область математики стремится создать структуры, сводимые только к набору объектов и их взаимоотношениям друг с другом. Более конкретно, каждую мозаику можно отнести к определённому типу структуры в абстрактной алгебре, называемой группой обоев. Интересно, что было показано, что существует только 17 различных типов групп обоев. Этот удивительный результат был доказан Евграфом Федоровым в 1891 году. Эти группы часто имеют странные названия, такие как «p1» или «p31m», что может быть немного сбивающим с толку.

Многие работы Эшера соответствуют различным симметриям, представленным разными группами обоев. Например, Пегас показывает группу обоев типа p. Каждая группа соответствует разной основной форме (квадрат, шестиугольник и т. д.) и разным типам вращения вокруг этой формы. Несмотря на то, что Эшер не был знаком с точной математикой, стоящей за этим, он явно знал об этих различиях. Его произведения содержат множество из 17 различных типов мозаик.

Симметричная акварель (тип p6)
Симметричная акварель (тип p6)

Есть еще много замечательных произведений искусства М. К. Эшера! Я даже не говорил о его невозможных структурах или поразительных изображениях. Я настоятельно рекомендую вам уделить время, чтобы просмотреть его другие работы и попытаться охватить эти странные структуры. Математики продолжают черпать вдохновение из его изображений и открывать целые новые миры идей. Эшер явно стремился создавать вещи, зарожденные в его разуме, но чувствовал, что никогда не сможет полностью достичь этого. Он подытожил это в тревожной цитате:

«То, что я придаю форму при дневном свете, составляет всего лишь один процент от того, что я видел в темноте». — М. К. Эшер

Мы все привилегированы стать свидетелями хотя бы одного процента его невероятного воображения через его искусство!