Краткая теория в картинках. Тут важна только суть, описанная простым и понятным языком. Статья написана в целях, раз и навсегда, разобраться читателю с тригонометрией. Поясню сразу, тригонометрия — область обширная. Однако, само определение синуса и косинуса — очень простое. И, по сути, существуют только 2 уникальные функции — синус и косинус. А тангенс, котангенс... — функции добавочные, вытекающие из определения тех 2-х. Поэтому данная "наука" изучает не определения функций, а их свойства. Статья возложит фундамент в изучении тригонометрии.
Пусть вас не пугает, что материал исполнен на математическом языке (однако, на простом, понятном языке). Это необходимость. Иначе, статья затянулась бы в новую "Войну и мир". Важно, для понимания теории, внимательно вчитываться в текст, а не "пробегать глазами". В работе высокая плотность иллюстраций — 66.
В статье нет ничего лишнего, все по сути. Но, это не справочник! Цель — внести читателю понимание сути тригонометрии. Здесь вы не увидите большого количества формул, хотя основные, безусловно, будут. Автор ничего вам не гарантирует, все зависит от вас самих. Возможны опечатки, грамматические, речевые или пунктуационные ошибки.
Пояснение математических знаков:
1. ∠ – знак угла;
2. => – "из этого следует";
3. ° – знак градуса угла;
4. ∅ – пустое множество, "не существует";
5. ≈ – "примерно равно";
6. π – пи (≈ 3,14);
7. R – радиус:
8. L – длина окружности.
СОДЕРЖАНИЕ
I. ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНЫЙ
II. СУТЬ СИНУСА (SIN) И КОСИНУСА (COS)
III. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ОКРУЖНОСТЬ
IV. СУТЬ ТАНГЕНСА (TG) И КОТАНГЕНСА (CTG)
V. РАДИАННАЯ МЕРА ИЗМЕРЕНИЯ УГЛОВ. РАДИАН
VI. СУТЬ АРКСИНУСА (ARCSIN), АРККОСИНУСА (ARCCOS), АРКТАНГЕНСА (ARCTG), АРККОТАНГЕНСА (ARCCTG)
VII. СУТЬ СЕКАНСА (SEC) И КОСЕКАНСА (COSEC), АРКСЕКАНСА (ARCSEC) И АРККОСЕКАНСА (ARCCOSEC)
VIII. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
IX. ГРАФИКИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
X. КРАТКИЙ СПРАВОЧНИК
I. ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
1. ∠ABC + ∠CAB + ∠BCA = 180°, где
а. ∠ACB = 90°;
б. α =∠CBA, β = ∠CAB;
в. α + β + 90° = 180° => α + β = 90° => α = 90° - β, β = 90° - α;
2. в – СВ, в – катет; а – СА, а – катет; с = АВ, с – гипотенуза;
3. а – прилежащий катет к α, но в – противолежащий катет к α → Рис. 2
4. в – прилежащий катет к β, но в – противолежащий катет к β → Рис. 3
II. СУТЬ СИНУСА (Sin) И КОСИНУСА (Cos)
1. Синус — отношение противолежащего катета к гипотенузе. Косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе, то есть:
а. sin = (прот. к.) / (гипот.) => sinα = в/с, sinβ = а/с;
б. cos = (прил. к.) / (гипот.) => cosα = а/с, cosβ = в/с;
в. sinα = в/с и cosβ = в/с => sinα = cosβ => sinα - cosβ = 0;
г. cosα = а/с и sinβ = а/с => cosα = sinβ => cosα - sinβ = 0;
2. Подобие треугольников:
а. Внимание – при вычислении косинуса и синуса имет значение лишь сам угол между катетом и гипотенузой, а не конкретное значение треугольника.
б. Поясню – здесь речь идет о подобии треугольников: есть ∆АВС, где а = 3, в = 4, с = 5 [∆ с катетами = 3 и 4, гипотенузе = 5 — Египетский треугольник]. cosα = 4/5 = 0.8 → Рис. 5
в. Умножим стороны ∆ [а=4, в=3, с=5] на произвольное число, например, на 2.3 => есть ∆АВС, где в = 6.9, а = 9.2, с = 11.5 => cosα = 9.2/11.5 = 0.8 → Рис. 6
г. Вывод: т.к. cosα от ∆ [а=4, в=3, с=5] = cosα от ∆ [(а=4, в=3, с=5) * 2.3] => косинус и синус – зависят от угла, а не от конкретных сторон ∆.
3. Вычисление cos45°, sin45°, cos0°, sin0°, cos90°, sin90°:
а. Для удобства, пусть с = 1 => при с = 1: sinα = в/1, cosα = а/1 => sinα = в, cosα = а.
б. Допустим, α = 45° => β = 90° - 45° = 45° => т.к. α = β => а = в;
По т. Пифагора: с² = а² + в² => а² + в² = 1² => 2а² = 1 => а = 1 / √2 → Рис. 7
т.к. а = в = 1 / √2 и α = β = 45° => sin45° = cos45° => sin45° = cos45° = 1 / √2 ≈ 0.707;
Преобразуем дробь 1 / √2 => (1 / √2) * (√2 / √2) = √2 / 2 ≈ 0.707;
Вывод: sin45° = √2 / 2, cos45° = √2 / 2.
в. Допустим, α = 0°=> 'с' и 'а' схлопнутся друг в друга => с = а = 1, в = 0 → Рис.8
sin0° = в / с = 0 / 1 = 0;
cos0° = а / с = 1 / 1 = 1;
Вывод: sin0° = 0, cos0° = 1.
г. Допустим, α = 90°. 'с' и 'в' схлопнутся друг в друга => с = в = 1, а = 0 → Рис. 9
sin90° = в / с = 1 [в=с];
cos90° = а / с = 0 / с = 0;
Вывод: sin90° = 1, cos90° = 0.
Как вычислить, например, sin1°? — это отдельная тема, которая в статье не рассматривается. Для таких целей есть уже готовая таблица синусов и косинусов – таблица Брадиса, калькулятор и т.п.
III. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ОКРУЖНОСТЬ
1. Нарисуем окружность с радиусом R = 1, поместим ее в центр [0;0] декартовой системы координат, где ось абсцисс – cos, ось ординат – sin → Рис. 10
При движении против часовой стрелки – угол принимает положительное значение, при движении по часовой – отрицательное. Например, 270° и -90 ° – одна и та же точка на окружности. Окружность = 360° => 0° и 360° – одна и та же точка. Можно делать ∞ количество оборотов на окружности => 0°, 360°, 720°, -720°, – одна точка.
2. Мы помним, что при с = 1 => cosα = а, sinα = в [cosα=а/1=а, sinα=в/1=в]. Из данной тригонометрической окружности наглядно видно, почему sin0° = 0, cos0° = 1, sin90° = 1, cos90° = 0 → Рис.11 & Рис.12
3. Мы помнм, что при α = 45° => cos45° = sin45° = √2 / 2 → Рис. 13
4. Используя концепцию тригонометрической окружности, можем вывести: cos135°, sin135°, cos180°, sin180°, cos225°, sin225°, cos270°, sin270°, cos315°, sin315, cos360°, sin 360°, а так же значения от 405°, 450°... ... ... и т.д.
а. cos135° = -√2 / 2, sin135° = √2 / 2;
б. cos180° = -1, sin180° = 0;
в. cos225° = -√2 / 2, sin225° = √2 / 2;
г. cos270° = 0, sin270° = -1;
д. cos315° = √2 / 2, sin315° = √2 / 2;
е. cos360° = 1, sin360° = 0;
ж. cos405° = √2 / 2, sin405° = √2 / 2;
з. cos450° = 0; sin450° = 1;
и. ... ... ... → Рис. 14
5. Как видим, cos45° = cos405°, sin45° = sin405°, cos450° = cos90°, sin90° = sin450° ... связано это с тем, что окружность = 360°, и сделав оборот в 360°, возвращаешься в то же самое место, откуда начал путь:
а. 405° - 360° = 45° => 45° = 405°;
б. 450° - 360° = 90° => 90° = 450°;
в. ... ... ...
Причем, можно делать бесконечное количество оборотов в 360° на окружности, то есть: cosα = cos(α - n360°), sinα = sin(α - n360°), где n – количество полных оборотов на окружности = 360°.
6.Заметим закономерность:
а. sinα, где α в промежутке (0°; 180°) — положительное значение;
б. sinα, где α в промежутке (180°; 360°) — отрицательное значение → Рис. 15
в. cosα, где α в промежутке (-90°; 90°) — положительное значение;
г. cosα, где α в промежутке (90°; 270°) — отрицательное значение → Рис. 16
7. Другими словами:
а. sin ≥ 0 в I-ой и II-ой четвертях, но sin ≤ 0 в III-ей и IV-ой четвертях;
б. cos ≥ 0 в I-ой и IV-ой четвертях, но cos ≤ 0 во II-ой и III-ей четвертях, где:
I — четверть в промежутке [0°; 90°];
II— четверть в промежутке [90°; 180°];
III— четверть в промежутке [180°; 270°];
IV— четверть в промежутке [270°; 360°] → Рис. 17
8. т.к. α ≥ 0 при движении против часовой стрелки, но α ≤ 0 при движении по часовой стрелки, и горизонтальная ось абсцисс распологается по середине такой симметрии – наблюдается интересное свойство косинуса => cosα = cos(-α) → Рис. 18
9. Дополним нашу тригонометрическую окружность новыми значениями: cos30° = √3 / 2, sin30° = 1 / 2, cos60° = 1 / 2, sin60° = √3 / 2 → Рис. 19
10. Внесем полученные данные в таблицу → Таб. 1
IV. СУТЬ ТАНГЕНСА (TG) И КОТАНГЕНСА (CTG)
1. Тангенс (tg) — отношение синуса на косинус:
tgα = sinα / cosα => sinα / cosα = (b / c) / (a / c) = (b / c) * (c / a) = b / a =>
Тангенс — отношение противолежащего катета к прилежащему катету:
tgα = (против. к.) / (прил. к.) → Рис. 21
2. Вычисление tg0°, tg45° и tg90°:
а. При α = 0, 'с' и 'а' схлопнутся в один отрезок => с = а = 1, в = 0 → Рис. 23
tg0° = в / а = 0 / а = 0;
б. При α = 90°, 'в' и 'с' схлопнутся в один отрезок, в = с = 1, а = 0 → Рис. 24
tg90° = в / а = в / 0 = ∅ [на ноль делить нельзя] => tg90° = ∅.
в. При α = 45° => в = а → Рис. 25
tg45° = в / а = 1 [в=а];
Вывод: tg0° = 0, tg45° = 1, tg90° = ∅.
3. Тангенс на тригонометрической окружности → Рис. 26
4. Вычисление tg30°и tg60°:
а. tg30° → Рис. 27
Удлиним нашу гипотенузу 'с' до вершины стороны 'tg30°' – назовем новую гипотенузу 'с1'. Найдем 'с1' через косинус (cos):
cos30° = 1 / c1 =>
√3 / 2 = 1 / c1 =>
c1* (√3 / 2) = 1 =>
c = 1 / (√3 / 2) = 2 / √3;
По т. Пифагора: tg²30° = (2 / (√3))² - 1² =>
tg30° = √(4 / 3 - 1) = √(1 / 3) = (1 / √3) * (√3 / √3) = √3 / 3 => tg30° = √3 / 3 → Рис. 28
б. tg60° → Рис. 29
Удлиним нашу гипотенузу 'с' до вершины стороны 'tg60°' – назовем новую гипотенузу 'с1'. Найдем 'с1' через косинус (cos):
cos60° = 1 / c =>
1 / 2 = 1 / c =>
(1 / 2) * c = 1 =>
c = 1 / (1 / 2) = 2;
По т. Пифагора: tg²60° = 2² - 1² => tg60° = √3;
Вывод: tg0° = 0, tg45° = 1, tg90° = ∅, tg30° = √3 / 3, tg60° = √3.
5. Отображение значений тангенса на тригонометрической окружности → Рис. 30
6. Заполним полученные данные в таблицу → Таб. 2
7. Котангенс (ctg) — отношение косинуса на синус.
ctgα = cosα / sinα => ctgα = cosα / sinα =>
cosα / sinα = ((a / c) / (в / с)) = а / с * с / в = а / в =>
Котангенс — отношение прилежащего катета к противолежащему катету.
8. Вычисление: ctg0°, ctg45°, ctg90°:
a. При α = 0°, 'с' и 'а' схлопнутся в один отрезок => с = а, в = 0 → Рис. 33
ctg0° = а / в = а / 0 = ∅.
б. При α = 90°, 'в' и 'с' схлопнутся в один отрезок, а = 0 → Рис. 34
ctg90° = а / в = 0 / в = 0.
в. При α = 45° => в = а → Рис. 35
ctg45° = в / а = 1.
Вывод: ctg0° = ∅, ctg45° = 1, ctg90° = 0.
9. Котангенс на тригонометрической окружности → Рис.36
10. Вычисление: ctg30°, ctg60°:
а. ctg30° → Рис. 37
Удлиним нашу гипотенузу 'с' до вершины вертикального катета– назовем новую гипотенузу 'с1'. Найдем 'с1' через синус:
sin30° = 1 / c =>
1 / 2 = 1 / c =>
(1 / 2) * c = 1 =>
c = 1 / (1 / 2) = 2 => c = 2;
По т. Пифагора ctg²30° = 2² - 1² => ctg30° = √3
б. ctg60° → Рис.38
Удлиним нашу гипотенузу 'с' до вершины вертикального катета – назовем новую гипотенузу 'с1'. Найдем 'с1' через синус:
sin60° = 1 / c =>
√3 / 2 = 1 / c =>
c * (√3 / 2) = 1 =>
c = 1 / (√3 / 2) = 2 / √3 => c = 2 / √3;
По т. Пифагора: ctg²60° = (2 / √3)² - 1² => ctg60° = √(4 / 3 - 1) = √(1 / 3) = (1 / √3) * (√3 / √3) = √3 / 3 => ctg60° = √3 / 3;
Как видим tg30° = ctg60°, а tg60° = ctg30° => можем сделать вывод tgα = ctg(90° - α), ctgα = tg(90° - α);
11. Доказательство вывода:
Мы помним, β = 90 - α => ctg(90° - α) = ctg(β), tg(90° - α) = tg(β). Так же помним, sinα = cosβ, cosα = sinβ =>
а. tgα = ctg(90° - α) =>
sinα / cosα = cosβ / sinβ — дроби равны => тождество верно, что и треб. доказ.
б. ctgα = tg(90° - α) =>
cosα / sinα = sinβ / cosβ — дроби равны => тождество верно, что и треб. доказ.
12. Существуют еще 2 тригонометрических тождества:
1) tgα = 1 / ctgα; [sinα / cosα = 1 / (cosα / sinα) => sinα / cosα = sinα / cosα]
2) ctgα = 1 / tgα; [cosα / sinα = 1 / (sinα / cosα) => cosα / sinα = cosα / sinα]
то есть:
3) tgα - 1 / ctgα = 0;
4) ctga - 1 / tga = 0.
13. Отображение котангенса на тригонометрической окружности → Рис. 39
14. Запишем полученные данные в таблицу → Таб. 3
15. Отображение тангенсов и котангенсов на расширенной таблице → Таб. 4
V. РАДИАННАЯ МЕРА ИЗМЕРЕНИЯ УГЛОВ. РАДИАН
1. Чему равна длина окружности? => L = 2πR;
Чему равна длина окружности с радиусом 1 (единичная окружность) ? => L = 2π;
Другими словами, длина L единичной окружности = 2π радиан => 2π ≈ 6,28 радиан;
То есть, L единичной окружности ≈ 6,28 радиан;
Окружность = 360° => 2π радиан = 360° → Рис. 40
2. Т. к. 2π = 360°, то сколько радиан в 1°? => 2π / 360 = 1° => 2π / 180= 1°.
Вывод: 1° = π / 180. Расписав это словами: при α = 1°, длина кусочка единичной окружности = π / 180 ≈ 0,017 радиан → Рис. 41
а. 2° = (π / 180) * 2 => 2° = π / 90;
б. 3° = (π / 180) * 3 => 3° = π / 60;
в. ... ... ...
3. Вопрос: чему равен α, при длине кусока окружности = 1 радиан? =>
Т.к. 1° = π / 180 => (уравнение) х(π / 180) = 1 радиан => х = 1 / (π / 180) = 180 / π =>
х = (180 / π) ≈ 57,29° => 57,29° ≈ 1 радиан → Рис. 42
4. Отобразим 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 175° ... в радианах:
а. 30° = 30 * (π / 180) = π / 6 радиан;
б. 45° = 45 * (π / 180) = π /4 радиан;
в. 60° = 60 * (π / 180) = π / 3 радиан;
г. 90° = 90 * (π / 180) = π / 2 радиан;
д. 180° = 180 * (π / 180) = π радиан;
е. 270° = 270 * (π / 180) = 3π / 2 радиан; (90° * 3 = (π / 2) * 3)
ж. 360° = 360 * (π / 180) = 2π радиан;
з. ... ... ... → Рис. 43
5. Отобразим полученные данные в виде таблицы → Таб. 5
6. Пример: sin175° = sin(3π/2), т.к. 3π / 2 = 175° и т.п.
|Важно! 3π/4 = именно 175 градусам,а не просто 175;
|3π/4 = 3π/4 радиан ≈ 2,356 радиан;
|Угол – это угол, а радиан – это длина; угол можно выразить в радианах.
7. Отобразим полученные данные на тригонометрической окружности → Рис. 44
8. Отобразим все данные на таблице → Таб. 6
VI. СУТЬ АРКСИНУСА (ARCSIN), АРККОСИНУСА (ARCCOS), АРКТАНГЕНСА (ARCTG), АРККОТАНГЕНСА (ARCCTG)
sin, cos, tg, ctg – это тригонометрические функции.
1. Рассмотрим функцию Синуса:
sin(x) = y, где
х – угол или радиан;
у – значение sinx.
Например: sin30° = 1 / 2, где х = 30°, у = ½;
Чтобы расчитать у, должен быть известен х;
Бывают случаи, где х – не известен, но у – известен => sin(x) = 1 / 2, чему уравен х? => х = arcsin(1/2) = 30° или π/6.
Как видим, результат расчета арксинуса выражается в градусах или радианах.
Заметим: sin(arcsin(x)) = x;
Вывод: функция арксинуса обратная от функции синуса.
|sin(x) = y, arcsin(y) = x → Рис. 45
2. Точно такая же логика у арккосинуса, арктангенса и арккотангенса:
а. cos(x) = y => arccos(y) = x;
б. tg(x) = y => arctg(y) = x;
в. ctg(x) = y => arcctg(y) = x.
Примеры:
а. sin30° = 1 / 2 => arcsin(1/2)= 30°;
б. cos60° = 1 / 2 => arccos(1/2) => 60°.
3. α = arcsin(в), β = arcsin(а) → Рис. 46
4. α = arccos(a), β = arccos(в) → Рис. 47
VII. СУТЬ СЕКАНСА (SEC) И КОСЕКАНСА (COSEC), АРКСЕКАНСА (ARCSEC) И АРККОСЕКАНСА (ARCCOSEC)
1. Существуют еще 2 тригонометрические функции: секанс и косеканс. + 2 их обратные функции: арксеканс и аркосеканс:
а. sec(x) = 1 / cos(x);
б. cosec(x) = 1 / sin(x);
в. sec(x) = y => arcsec(y) = x;
г. cosec(x) = y => arccosec(y) = x.
| Секанс = гипотенуза / прилежащий катет.
| Косеканс = гипотенуза / противолежащий катет.
2. Примеры:
а. sec30° = 1 / cos30° = 1 / (√3 / 2) = 2 / √3 => sec30° = 2 / √3;
б. cosec30° = 1 / sin30° = 1 / (1 / 2) = 2 => cosec30° = 2;
в. arcsec(2/√3) = 30° или π/6;
г. arccosec(2) = 30° или π/6.
3. Таблица значений секанса и косеканса → Таб. 7
5. Геометрический смысл секаса и косеканса → Рис. 48
VIII. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
IX. ГРАФИКИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
1. График функции у = sin(x) — синусоида → График 1
2. График функции у = cos(x) — косинусоида (синусоида) → График 2
3. График функции y = tg(x) — тангенсоида → График 3
4. График функции y = ctg(x) — котангенсоида → График 4
5. График функции y = sec(x) — секансоида → График 5
6. График функции y = cosec(x) — косекансоида → График 6
X. КРАТКИЙ СПРАВОЧНИК
1. Определения тригонометрических функций:
Основные:
1) sin(x) = гипот. / прот. кат. = y;
2) cos(x) = гипот. / прил. кат. = y;
3) tg(x) = sin(x) / cos(x) = прот. кат. / прил. кат. = y;
4) ctg(x) = cos(x) / sin(x) = прил. кат. / прот. кат. = y;
5) sec(x) = 1 / cos(x) = гипот. / прил. кал. = y;
6) cosec(x) = 1 / sin(x) = гипот. / прот. кат. = y;
Обратные: [ f(x) = y ] =>
7) arcsin(y) = x;
8) arccos(y) = x;
9) arctg(y) = x;
10) arcctg(y) = x;
11) arcsec(y) = x;
12) arccosec(y) = x.
2. Основные тригонометрические тождества:
1) sin²(x) + cos²(x) = 1;
2) tg(x) * ctg(x) = 1;
3) tg²(x) = 1 / cos²(x);
4) ctg²(x) = 1 / sin²(x);
5) sin(-x) = -sin(x);
6) cos(-x) = cos(x);
7) tg(-x) = -tg(x);
8) ctg(-x) = ctg(x);
9) tg²x + 1 = 1 / cos²(x);
10) ctg²x + 1 = 1 / sin²(x);
11) sin²(x) = (1 - cos(2x)) / 2;
12) cos²(x) = (1 + cos(2x)) / 2;
13) sin³(x) = (3sin(x) - sin(3x)) / 4;
14) cos³(x) = (3cos(x) + cos(3x)) / 4;
15) sin⁴(x) = (3 - 4cos²(x) + cos(4x)) / 8;
16) cos⁴(x) = (3 + 4cos²(x) + cos(4x)) / 8.
3. Тригонометрическая окружность → Рис. 51
4. Таблица значений тригонометрических функций → Таб. 8
5. Физический смысл тригонометрических функций ( для α = (0°;45°) ) → Рис. 52