В этой статье мы рассмотрим задачи, которые встречаются в заданиях 18 ОГЭ. За них можно легко получить 1 балл на ОГЭ. Все возможные задачи, которые могут встретится в этом задании я разделила на 6 блоков. Мы разберём основные концепции, методы и примеры решения каждого типа для того, чтобы вы смогли подготовиться к этому заданию как можно более эффективно.
1 тип задач – это задачи, связанные с треугольником.
Этот блок включает:
- задачи на нахождение площади треугольника
- задачи на нахождение средней линии треугольника
- задачи на нахождение катетов и гипотенузы в прямоугольном треугольнике
2 тип задач – это задачи, связанные с нахождением площади параллелограмма.
3 тип задач – задачи, связанные с трапецией.
Этот блок включает:
- задачи на нахождение площади трапеции
- задачи на нахождение средней линии трапеции
4 тип задач - задачи на нахождение площади любой, нестандартной фигуры
5 тип задач - задачи, связанные с ромбом. Этот блок включает:
- задачи на нахождение площади ромба
- задачи на нахождение длины диагонали ромба
6 тип задач – задачи из блока тригонометрии.
Этот блок включает:
- задачи на нахождение синуса и косинуса угла
- задачи на нахождение тангенса и котангенса угла
7 тип задач – задачи на нахождения расстояния от точки до отрезка.
I БЛОК ЗАДАЧ – ЗАДАЧИ С ТРЕУГОЛЬНИКОМ
1. Нахождение площади треугольника
Наиболее часто встречаемая задача в этом блоке – это задача на нахождение площади треугольника.
Площадь треугольника ищется по формуле:
S = ½*a*h
Теперь рассмотрим примеры заданий 18 из сборника Ященко 2024 года на эту тему.
ПРИМЕРЫ
Вариант 9. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображен треугольник. Найдите его площадь.
Решение: Если нам сказано, что размер клетки 1 х 1, то тогда мы можем найти длину стороны треугольника. На рисунке представим буквенное обозначение вершин треугольника и отметим длину стороны АС, которое будет равно 3. Теперь найдем высоту, опущенную к этой стороне. Для этого, продлим сторону АС и из вершины В опустим высоту, длина которой равна 5 клеткам. Теперь подставим исходные значения и найдем площадь такого треугольника S = 7,5.
Попробуй решить самостоятельно задания 18 из варианта 15 и 25 сборника Ященко и закрепи эту тему. Необходимо найти площадь треугольников.
2. Нахождение средней линии.
В этих задач следует помнить, что средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.
Эта вся теория, используемая в этом блоке задач, теперь попробуем решить пример.
ПРИМЕР
Вариант 17. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображен ABC. Найдите длину его средней линии.
Решение: Если нам сказано, что размер клетки 1 х 1, то тогда мы можем найти длину стороны АС треугольника АВС. Посчитаем клетки и получим значение 8. Средняя линия ищется по формуле: половина параллельной этой линии стороны, следовательно, KM= 8/2=4.
3. Нахождение сторон прямоугольного треугольника.
В прямоугольном треугольнике есть гипотенуза и два катета. Прямоугольный треугольник – это треугольник, у которого один из углов прямой. Сторона которая лежит напротив прямого угла – это гипотенуза, а остальные две стороны, заключающие прямой угол – это катеты. Нахождение гипотенузы и катетов возможно по теореме Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Из этой же теоремы мы можем найти и один из катетов. Но в примерах сборника Ященко эта формула нам не потребуется.
ПРИМЕР
Вариант 3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображен прямоугольный треугольник. Найдите длину его гипотенузы.
Решение. Отметим угол В как прямой угол треугольника АВС. Тогда гипотенузой будет является сторона – АС. Катеты АВ и ВС равны 3 и 4 соответственно. Тогда, используя, теорему Пифагора, найдем гипотенузу АС как корень квадратный из 32 + 42 = корень из 25 = 5.
II БЛОК ЗАДАЧ – ПЛОЩАДЬ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА
Так как в задании 18 используется клетчатая бумага и соответственно по ней мы можем посчитать только длину сторон фигур, то будем рассматривать формулу для нахождения формулы параллелограмма через произведение сторон на высоту, проведенную к этой стороне.
Ну, а если тебе интересно узнать больше теории и закрепить практикой эту тему, то предлагаю тебе перейти на канал и подписаться https://youtu.be/4HTGdQhg7_s?si=6287NLGEUmAcM-zc
Пробуем решить пример из варианта №1 сборника Ященко 2024.
ПРИМЕР
Вариант 1. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображен параллелограмм. Найдите его площадь.
Решение. Ищем, где нам удобнее всего опустить высоту. Предлагаю сразу посмотреть на тупые углы и провести высоту внутри фигуры из вершины А, но ты также можешь провести высоту и из вершины острого угла, тогда не забудь продлить сторону!
Сторона к которой провели высоту ДС = 5, а высота АН=4. Тогда S=5*4=20.
Самостоятельно попробуй решить вариант 19 из сборника Ященко 2024. Необходимо найти площадь параллелограмма.
III БЛОК ЗАДАЧ – ЗАДАЧИ С ТРАПЕЦИЕЙ
Следующий тип задач связан с нахождением площади трапеции и её средней линии. Разберем теорию.
1. Нахождение площади трапеции
Необходимо запомнить, что площадь трапеции равна произведению полу суммы оснований на высоту трапеции.
Также площадь трапеции возможно найти через среднюю линию. Это произведение средней линии на высоту.
Третий способ мы рассматривать не будем, потому что в этих типах задач он нам не потребуется.
Ну, а если ты хочешь посмотреть больше теории по свойствам трапеции и нахождению площади, то предлагаю посмотреть это видео: https://youtu.be/m7GRCRCnx8U?si=hJl610ZqFlIFG7F2
Разберем первый пример.
ПРИМЕР
Вариант 5. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображена трапеция. Найдите его площадь.
Решение: Сразу понимаем, что найти площадь нам удобнее всего через высоту и основания трапеции. Основания этой трапеции АВ и ДС, опускаем высоту АН и теперь подсчитываем количество клеток для каждого основания и высоты. Основания АВ и ДС равны 5 и 7 соответственно, а высота будет равна 6.
Теперь подставляем исходные данные в формулу нахождения площади трапеции: половина сумма оснований, умноженная на высоту, и считаем
S= ((АВ+ДС)/2)*АН= ((5+7)/2)*6 = 36.
Теперь попробуй самостоятельно решить задания 18 вариант 13 и 31 в сборнике Ященко 2024, исходные данные представлены на рисунке. Необходимо найти площадь трапеции.
2. Нахождение средней линии трапеции
Следующий тип задач, связан с нахождением средней линии трапеции. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их по сумме.
Теперь попробуем решить задачу.
ПРИМЕР
Вариант 21. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображена трапеция. Найдите длину ее средней линии.
Решение. Основания трапеции АД и ВС равны 7 и 3 соответственно, тогда средняя линия
МN = (7+3)/2 = 5.
Вот так все просто!
IV БЛОК ЗАДАЧ – ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ ПЛОЩАДИ ЛЮБОЙ, НЕСТАНДАРТНОЙ ФИГУРЫ
В этом блоке задачи представлены на клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 (т.е. получаем квадрат со сторонами 1 и 1), поэтому для нахождения площади любой фигуры мы можем воспользоваться методом подсчёта числа квадратов, на которые разбита фигура.
Закрепим примером из Варианта 27.
ПРИМЕР
Вариант 27. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображена фигура. Найдите её площадь.
Решение. Тут все довольно просто, считаем количество клеток внутри фигуры. Получаем число 19 это и будет ответ!
V БЛОК ЗАДАЧ – ЗАДАЧИ С РОМБОМ
1. Нахождение площади ромба
Следующий тип задач связан с нахождением площади ромба. Площадь ромба можно рассчитать несколькими способами.
Подробно узнать о всех способах расчета площади ромба можно тут: https://youtu.be/4HTGdQhg7_s?si=qeY4b23-eX-Luiv-
Так как все задачи в задании 18 у нас представлены на клетчатой бумаге, то есть большая вероятность, что для нахождения площади ромба нам потребуется формула через диагонали или высоту.
Площадь ромба через диагонали можно выразить, используя формулу: S=1/2*d1*d2
Площадь ромба через высоту будет равна: S = a * ha
Ну, а теперь попробуем закрепить теорию.
ПРИМЕР
Вариант 29. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 х 1 изображен ромб. Найдите площадь этого ромба.
Решение. Сразу определяем каким способом нам будет легче всего посчитать площадь. Из рисунка видно, что мы можем быстро и легко посчитать длины диагоналей, поэтому выберем этот способ расчета и приступим к расчетам. Диагонали АС и ВД будут равны 10 и 6 соответственно. Следовательно, площадь ромба будет равна:
S = 1/2*AC*ВД = ½*6*10 = 30
2. Нахождение диагонали ромба
А теперь посмотрим как рассчитать диагональ ромба.
Вариант 35. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 х 1 изображен ромб. Найдите длину его меньшей диагонали.
Решение: Тут нам необходимо найти диагонали ромба, отметить их на рисунке и выбрать наименьшую диагональ.
Для такого ромба наименьшей диагональю будет диагональ АС, теперь считаем клетки и получаем ответ 4.
VI БЛОК ЗАДАЧ – ЗАДАЧИ ПО ТРИГОНОМЕТРИИ
В этом блоке задачи связаны с тригонометрическими функциями: синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом углов.
Понимаем, что выразить угол необходимо через прямоугольный треугольник, поэтому в этих задачах, первым делом, достраивайте прямоугольный треугольник, а дальше вспоминаем, что:
Синус угла – это отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы в прямоугольном треугольнике
Косинус угла – это отношение длины прилежащего катета к длине гипотенузы в прямоугольном треугольнике
Тангенс угла – отношение синуса к косинусу или отношение противолежащего катета к прилежащему
Котангенс угла – это обратное отношение тангенса угла или отношение прилежащего катета к противолежащему.
Пробуем решать пример.
ПРИМЕР
Вариант 7. Найдите тангенс угла АОБ, изображенного на рисунке.
Решение: Первое, что мы делаем это опускаем перпендикуляр из точки В к стороне ОА и сразу видим прямоугольный треугольник. Для угла АОВ тангенс – это отношение противолежащего катета к прилежащему. Прямой угол – это угол ВМО, следовательно ОВ – это гипотенуза. А для угла АОВ сторона ОМ – это прилежащий катет, а сторона ВМ – противолежащий катет. Тогда считаем сторону ОМ и ВМ, а потом выражаем тангенс угла АОВ.
Сторона ОМ = 5, сторона ВМ = 2. Тангенс угла АОВ = 2/5 или 0,4.
VII БЛОК ЗАДАЧ – НАХОЖДЕНИЕ РАССТОЯНИЯ ОТ ТОЧКИ ДО ОТРЕЗКА
В этом блоке задач следует запомнить, что расстояние от точки до прямой равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.
Давайте сразу закрепим задачей.
ПРИМЕР
Вариант 11. На клетчатой бумаге 1 х 1 отмечены три точки: А, В и С. Найдите расстояние от точки А до отрезка ВС.
Решение: Как мы уже знаем для определения расстояния нам необходимо опустить перпендикуляр от точки А до отрезка ВС. И теперь считаем количество клеток, которое получилось равно 5. Вот и ответ: расстояние от точки А до отрезка ВС равно 5.
Теперь попробуй самостоятельно закрепить теорию, решив задание 18 варианта 33 из сборника Ященко. Найдите расстояние от точки А до отрезка ВС.
Мы рассмотрели семь ключевых блоков задач в задании 18 ОГЭ. Не забывайте практиковаться, решая множество задач разного уровня сложности.
Если вам понравилась эта статья и она оказалась полезной, не забудьте поддержать автора, поставив лайк и подписавшись на канал для получения больше полезного контента по подготовке к ОГЭ.
Спасибо за внимание и удачи на экзамене!