Задача: В окружность вписан равнобедренный треугольник, боковые стороны которого равны а. Через его вершину провели хорду окружности длины b, которая пересекает основание треугольника. Найдите длину отрезка этой хорды, лежащего в данном треугольнике.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Проведём высоту BH и продолжим до пересечения с окружностью в точке E, по св-у равнобедренного треугольника, вписанного в окружность, BE - диаметр, обозначим BE за d. Проведём ED и CE. Поскольку ∠BDE и ∠BCE опираются на диаметр, то ∠BDE = ∠BCE = 90° (см рисунок)
Рассмотрим прямоугольные △BHC и △BCE:
- ∠EBC - общий
⇒ △BHC ~ △BCE по I признаку подобия треугольников ⇒ BH/BC = BC/BE; BH = (BC^2)/BE = (a^2)/d.
Рассмотрим прямоугольные △BHM и △BDE:
- ∠DBE - общий
⇒ △BHM ~ △BDE по I признаку подобия треугольников ⇒ BM/BE = BH/BD; BM = BE * BH/BD = (d * (a^2)/d)/b = (a^2)/b.
Ответ: (a^2)/b.
Задача решена.