Для решения задач по начертательной геометрии используется сравнительно небольшой набор методов, каждый из которых является как бы "маленькой элементарной задачей". Каждая, на первый взгляд трудная задача состоит из нескольких таких малых задач. Умение решать сложные задания и эпюры по начертательной геометрии сводится к пониманию того, какие "маленькие задачки" необходимо применить в каждом конкретном случае.
Например, задача на построение линии пересечения двух плоскостей, иллюстрация которой приведена вначале статьи, сводится к применению первой позиционной задачи дважды. То есть, чтобы понять как решать данную задачу, нужно понять как находить точку пересечения прямой и плоскости, а в свою очередь это решение требует понимания того, как определяется принадлежность точки к заданной плоскости.
Целый ряд задач на определение расстояния от точки до плоскости требует умения строить перпендикуляр к плоскости. А для построения перпендикуляра к плоскости нужно уметь строить фронталь и горизонталь к плоскости, заданной любыми способами. Как видите, каждая следующая задача всегда обращается к изученному ранее материалу.
Здесь я привожу много ссылок на все упомянутые задачи, но о перпендикуляре хочу повторить определение еще раз, поскольку эту формулировку очень легко запомнить из-за много раз повторяющихся одних и тех же слов, что звучит довольно забавно:
Горизонтальная проекция перпендикуляра к плоскости перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали этой плоскости.
Фронтальная проекция перпендикуляра к плоскости перпендикулярна фронтальной проекции фронтали этой плоскости.
Очень важная задача начертательной геометрии - это определение истинных расстояний и натуральных величин. Определение расстояния от точки до плоскости включает в себя три элементарных задачи:
1. Построение перпендикуляра к плоскости.
2. Определение точки пересечения прямой с плоскостью.
3. Определение натуральной величины отрезка.
Можно посмотреть интересную задачу на построение проекций параллелепипеда с применением задач на перпендикуляр и определение натуральной величины здесь.
Метод прямоугольного треугольника - один из самых популярных для определения истинной величины отрезка, но для определения натуральной величины плоских фигур больше подходят метод вращения или метод плоскопараллельного перемещения.
Задачи на метод прямоугольного треугольника входят в курс начертательной геометрии и включены в обязательные эпюры почти всех технических ВУЗов. Например, задача на построение отрезка заданной длины.
Для многих студентов задачи с применением плоскостей, заданных следами, кажутся особенно сложными. Однако, если уяснить, что следы плоскости - это не что иное, как горизонталь и фронталь этой плоскости, лежащие непосредственно в плоскостях проекций, то плоскость заданную следами, можно рассматривать как плоскость, заданную пересекающимися прямыми, а точка пересечения этих прямых - это точка схода следов плоскости. Некоторые студенты задают вопрос - а где же тогда вторая проекция фронтали и горизонтали, которыми задана плоскость? Ответ простой: недостающие проекции совпадают с осью Х.
Построение следов плоскости, заданной треугольником - одна из самых популярных задач курса.
Смотрите так же видео о том, как определить расстояние от точки до плоскости, заданной следами.
Отдельно нужно сказать о задачах, условия которых представляются не графическим способом, а аналитическим, например, с формулировкой условий и заданием координат. Посмотрите на задачу из коллоквиума, приведенную на рисунке ниже.
Вопрос: Какая точка принадлежит линии пересечения двух плоскостей заданных точками схода следов Ya=30, Za=30, Yb=10, Zb=-10 (Следов на оси Х нет).
Согласитесь, не очень привычный способ опроса. Однако, ничего сложного здесь нет. Нужно просто построить задачу на листе и найти решение! Давайте разберем эту задачу.
Сразу обратим внимание на то, что следов на оси Х у плоскостей нет. А значит, обе плоскости профильно-проецирующие, то есть, они перпендикулярны профильной плоскости П3. А это значит, что и линия их пересечения будет профильно-проецирующей, и координаты y, z будут одинаковы в любой точке этой прямой, изменяться будет только координата х.
Каждая точка схода следов любой плоскости имеет только одну координату, отличную от нулевой. Построим следы плоскостей:
Как видим, точка пересечения следов плоскостей имеет координаты y=20, z=10. Следовательно, выбираем из предложенных ответов ответ номер 4 - точка А(10,20,10).
Итак, делаем вывод, что для того, чтобы решить задачу по начертательной геометрии, нужно разобрать, из каких элементарных действий состоит решение. Если чертежа к задаче нет, то его нужно сделать!