Родился 26 июня (8 июля) 1895 года во Владивостоке в семье инженера Евгения Фёдоровича Тамма (немца по национальности) и Ольги Михайловны Давыдовой.
В 1898 году с семьёй родителей переехал в Елисаветград (сейчас Кропивницкий, Украина), где отец Игоря много лет проработал «городским инженером»: руководил водоснабжением и строительством городской электростанции.
В 1901 году родился младший брат Игоря, Леонид, ставший впоследствии заместителем главного инженера Главного управления азотной промышленности Наркомата тяжёлой промышленности СССР (был расстрелян 28 мая 1937 года по обвинению в участии в контрреволюционной троцкистско-зиновьевской террористической организации).
В 1913 году, после окончания гимназии в Елисаветграде, поступил на факультет точных наук Эдинбургского университета (Шотландия). Перед началом Первой мировой войны перевёлся на физико-математический факультет Московского университета, который и окончил в 1918 году с дипломом по физике.
Уходил добровольцем на фронт в качестве «брата милосердия». После кратковременного увлечения политикой (меньшевик-интернационалист, депутат 1-го Съезда Советов от Елисаветграда) начинает академическую карьеру. Преподаёт в различных высших учебных заведениях:
- Таврическом университете (Симферополь) (1919—1920 годы);
- С 1920 года сотрудничает с Л. И. Мандельштамом;
- Работает в Одесском политехническом институте(1921—1922), где Л.И.Мандельштам заведовал кафедрой;
- В Коммунистическом университете им. Я.М. Свердлова (1922);
С 1922 года (с двумя краткими перерывами) и до конца карьеры деятельность И.Е.Тамма протекает в Москве. В течение многих лет он руководит кафедрой теоретической физики физфака МГУ, где становится доцентом и профессором. Эта кафедра была одной из ключевых кафедр факультета, так как на этой кафедре преподавались общие курсы: теоретической механики, электродинамики, квантовой механики, статистической физики.
1 февраля 1933 года И.Е.Тамма избирают членом-корреспондентом АН СССР по отделению математических и естественных наук.
Этот стремительный взлёт карьеры прекратился в 1939 году, после того как были арестованы и расстреляны его брат, а также близкий друг Б.М.Гессен. Началось давление со стороны руководства ФИАНа, исполняющим обязанности заведующего кафедрой стал В.С.Фурсов.
С 1934 года дополнительно работает в Физическом институте им. П.Н.Лебедева АН СССР, основывает и возглавляет там теоретический отдел.
Проводя исследования в квантовой механике, объяснил акустические колебания и рассеяние света в твердых средах. Впервые предложил идею о квантах звуковых волн (позднее названных «фононами»). Внес вклад в релятивистскую теорию электрона, в которой предсказывалось существование отрицательных энергетических уровней электрона: доказал, что рассеяние низкоэнергетических квантов света на свободных электронах происходит через промежуточные состояния электронов, находящихся при этом в отрицательных энергетических уровнях; показал, что отрицательная энергия электрона является существенным элементом теории электрона. Совершил открытия в квантовой теории металлов: объяснил фотоэлектрическую эмиссию электронов из металла (совместно со студентом С.Шубиным); установил, что электроны вблизи поверхности кристалла могут находиться в особых энергетических состояниях, позднее названных таммовскими поверхностными уровнями, что сыграло важную роль при изучении поверхностных эффектов и контактных свойств металлов и полупроводников. Проводил теоретические исследования в области атомного ядра: попытался объяснить с помощью своей т.н. бета-теории природу сил, удерживающих вместе частицы ядра; обнаружил, что бета-силы на самом деле существуют, но слишком слабы, чтобы выполнять роль «ядерного клея». Исследовал ядерные силы и элементарные частицы. Предложил приближенный квантово-механический метод для описания взаимодействия элементарных частиц, скорости кот-х близки к скорости света. (Метод в дальнейшем был развит химиком П.Д.Данковым, назван методом Тамма–Данкова. Широко используется в теоретических исследованиях взаимодействия типа «нуклон–нуклон» и «нуклон–мезон».) Также разработал каскадную теорию потоков космических лучей. Ввел квантовую механику и теорию относительности в учеб. планы по физике на всей территории Советского Союза.
В 1943 году был кандидатом на должность заведующего кафедрой теоретической физики физфака МГУ. Его оппонентом был А.А.Власов, которого поддерживали декан А.С. Предводителев и Учёный совет факультета. В результате Тамм проиграл Власову (5 голосов против 24), но эти результаты были оспорены научным сообществом в виде письма 14 академиков. На должность заведующего кафедрой партийным руководством был назначен В.А.Фок.
В 1946—1949 годах — первый заведующий кафедрой теоретической ядерной физики МИФИ. В 1946 году Тамм получил Сталинскую премию. В этом же году Тамм был привлечён совместно c А.Д.Сахаровым кпроекту создания первой советской атомной бомбы, участвовал в теоретических исследованиях ударной волны большой интенсивности. Первая советская атомная бомба была испытана на Семипалатинском полигоне в Казахстане 29 августа 1949 года. В 1949 году Игорь Евгеньевич возвращается в МГУ имени М.В.Ломоносова на кафедру квантовой теории и электродинамики (часть кафедры теоретической физики после разделения оной).
По предложению И.В.Курчатова Тамм в 1948 году организует группу для изучения вопроса о возможности создания термоядерного оружия. В 1950 году Тамм с группой сотрудников ФИАН был переведён в КБ-11 в Арзамас-16 (Саров), где становится начальником отдела, в мае 1952 года — начальником сектора. Группа Тамма, в которую входили А.Д.Сахаров и В.Л.Гинзбург, разработала ряд принципов, позволивших создать первую термоядерную бомбу, успешно испытанную 12 августа 1953 года.
23 октября 1953 года И.Е.Тамм становится академиком АН СССР по отделению физико-математических наук, получает ещё одну Сталинскую премию. Секретным указом Президиума Верховного Совета СССР от 4 января 1954 года Тамму присвоено звание Героя Социалистического Труда с вручением ордена Ленина и золотой медали «Серп и Молот».
В начале 1954 года Тамм возвращается в Москву и вновь приступает к работе в ФИАН. В этом институте он работал до конца жизни.
В 1955 году подписал «Письмо трёхсот».
В 1958 являлся участником Женевской конференции по вопросам запрещения испытаний ядерного оружия.
В 1960-х годах И.Е.Тамм был активным участником Пагуошского движения учёных.
В 1966 году подписал письмо 25 деятелей культуры и науки генеральному секретарю ЦК КПСС Л.И.Брежневу против реабилитации Сталина.
И.Е.Тамм скончался 12 апреля 1971 года от бокового амиотрофического склероза, который привёл к параличу дыхательных мышц. Незадолго до кончины ему пришлось прибегнуть к искусственной вентиляции лёгких. Похоронен в Москве на Новодевичьем кладбище (участок № 7).