В математике существует множество важных нерешенных проблем. Некоторые из них известны потому, что за их решение предлагают большую сумму денег. Иногда они понятны, так что многие могут работать над их решением. Это всегда событие, когда решается крупная математическая проблема, и одна из самых значительных была решена почти 30 лет назад сегодня Эндрю Уайлсом. Эта проблема известна как "Последняя теорема Ферма" и веками интриговала публику.
Эта проблема привлекла столько внимания по двум основным причинам. Одна из них — это интересная история, которая началась в 1637 году. Легендарный математик Пьер де Ферма написал утверждение этого доказательства в одной из своих опубликованных книг. Как побочное замечание, он добавил следующее:
"Я открыл действительно замечательное доказательство этого, которое слишком узкие поля этой книги не могут вместить."
Запись о доказательстве этой теоремы так и не была найдена. До сих пор мы не знаем, имел ли он на самом деле доказательство или было ли оно верным. Давайте посмотрим, что же такое утверждение. У нас есть следующее уравнение:
Последняя теорема Ферма утверждает, что это уравнение не имеет решений для n больше 2. Если n = 1, то множество наборов x, y и z решают уравнение. Если n = 2, то у нас есть теорема Пифагора. Решения для n = 2 также бесконечны и формируют длины сторон прямоугольных треугольников.
Например, мы могли бы иметь x = 3, y = 4 и z = 5 в качестве решения, когда n = 2. На самом деле, существует бесконечное количество решений для этого уравнения.
Но Ферма очень четко утверждает, что для любого большего значения n нет тривиальных решений. Когда мы говорим о тривиальных решениях, мы просто имеем в виду исключение очевидных ответов. Например, если мы установим x = y = z = 0, то уравнение решается для всех n, но это скучный ответ, поэтому мы игнорируем его. Можем ли мы найти какие-либо нетривиальные решения для n больше 2?
Часть привлекательности Последней теоремы Ферма заключается в ее простоте. Эндрю Уайлс, который в конечном итоге доказал эту теорему, заявляет, что
"Вот была проблема, которую я, десятилетний, мог понять, и я знал с того момента, что никогда не отпущу ее. Я должен был решить ее." - Эндрю Уайлс
Эндрю имел преимущество благодаря предыдущим столетиям работы, посвященной этой теме. Бесчисленное количество математиков пытались решить ее. Несколько математиков создали доказательства того, что решений для n = 4 нет, включая Леонарда Эйлера и самого Ферма. Однако это лишь один шаг из многих, когда нужно доказать это для буквально бесконечного количества значений n.
Математики медленно продвигались вперед и находили отдельные доказательства того, что значения n равные 3, 5, 7 и многие другие не имеют решений. Однако был нужен общий метод, чтобы полностью доказать эту теорему. В этом вопросе выделилась Софи Жермен.
Софи Жермен родилась в 1776 году во времена, когда женщинам строго запрещалось заниматься математикой. Тем не менее, она преодолела это и независимо занималась математическими задачами на протяжении всей своей жизни. Она регулярно переписывалась с Гауссом, который считался лучшим математиком мира в то время. О Жермен (которая подписывалась в письмах как М. Ле Бланк), Гаусс сказал следующее:
"Как могу я описать мое удивление и восхищение, увидев, что мой уважаемый корреспондент М. Ле Бланк превратился в эту знаменитую личность... когда женщина, из-за своего пола, наших обычаев и предрассудков, сталкивается с бесконечно большим количеством препятствий, чем мужчины, чтобы ознакомиться с [трудностями теории чисел], но преодолевает эти препятствия и проникает в самое сокровенное, она несомненно обладает благороднейшей смелостью, необычайным талантом и превосходным гением." -Карл Фридрих Гаусс
Итак, что же доказала Софи Жермен о Последней теореме Ферма? Она разработала план, доказывающий, что ее невозможно решить для всех значений n. Ни один математик до нее не пытался это сделать, по крайней мере, серьезно. Чтобы понять ее план, нам нужно сделать шаг назад. Оказывается, доказательство того, что решений для n = 4 не существует, также опровергает его для n = 8, 12, 16, … и всех кратных 4! Почему это так, можно увидеть в уравнениях ниже:
Поскольку мы доказали, что решения x, y и z для n = 4 не существует, мы теперь опровергли это для любого кратного 4 по приведенной выше зависимости.
Софи Жермен посвятила большую часть своей работы доказательству Последней теоремы Ферма для всех простых чисел, кроме 2. Если бы ей это удалось, то ее работа была бы закончена для всех чисел! Ее подробная работа была гораздо более строгой, чем я описываю. Хотя этот план в итоге оказался неудачным, она нашла очень полезную теорему в процессе, которая получила название теоремы Софи Жермен. Она довольно сложная, и если вы хотите узнать о ней больше, у меня есть ссылка внизу этой статьи с подробностями.
Ложные доказательства
Попытки доказательства этой захватывающей теоремы привлекали всё больше и больше внимания, и в 1850 году Французская академия наук предложила денежный приз тому, кто сможет решить Последнюю теорему Ферма. Несколько других крупных институтов начали аналогичные конкурсы с денежными наградами, и любители-математики начали представлять тысячи доказательств. Каждое из них оказывалось неверным. Однажды было замечено, что
"Последняя теорема Ферма имеет особое отличие тем, что по ней было опубликовано большее количество неправильных доказательств, чем по любой другой математической проблеме." - Говард Ивс
В то же время математики медленно заложили основу, которая потребовалась для знаменитого доказательства Уайлса. Два важных раздела математики: эллиптические кривые и модулярные формы значительно продвинулись в 20 веке. Два математика, Горо Шимура и Ютака Танияма, выдвинули важную гипотезу, связывающую эти два поля.
Эта работа стала известна как гипотеза Танияма–Шимуры и считалась абсолютно невозможной для доказательства в то время. Однако Эндрю Уайлс понял, что если он докажет специальный случай этой гипотезы, то следом последует доказательство Последней теоремы Ферма.
Он работал втайне шесть лет и сообщил только своей жене, чем он занимается. Уайлс поддерживал свою публикационную активность, выпуская маленькие, несвязанные части своего доказательства в статьях. Он опирался на широкий спектр методов, таких как теория Галуа, которой на тот момент было почти 200 лет, и на статьи, которые только что были опубликованы.
Эндрю Уайлс не мог работать втайне вечно. Несмотря на популярные представления, такой метод работы над математикой довольно редок. Большинство математиков работают хотя бы с одним партнером, и многие формируют большие коллаборации для работы над проблемами. В конечном итоге он доверился своему коллеге Нику Кацу, чтобы помочь ему найти возможные петли в доказательстве.
Двое в конечном итоге представили свою работу в мае 1993 года. Однако в процессе рецензирования была обнаружена критическая ошибка. Уайлс вернулся к работе с бывшим студентом Ричардом Тейлором над решением. Это заняло почти два года, и в это время он столкнулся с серьезным давлением со стороны других математиков. Многие хотели знать статус доказательства и просили его опубликовать остальную часть теоремы, чтобы они могли использовать результаты из нее.
Его момент озарения наступил 19 сентября 1994 года. Об этом моменте Уайлс сказал:
Это было так невыразимо красиво; это было так просто и так элегантно. Я не мог понять, как я мог пропустить это, и я просто смотрел на это в недоумении двадцать минут. Затем в течение дня я ходил по отделу, и я продолжал возвращаться к своему столу, чтобы убедиться, что это все еще здесь. Это все еще было там. Я не мог сдержать себя, я был так взволнован. Это был самый важный момент моей рабочей жизни. Ничто, что я когда-либо буду делать впредь, не будет иметь такого значения. — Эндрю Уайлс
Эта версия прошла процесс рецензирования и стала широко признанной, охватывая более 120 страниц. Спустя более 300 лет Последняя теорема Ферма была наконец доказана! Это остается одним из самых значительных достижений в математике, поскольку кажется, что оно затрагивает что-то очень фундаментальное о целых числах. Мы продолжаем узнавать все больше и больше, учитывая все новые методы, которые Эндрю Уайлс использовал для доказательства этой замечательной теоремы. Ему было вручено множество наград за его работу, включая знаменитую премию Абеля.