Итак, ФИПИ предлагает 3 типа задач. Рассмотрим оба четко, кратко и без воды.
1. В первом цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 16 см. Эту жидкость перелили во второй цилиндрический сосуд, диаметр основания которого в 2 раза больше диаметра основания первого. На какой высоте будет находиться уровень жидкости во втором сосуде? Ответ дайте в сантиметрах.
Решение:
Для начала обозначим (как на рисунке):
h1 - высота первого цилиндра, h2 - высота второго цилиндра, r1 - радиус основания первого цилиндра, r2 - радиус основания второго цилиндра.
Теперь запишем исходные данные в наших обозначениях:
h1 = 16см
d2 = 2 * r2 = 2 * d1 = 2 * 2 * r1 = 4 * r1
h2 = ?
Так как жидкость перелили из первого сосуда во второй без потерь, то объем жидкости не изменился. Поэтому запишем объем жидкости, когда она находилась в первом сосуде и когда она находилась во втором сосуде и приравняем.
Здесь необходимо воспользоваться формулой объема цилиндра.
Все формулы для данного задания собраны в одном месте.
V = pi * (r1)^2 * h1 = pi * (r2)^2 * h2
Выразим из этого равенства параметр, который необходимо найти - h2.
h2 = (r1)^2 * h1 / (r2)^2
И подставим r2, выраженное через r1. Приведем подобные:
h2 = (r1)^2 * h1 / (2 * r1)^2 = 1/4 * h1
А h1 нам известно, подставим и сосчитаем:
h2 = 1/4 * h1 = 1/4 * 16 = 4 см
Ответ: 4
Важно: обращайте внимание на то, в чем просят записать ответ - на размерность.
2. Площадь боковой поверхности треугольной призмы равна 24. Через среднюю линию основания призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы.
Решение:
Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей, образующих ее параллелограммов.
По свойству средней линии треугольника: стороны треугольника делятся ей пополам.
А значит красный и зеленый треугольники подобные по общему углу и двум сторонам: a1/a = b1/b = 1/2. А значит и верно соотношение c1/c = 1/2.
Площадь параллелограмма равна произведению высоты на основание. Высота у всех параллелограммов не меняется, т.е. высота отсеченной призмы совпадает с высотой исходной призмы. А основания параллелограммов, образующих отсеченную призму в 2 раза меньше, чем у параллелограммов, образующих исходную призму: a1/a = b1/b = c1/c = 1/2.
Следовательно, и площади этих параллелограммов будут отличаться в 2 раза. А значит и площади боковых поверхностей исходной и отсеченной призм отличаются также в 2 раза: Sбок1 = 1/2 * Sбок = 1/2 * 24 = 12 см.
Ответ: 12
Важно: обращайте внимание на то, в чем просят записать ответ - на размерность.
3. Через точку, лежащую на высоте прямого кругового конуса и делящую её в отношении 1: 2 , считая от вершины конуса, проведена плоскость, параллельная его основанию и делящая конус на две части. Каков объём той части конуса, которая примыкает к его основанию, если объём всего конуса равен 54?
Решение:
Для начала запишем исходные данные в установленных нами обозначениях:
AO1 / OO1 = 1/2, V = 54, V2 = ?
Итак, предлагаю записать формулу для объема большого конуса и отсеченного.
Все формулы для решения данного типа задач собраны в одном файлике.
V = 1/3 * pi * OB^2, V1 = 1/3 * pi * O1B1^2, V2 = V - V1
Выразим V1 через V (так как значение V = 54 нам известно).
Треугольники AOB и AO1B1 подобны по двум углам и стороне между ними:
угол OAB - общий угол, углы O и O1 - прямые углы (так как AO - высота конуса) и AO1 / AO = 1/3 (так как AO1 / OO1 = 1/2, AO = AO1 + O1O).
А значит можем утверждать следующее соотношение:
k = O1B1 / OB = AO1 / AO = 1/3
Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия, а значит:
V1 = k^3 * V = (1/3)^3 * V = 1/27 * 54 = 2
Тогда V2 = V - V1 = 54 - 2 = 52
Ответ: 52
Традиционная подборка задачек для тренировки:
Ответы, как обычно, завтра для подписчиков. Поэтому подписывайтесь на канал, чтобы не пропустить ответы и новые подборки.
Все вопросы разберем в чате телеграмм - канала:
Еще больше полезного в телеграмм - канале: