Доброго дня, друзья, товарищи!
Сегодня будет немного теории и моих мыслей.
Дроби!
Именно этого слова ждут ученики в 5 классе, когда изучают математику. У меня лично не один ученик спрашивал: "Когда же будут ОНИ?"
Если вспомнить программу 4 класса, то начало изучения дробей, как частей от какого-либо числа начинается в нём. Впервые чертится черта, разделяется число на несколько равных кусочков, и появляется дробь.
Однако, начало, положенное в 4 классе, имеет несколько неожиданное продолжение.
После ряда тем 5 класса ученики могут пойти по двум возможным путям, полностью зависимым от школьной программы.
1) изучение простых дробей.
2) изучение десятичных дробей.
В этот момент родителям стоит почесать голову и обдумать дальнейший путь обучения: пусть оба пути ставят задачу изучения дробей, но при этом имеют совершенно различные подходы к ним.
Рассмотрим их по очереди:
➡️ 0,04 >> десятичные дроби.
Их изучение начинается с разбора нумерационной таблицы. Наша позиционная система счисления имеет разряды, и десять единиц одного разряда всегда группируются в одну единицу следующего разряда. (Подробнее о таблице будет позже, в другой статье.)
Но если десять единиц формируют 1 десяток, то вопрос: а есть ли что-то, что формирует 1 единицу? Десять таких кусочков, которые вместе дадут одну единицу? Да, это одна десятая, которую можно разместить в новую колонку, добавленную в таблице справа за единицами. Следом изучают и сотые части, которые, сгруппировавшись по десять штук, формируют одну десятую. И так далее.
Детей приучают в удобном и простом формате записывать числа, используя знак запятой для отделения целой части от дробной. Далее изучаются простейшие методы работы с ними (4 арифметических действия в столбик). И тема считается завершённой. Далее ученик считается способным использовать дроби в повседневном счете.
➡️ ½ >> простые дроби.
В иных программах изучение дробей полностью начинается с освоения простых дробей. Этот процесс гораздо более растянутый, поскольку изучает не только способ быстрой записи и быстрого счета нецелых чисел, но целый блок, связанный с темой части числа и его состава. Так изучение начинается не напрямую с дробей, а с подготовительных тем: разложение числа на сомножители, простые и составные числа, нахождение общего делителя или общего кратного двух чисел, отношения чисел. Затем только ученики приступают к дробям. Сначала тем, что знают с прошлого года, простейшим, ½, ⅔, ⅘. Соотносят их, учатся сравнивать, изучают подробно смысл разделения числа на части и способы, как различные части числа можно друг с другом складывать, отнимать и просто сравнивать. Смешанные и неправильные дроби. Далее изучается основное свойство дроби, сокращение и приращений числителя со знаменателем. Переходят к сложному сложению и вычитанию с приведением к общему знаменателю, поиском его наименьшей величины. Затем умножение и деление, правила сокращения сомножителей, деление дробей. Лишь когда ученики осваивают все данные темы переходят к задачам, связанным с использованием дробных чисел.
Таким образом пути изучения кардинально различаются. И по объему знаний, и по глубине и по скорости изучения.
Далее будет немного моих мыслей.
Сразу скажу, что в рамках школьной программы и простые и десятичные дроби, как темы, проходятся в обязательном порядке.
Но вот понимание этих тем очень сильно зависит от порядка изучения и расстановки причинно-следственных связей.
Уточню: сам процесс изучения идет в 3 этапа.
- 1 этап - основные сведения о дробных числах и работе с ними. Это их чтение, запись, сравнение и простейшие арифметические действия сложения и вычитания с дробями, состоящими из одинаковых частей.
- 2 и 3 этапы могут меняться местами - это или продолжение глубокого изучения обычных дробей, или переход к изучению десятичных дробей.
Некоторые из распространенных методик (программ) стараются совершить скорейший переход к изучению десятичных дробей. В этом, несомненно, видна логика.
Повсеместное использование десятичных дробей в быту требует скорейшего их осознания и понимания учениками. Да и понять их легче: для этого достаточно углубиться в привычную с начальных классов нумерационную таблицу.
Если десять единиц младшего разряда всегда группируются в одну единицу старшего разряда (10 десятков -> 1 сотня), то есть ли что-либо меньшее, чем разряд единиц? Да, кусочек от единицы - одна десятая (0,1). Если их собрать десять штук, то они вместе объединятся и дадут одну единицу следующего разряда (10 раз по 0,1 -> 1 целая). Также можно выделить и одну сотую, и одну тысячную, и так далее.
Кроме того, с такими числами очень удобно осуществлять сложение и вычитание в столбик. При выполнения правила "разряд под разрядом, запятая под запятой", отличий от тех же действий, изученных в младших классах - нет. Немного сложнее выглядит умножение и деление, но и с ними при соблюдении небольшого дополнения к ранее изученным методам "в столбик", все решается легко.
Плюсов - много. Но, на мой взгляд, есть один важный, перечеркивающий всё "минус". Десятичные дроби - это всего лишь один из разделов всей, объемной, темы Дробные числа. Более того, это не основополагающий раздел. Лишь метод записи некоторых чисел из всего того множества не целых чисел.
Довольно странно учить небольшой практический метод, не осознавая, что конкретно он описывает.
Десятичная дробь, это не просто запись нецелого числа с запятой. Это дробь вида 1/10 или 1/100: со знаменателем в формате единицы и некоторого числа нулей после неё.
Количество нулей знаменателя описывает количество знаков после запятой, поскольку указывает какую часть от целого числа мы берём и в какой разряд мы, по логике, попадаем.
Затруднительно и описать при помощью запятой, к примеру, число 1/3 - бесконечная дробь (0,3333... = 0,(3) ).
Но неоспоримо, что понять десятичные дроби и научиться с ними работать гораздо проще, чем с обычными.
Для разбора обычных дробей необходимо разобраться с делителями и сомножителями, научиться раскладывать числа на простые сомножители, искать НОД и НОК разных чисел. Необходимо понять и запомнить основное свойство дроби, связанное с возможностью увеличения и уменьшения числителя и знаменателя в одно и то же количество раз. Научиться находить общий знаменатель при сложении и вычитании. Сокращать числители и знаменатели при умножении, Переворачивать дроби для определения обратных чисел при делении.
Объем и сложность тем в разы оказывается сложнее. Но, охватив их все, ученики начинают гораздо легче воспринимать и понимать все, связанное с дробями. Десятичные они перескакивают после этого влёт, сразу углубляясь в бесконечные дроби и проценты. Это становится просто.
И наоборот, после десятичных голова ученика с трудом пытается перестроиться от записи с запятой к записи с чертой. С трудом запоминает новые методы решения, и, в результате, эти две группы становятся в разуме ученика вообще не связанными вещами.
Итого.
Стоит ли начинать с десятичных ? Если нет желания дальше осознавать математику - да. Это необходимый бытовой навык, один из последних таковых в математике, что изучается в школе. Нас повсюду окружают числа с запятыми в середине. Научившись с ними работать, можно ходить и в магазин, и в банк, и на работу - везде будешь понимать, что написано.
Но вот с самой математикой будет туговато. А значит и с тем, что она так старательно в человеке развивает. Умением мыслить структурированно.
Но об этом в другой статье!
Благодарю за прочтение!