"Однажды в самом начале учебного года, мне пришлось услышать разговор двух девочек. Старшая из них перешла в шестой класс, младшая - в пятый. Девочки делились своими впечатлениями об уроках, учителях, подругах, о новых предметах. Шестиклассницу очень удивили уроки геометрии: "Вот чудеса, - говорила она, - пришла учительница в класс, нарисовала на доске два равных треугольника, а потом целый урок доказывала нам, что они равны. Никак не пойму: зачем это нужно?" "А как же ты урок будешь отвечать?" - спросила младшая девочка. "Выучу по учебнику... вот только очень трудно запоминать, где какую букву нужно ставить..." Таким рассказом начинается интересная книжка "О доказательстве в геометрии" А.И.Фетисова (Гостехиздат, 1954).
Мне тоже много раз приходилось слышать от шестиклассников, что они не понимают, зачем нужно рассуждениями доказывать геометрические теоремы. "Что вертикальные углы равны - говорили они - это и так видно". "Что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны - это показывает чертеж. Чего же тут еще рассуждать?" - удивлялись они. Нельзя было оставлять такие вопросы без ответа, вот и приходилось беседовать с учащимися о математических доказательствах. Об одной из таких бесед я и расскажу.
Шестиклассник Боря сказал мне, что геометрические теоремы надо доказывать чертежами. "Посмотришь на чертеж и сразу видно, что теорема верна. Глаз не обманет", - говорил он. Тогда я показал Боре несколько имевшихся у меня под руками чертежей. "Сравни вот эти два отрезка по длине", - попросил я.
Боря посмотрел на чертеж и, усмехнувшись, сказал: "Конечно, вертикальный длиннее". "А сейчас?" - и я показал второй чертеж.
"Ясно, что левый длиннее", - заявил Боря. "А вот два параллелограмма
и в каждом из них проведена диагональ. Сравни их". И на этот раз Боря уверенно заявил, что нижняя диагональ длиннее. Тогда я попросил Борю взять линейку и измерить все сравниваемые отрезки. Он охотно сделал это, ничуть не сомневаясь, что измерения только подтвердят его ответы. Но измерения показали, что что на каждом из этих чертежей сравниваемые отрезки равны. Боря не поверил этому и снова начал измерять. Новые измерения привели к тому же выводу - отрезки равны.
Затем я показал Боре еще три чертежа
и попросил его установить, прямые или кривые линии АВ и CD на эти чертежах. Ответ был таким: "Конечно, кривые". И снова Боря растерялся, когда приложил к этим линиям линейку и обнаружил, что все эти линии - прямые.
Наконец я показал Боре еще один рисунок
и спросил, что изображено на нем. Он внимательно посмотрел и сказал: "Тут изображены три кубика: один вверху, а два внизу". "Посмотри снова, - попросил я, - так как мне кажется, что вверху два кубика, а под ними один". Боря снова внимательно посмотрел. "А ведь верно, два вверху и один внизу. Почему же мне вначале показалось, что наоборот? Постойте, постойте, опять два внизу, а один вверху". Боря удивленно протер глаза. "Как же так? Снова два сверху, а один снизу. Чудно".
После всего этого мне оставалось спросить Борю, можно ли доказывать чертежами теоремы, не могут ли наши глаза обмануть нас. И Боря честно признал, что рассмотрение чертежей может привести к ошибкам, потом немного подумал и, оживившись, сказал: "Глазам доверять нельзя, а надо измерять". Пришлось мне продолжить беседу. Я сказал Боре, что всякие измерения неточны, да к тому же выполнить их часто бывает трудно. Может, например, не оказаться под руками нужных инструментов. Но главное - в другом. Измерить можно один или несколько отрезков, один или несколько углов и т.д. Но все фигуры измерить невозможно. И то, что верно для каких-нибудь двух измеренных треугольников, может оказаться неверным для других треугольников. Как же быть? Вывод сделал сам Боря. "Делать нечего, придется учиться рассуждать, чтобы доказывать теоремы". Это был хороший вывод. Действительно, надо учиться правильно, логически рассуждать.
Ставь лайк и подписывайся на канал.
@matematika #математика #геометрия #история #теорема #доказательство #математическая шкатулка