KUB TENGLAMALARNI YECHISHNING YANA BIR USULI

Boltaboyev Shuxrat Xolmumin o‘g‘li

Jizzax viloyati Zomin tumani 14-umumiy o‘rta ta’lim maktabi

Matematika fani 1-chi toifali o‘qituvchisi.

https://doi.org/10.5281/zenodo.8287236

Qabul qilindi: 25.08.2023

Crossref DOI: 10.24412/cl-37059-2023-08-104-109

UDK: 512.12

Annotatsiya: Mazkur maqolada uchinchi darajali tenglamalarni yechishning avval ma’lum bo‘lgan usullaridan farq qiluvchi boshqa usul bayon qilinadi.

Tayanch so‘zlar: Uchinchi darajali tenglama, Umar Xayyom, Kardano, Chirngauz.

Аннотация: В данной статье изложен способ решения уравнения третьей степени, отличающегося от известных способов.

Ключевые слова: уравнения третьей степени, Умар Хайям, Кардано, Чирнгауз.

Absrtact: This article describes a way to solve the cubic equation different from well-known methods.

Key words: equations of the third degree, Umar Khayyam, Cardano, Chirngauz.

TADQIQOT OBYEKTI VA METODLARI.

Uchinchi darajali tenglamani XI asrda Umar Xayyom (1048-1123) birinchi marta geometrik usulda yechgan edi. U uchinchi darajali tenglamani aylana va parabola tenglamalariga ajratib ularning kesishish nuqtasining berilgan tenglamaning yechimi ekanligini isbotlagan edi. Uning koordinitalar sistemasidagi o‘qlar chapdan o‘ngga va yuqoridan pastga qarab yo‘naltirilgan (Gaymnazarov va b., 2014). XVI asr boshida italiyalik Ferro (1465-1526)

x3+px+q=0 (1)

ko‘rinishdagi tenglamaning yechish usulini topgan edi.

1545 yilda italiyalik Kardano (1501-1576) (1) ko‘rinishdagi tenglamani italiyalik Tartalya (1500-1557) ko‘rsatgan usulda bayon etdi (Kurosh, 1976).

Biz yuqorida qayd etilgan usuldan jiddiy farq qiluvchi usulni bayon qilamiz.

Quyidagi usul yuqorida qayd qilingan usullardan jiddiy farq qiladi.

Biz

x3+c1x2+c2x+c3=0 (2)

tenglamani ko‘rib o‘tamiz , bunda c1, c2, c3 berilgan sonlar (haqiqiy yoki kompleks)

Agar

x=t+ c1/3

almashtirish bajarilsa (2) tenglama

t3+at+b=0

ko‘rinishga keladi, ya’ni (1) ko‘rinishda bo‘ladi.

Biz (2) dan

x3=-c1x2-c2x-c3 (3)

deb yozamiz.

1683 yilda Chirngauz taklif qilgan

almashtirishdan foydalanamiz (Prosolov, 2003), bunda - sonlar hozircha noma’lum (haqiqiy, kompleks). Bu almashtirish va (3) ga asosan

tengliklarni hosil qilamiz, bunda x3=-c1x2-c2x-c3 . Shunday qilib biz

tenglamalar sistemasiga egamiz. Bu sistemani

(A)

ko‘rinishda yozamiz.

Endi

z1=1, z2=x, z3=x2 (*)

deb belgilaymiz. U holda (A) ni

ko‘rinishda yozamiz. Buni larga nisbatan bir jinsli tenglamalar sistemasi deb qaraymiz. Uning nol bo‘lmagan yechimlari cheksiz ko‘p. Bir jinsli tenglamalar sistemasining nol bo‘lmagan yechimlaridan biri.

z1=1, z2=x, z3=x2 ekanligi (ya’ni (*) ekanligi) (A) sistemadan ko‘rinib turibdi.

Shuning uchun oxirgi sistemada

(B)

bo‘lganda qaralyotgan sistema nolmas yechimlarga ega bo‘ladi.

Endi (B) tenglikdan (determinantini yoyib)

tenglamaga ega bo‘lamiz va buni quyidagi ko‘rinishda yozsak

(**)

tenglamaga ega bo‘lamiz, bunda

d1, d2, d3 (C)

sonlar larga bog‘liq sonlar . Shu bilan birga o‘z navbatida sonlar sonlar bilan ifoda etiladi.

Xuddi shunday sonlar ham lar orqali ifoda etiladi.

Demak (C) sonlar lar orqali ifodalanadi.

Endi larni

(D)

Ya`ni

shartni qanoatlantiradigan qilib tanlaymiz, bunda larning birortasini parametr deb olish kerak.

Natijada (D) ga asosan (**) tenglama

(E)

ko‘rinishga keladi.

(E) tenglamadan Muavrning ikkinchi formulasiga ko‘ra ildiz chiqarsak uchinchi darajali ildizdan larni topamiz.

Endi

(F)

almashtirishga asosan yi (i=1,2,3) larni qiymatlarini qo‘ysak uchta kvadrat tenglama hosil bo‘ladi. Bu kvadrat tenglamani yechamiz, bu erda lar (D) dan aniqlanadi.

Oxirgi (F) ni kvadrat tenglama sifatida yechamiz.

U holda:

noma’lumlarni topgan bo‘lamiz.

Shunday qilib x0=1, x1, x2 yechimlar topilgan bo‘ladi, ya’ni (2) tenglamaning yechimlari hosil bo‘ladi.

Misol 1.

Bu misolni yechish uchun deb yozamiz

alashtirishni olamiz. U holda

ifodalarni hosil qilamiz va

tenglamalar sistemasini quyidagi ko‘rinishda yozamiz.

Bu tenglamalar sistemasidan quyidagi determinantni tuzamiz.

Bu determinantdan

(**)

uchinchi darajali tenglamani hosil qilamiz.

Endi (**) tenglamani koeffitsentlarini aniqlaymiz.

Endi (D) shartga e’tibor beramiz.

ekanligidan ,

va bundan

kelib chiqadi. Endi ni hisoblaymiz.

Bu ning qiymatiga asosan (E) tenglamani tuzamiz. Bundan

hosil qilamiz. a+bi- kompleks sondan ildiz chiqarishga asosan quyidagilarni hosil qilamiz. (triganometrik ko‘rinishga keltirib ildiz chiqarish formulasidan foydalanamiz)

ildizlarni hosil qilamiz. Endi va larni aniqlangan qiymatlarida

tenglamalarni yechamiz. Har bir larda

uchun larni

uchun larni

uchun larni aniqlaymiz.

Bu topilgan lardan berilgan tenglamani qanoatlantiradiganlarini aniqlaymiz.

To‘rtinchi darajali tenglamalarni ham shu usulda yechish mumkinligini boshqa maqolada e’lon qilamiz.

ADABIYOTLAR RO‘YXATI:

1. G.Gaymnazarov va boshq. Umar Xayyom va algebra //Fizika, matematika va informatika. 2014.№ 5.– В.48-52.

2. A.G.Kurosh. Oliy algebra kursi. Toshkent, 1976. – 496 b.

3. В.В.Просолов. Многочлены.. Москва:МЦНМО, 2003. – 342 c.