Понимание того, как функционируют пределы и что означает стремление к чему-то, пожалуй, одно из важнейших критериев для осмысленного восприятия сути математического анализа. Чтобы глубже вникнуть в эту тему, а не просто запомнить некоторое количество формул, давайте попробуем изобрести математический анализ с самого начала.
Задача о нахождении площади круга
Cделаем вид, что нам известно практически столько же, сколько и ученым древности. А именно:
- Есть некая константа π, которая представляет собой отношение длины окружности (L) и диаметра (D).
- Радиус (R) - это D/2.
Оперируя этой информацией, попробуем найти длину окружности при известном радиусе. Мы знаем, что D = 2R и что π = L/D. Опираясь на эту информацию, мы легко выводим формулу L = πD или L = 2πR. Но как это поможет посчитать площадь круга? Попробуем упростить задачу и привести круг к фигуре, о которой нам известно больше, например, к четырехугольнику. Для этого, для начала попробуем разделить круг на 8 равных частей.
А теперь разделим каждую половинку на 2, и развернем, словно дольку апельсина.
Пока что еще не совсем понятно, что с этим делать, правда? Но что, если мы вставим дольки одной половины круга в промежутки между дольками второй?
Уже постепенно вырисовывается что-то знакомое. Если срезать дуги и провести прямую по вершинам получившихся треугольников, то получится параллелограмм, площадь которого мы можем легко посчитать! Но всё-таки, это еще не совсем то, чего мы хотим, так как получившаяся цифра будет лишь примерной площадью круга, потому что мы пренебрегли площадью между дугами и прямой, поэтому не будем на этом останавливаться. Резюмируем, что мы получили на этом этапе:
- Мы смогли посчитать примерную площадь круга.
- Мы получили некую фигуру, которая состоит в основании из 4 дуг длиной πR/4 и по бокам из R.
- Эта фигура отдалённо напоминает параллелограмм.
Откуда берётся значение πR/4? Вспомним, что мы начали с того, как разделили круг на 2 равные части, а значит длина дуги 1 половины = πR, и далее мы разделили эту половину на ещё 4 равные части, а значит длина дуги в 1 таком секторе = πR/4.
После того, как мы это всё проанализировали, становится очевидно, что нужно делить круг дальше, так как таким образом мы сможем минимизировать погрешность. И действительно, попробуем разделить круг не на 8 частей, а на 16.
Не вооруженным глазом видно, что сейчас фигура на много больше напоминает прямоугольник, и площадь между дугой и прямой стала куда меньше. Следовательно, если мы сейчас попробуем посчитать площадь этой фигуры, она будет куда ближе к истинной площади круга, чем предыдущая. Тогда в нашу голову приходит идея: "Чем больше мы будем делить круг, тем точнее у нас получится приблизиться к его истинной площади". Но это еще не все, через несколько минут усердных дум, у нас в голову может приплыть сумасшедшая идея: "А что если разделить круг на бесконечное количество бесконечно малых частей?"
Но как это возможно?! Математика - это наука о точных величинах, а бесконечность - это что-то из области фантастики или философии!
Давайте попробуем это понять. Для начала не много изменим подход к нашей задаче. Разделим наш круг на бесконечное количество секторов.
Что такое ΔL? В математике Δ - это величина изменения, а ΔL в нашем случае - это шаг разделения L нашей окружности или длина дуги в получившихся дольках.
Что же получается, когда мы делим наш круг на бесконечное количество секторов? ΔL становится бесконечно малой! А что это означает? Вернемся к первым попыткам деления круга. Помните, как мы пробовали разделить круг в начале на 8 частей, а затем на 16 и почему мы вообще решили попробовать разделить круг на бесконечное количество частей? Мы выявили закономерность, что когда мы делим круг на все большее и большее количество частей, площадь между дугой и прямой становится все меньше и меньше, а точность расчета площади круга становится все больше и больше. Это означает, что когда мы делим круг на бесконечное количество частей, а дуга ΔL в каждом секторе становится бесконечно малой, площадь между дугой и прямой тоже становится бесконечно малой. А это в свою очередь означает, что ΔL в каждом секторе бесконечно приближается к прямой!
Почему L/2? L - это длина всей окружности, и так как одна сторона получившегося прямоугольника - это половина от всей дуги, она равна L/2. И для полного счастья давайте вспомним, что L = 2πR, а значит L/2 = πR. Подставим это вместо L/2 и посмотрим, что получится.
Это прямоугольник со стороной πR и R! А площадь прямоугольника мы можем легко посчитать! Не долго думая, мы это делаем и получаем формулу:
S = πR^2
Согласитесь, это было красиво.
Что это было?
Как получилось, что от приблизительного мы пришли к точному? Еще раз в кратце пробежимся по нашим действиям.
- Мы попробовали упростить задачу, превратив круг в уже знакомую нам фигуру.
- В процессе деления круга на все большее и большее количество частей, мы обнаружили, что чем больше мы делим круг, тем точнее получается посчитать его площадь.
- Мы попробовали разделить круг на бесконечно много частей, чтобы получить бесконечно точный результат, и пришли к формуле S = πR^2
Пределы
Что же такое предел? Предел описывает стремление чего-либо к чему-либо.
Вернемся к нашему решению. Для того, чтобы прийти к ответу, мы делили круг на бесконечное количество частей и, следовательно, получили бесконечно маленькое ΔL. Но это не совсем так. У нас действительно было бесконечно много секторов, но это скорее было следствием того, что мы решили, что ΔL будет стремиться к 0.
Математически это можно записать так:
Не поняли - не страшно
Если у вас не получилось понять, что такое пределы с первого раза - не страшно. Это достаточно сложная концепция, которую обычно проходят в 11 классах или на первом курсе университета. Главное, не сдавайтесь, попробуйте перечитать статью с самого начала, или посмотреть ролики на YouTube. Также, попробуйте самостоятельно повторить все те действия, которые мы совершали в процессе решения задачи. Можете для наглядности нарисовать круг, вырезать его, и разделить его на части, как мы это делали в статье, а потом посчитать его приближенную площадь и сравнить с той, которая получается по формуле.
Полезные ссылки
https://ru.wikipedia.org/wiki/Предел_(математика)