Сегодня мы разберем задание 17 из ОГЭ по математике, блок задач по геометрии.
Такие задачи делятся на следующие типы:
- Задачи направленные на свойства равнобедренной трапеции
- Задачи, в которых фигурирует высота трапеции
- Задачи, связанные со средней линией трапеции (подобные треугольники)
- Задачи на нахождение площади трапеции
Во-первых, давайте рассмотри основные понятия, чтобы не путаться в трактовке исходных данных.
Трапеция - четырёхугольник у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.
Параллельные стороны трапеции это основания, а две другие стороны - это боковые стороны трапеции. В трапеции может быть опущена высота, а также проведены диагонали, которые разбивают трапецию на 4 треугольника с общей вершиной. Причем 2 из них подобны.
1 тип заданий 17 ОГЭ. Задачи на свойства трапеции (в т.ч. равнобедренной)
Свойство трапеции, которое нам потребуется знать, так как оно встречается часто в заданиях 17, заключается в том, что сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180 градусам.
Теперь рассмотрим основные свойства равнобедренной трапеции.
Равнобедренная трапеция - это трапеция, у которой боковые стороны равны.
А свойства равнобедренной трапеции заключается в следующем:
1. У равнобедренной трапеции углы при основании попарно равны
2. Диагонали равнобедренной трапеции тоже равны
Теперь оперируя терминами и зная свойства равнобедренной трапеции, попробуем закрепить теорию и решить задание 17 варианта 1 из сборника Ященко.
Задание 17 вариант №1. Сумма углов равнобедренной трапеции равна 94 градуса. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
Решение: Помним свойство абсолютной любой трапеции, что сумма углов, прилегающих к боковой стороне равна 180 градусам.
Угол А + угол В = 180 градусов
Угол С + угол Д = 180 градусов.
Из данных утверждений мы можем сделать вывод, что скорее всего в услвоии задачи речь идет именно о сумме углов А и Д, так как в сумме они не дают результата 180 и оба острые. Следовательно:
Угол А + угол Д = 94 градуса.
Так как угол А = углу Д, то можем найти угол А и Д = 94/2 = 47 градусов.
А теперь, принимая во внимание первое утверждение о сумме углов, прилегающих к одной боковой стороне, можем найти и угол В или угол С, которые и являются большими в трапеции АВСД.
Угол В = 180 - угол А = 180 - 47 = 133.
Ответ: 133
Еще одна задача которая может встретится по этой части теории - это задача из варианта 15 сборника Ященко.
Задание 17 вариант №15. Найдите больший угол равнобедренной трапеции АВСД, если диагональ АС образует с основанием АД и боковой стороной АВ углы, равные 43 и 38 соответственно. Ответ дайте в градусах.
Решение: Первое на что обращаем внимание, это то, что трапеция равнобедренная, следовательно, сразу делаем вывод о том, что углы при основаниях такой трапеции равны.
Находим угол А. Угол А будет равен углу Д и = 38+43=81 градус.
Нам необходимо найти больший угол, а это углы В и С. Также помним, что сумма углов, прилегающих к одной стороне равна 180. Возьмем уже известный угол А, и через него выразим угол В.
Угол В = 180-81 = 99 градусов.
Ответ: 99
2 тип заданий 17 ОГЭ. Задачи, связанные с высотой трапеции
Теперь давайте разбираться со следующими типами задач. Это задачи связанные с высотой, проведенной в трапеции, а точнее с высотой в равнобедренной трапеции.
Высота равнобедренной трапеции, проведённая из концов меньшего основания, делят трапецию на два равных прямоугольных треугольника и один прямоугольник.
Посмотрим на рисунок и сразу увидим это. В равнобедренной трапеции боковые стороны (АВ и СД) и углы при основаниях( угол А= углу Д, угол В = углу С) равны. Проведённые высоты (ВН и СМ) тоже равны.
Если треугольники равны, то и все стороны этих треугольников попарно равны, следовательно сторона АН будет равна стороне МД.
Это условие нам потребуется, когда мы будем решать задачи.
Закрепим на практике.
Задание 17 вариант №25.Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины С, делит основание АД на отрезки длиной 14 и 19. Найдите длину основания ВС.
Решение: Понимаем, что большее основание это АН, оно и будет равно 19. Теперь для наглядности опускаем вторую высоту и сразу видим, что у нас получился один прямоугольник, и два треугольника.
А так как трапеция равнобедренная боковые треугольники АВК и ДСН будут равны, и тогда:
АК = НД = 14.
А вопрос – найти сторону ВС. ВС теперь легко найти:
ВС = 19-14=5.
Ответ: 5
3 тип заданий 17 ОГЭ. Задания на нахождение площади трапеции
Следующий тип задач связан с нахождением площади трапеции. Разберем теорию. существует три способа нахождения площади трапеции:
1. Необходимо запомнить, что площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту трапеции.
2. Также площадь трапеции можно найти через среднюю линию. Это произведение средней линии на высоту.
3. И еще нам известно, что площадь трапеции можно отыскать через полупроизведение ее диагоналей и синус угла между ними.
Задание 17 вариант №7. Основания трапеции равны 13 и 23, а высота равна 5. Найдите площадь этой трапеции.
Решение: Применяем очевидную формулу, которая тут подойдет.
Площадь равна произведению полу суммы оснований на высоту трапеции.
И просто считаем и получаем результат 90. Вот и все.
Ответ: 90
Задание 17 вариант №11.В равнобедренной трапеции основания равны 2 и 6, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45 градусов. Найдите площадь этой трапеции.
Решение: Отметим сразу угол, который подходит под исходные данные. Острые углы это угол А и Д и они равны, так как трапеция равнобедренная. Следовательно именно они и могут быть равны 45 градусам. Подберем формулу, которая больше всего подойдет для решения этой задачи. Про среднюю линию тут нет ни одного упоминания и нет подводки к ней, про диагонали тоже речи не идет. Остается только высота и основания. Основания даны, а высоту попробуем найти. Опускаем высоту и видим прямоугольный треугольник АВК, с известными углами 90 и 45.
Угол АВК будет равен тоже 45 градусов (90-45=45). Тогда треугольник АВК получается прямоугольный и равнобедренный с двумя равными углами, и следовательно прилежащими сторонами – это стороны ВК и АК.
АК легко найти, опустив вторую высоту в трапеции (см. рисунок выше - далее) и вспомнив, что в равнобедренной трапеции эти треугольники равны, а следовательно:
КН = 2
АК+НД=6-2=4
АК=НД=4/2=2.
АК равно нашей высоте ВК, которое будет равно 2. Теперь все исходные параметры нам известны и мы можем посчитать площадь трапеции.
Ответ: 8
4 тип заданий 17 ОГЭ. Задания со средней линией трапеции
И последний тип задач связан со средней линией трапеции.
Средняя линия – это отрезок соединяющий середины боковых сторон. Средняя линия параллельная основаниям трапеции и равна их полусумме. У трапеции только одна средняя линия.
Задача 17 вариант №19.Основания трапеции равны 5 и 9. Найдите больший из отрезков, на который делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.
Решение: Нам известны только основания трапеции. Давайте отталкиваться от них. Смотрим внимательно на рисунок и видим, что диагональ трапеции также делит ее на 2 треугольника, для которых средняя линия МN будет также являться средней линией, так как стороны треугольника так же как и стороны трапеции делятся на равные части.
Но тут важно вспомнить, каким свойством обладает средняя линия для треугольника. Она равна половине параллельной стороны. Вопрос у нас только к большему нахождению отрезка, поэтому рассматриваем треугольник АСД. Параллельная отрезку КN сторона АД равна 9, следовательно:
KN = 9/2=4,5.
Ответ: 4,5
Задание 17 вариант №27. Основания трапеции равны 8 и 18, а высота равна 5. Найдите среднюю линию этой трапеции.
Решение: В этой задаче нас пытаются запутать, дав нам исходный параметр, который вообще в решении не понадобится. Давайте внимательно посмотрим на рисунок, перенеся все исходные данные и вспомнив формулу для расчета средней линии.
Помним, что средняя линии трапеции ищется как полусумма оснований, которые нам известны, а высота это лишние исходные данные, на которые мы не обращаем внимания!!!! Поэтому решение задачи сводится к одному действию:
MN = (8+18)/2=13.
Ответ: 13
Надеюсь вам понравился разбор, тогда жду ваши комментарии и репосты. А видео разбор задачек ты можешь посмотреть на канале https://dzen.ru/video/watch/65d2385167762d25b96fe5ac