https://www.youtube.com/watch?v=PfAENWzgIes
Привет всем добро пожаловать на подкаст Mindscape я ваш ведущий шон кэрролл за эти годы
hello everyone welcome to the mindscape podcast i'm your host sean carroll
мы проделали много научной работы над подкастом так
we've done a lot of sort of science on the podcast over the years as it were
как подкаст достаточно старый я могу теперь сказать за эти годы вау это довольно
the podcast is old enough i can now say over the years wow that's pretty
впечатляет и заниматься наукой, когда вы пытаетесь говорить
impressive and doing science when you try to talk
о науке перед аудиторией, которая не обязательно
about science to a an audience which is not necessarily
состоит из специалистов в этом конкретном виде науки,
full of specialists in that particular kind of science
что вы делаете, как вы говорите о науке с неучеными, ну, самое
what do you do how do you talk about science to non-scientists well the very
первое, что вы делаете, это раздеваетесь из всей математики правильно вы
first thing you do is you strip out all the math right you
предполагаете, что люди, которые слушают, не обязательно знакомы с уравнениями
assume that the people listening are not necessarily familiar with the equations
символами манипуляциями, через
the symbols the manipulations that the professional
которые должны пройти профессиональные ученые, чтобы понять свою область, но вы,
scientists have to go through to understand their field but you can
тем не менее, даже без математики можете говорить о концепциях, которые
nevertheless even without the math you can talk about the concepts that the
когда ученые имеют дело с этим, возникает загадка, когда вы
scientists are dealing with this raises a puzzle when the thing you
хотите поговорить о математике, мы не говорили о математике
want to talk about is math we haven't talked about math
как о чистом предмете так много здесь, в области мышления, мы я разговаривал со
as a pure subject that much here on mindscape we did talk to
Стивеном Строгацем, который является профессиональным математиком, но он очень близок к
steven strogatz who's a professional mathematician but he's very close to
тому, чтобы стать физиком, во многих отношениях мы еще не совсем поднялись в действительно
being a physicist in many ways we haven't quite ascended to the truly
абстрактные области очень чистой математики, поэтому это то, что мы делаем здесь сегодня
abstract realms of very pure mathematics so that's what we're doing here today
чистая математика никаких уравнений, но мы мы попытаемся
pure mathematics no equations but we're going to try to
поговорить о концепциях, с которыми вы сталкиваетесь
talk about the concepts that you come across
в самых возвышенных сферах математической мысли.
at the most elevated realms of mathematical thought
Сегодня нашей гостьей является Эмили Реал, тополог из Университета Джона Хопкинса,
our guest today is emily real who is a topologist at johns hopkins
и она очень верит в возможность осмыслить эти глубокие
and she's a very big believer in being able to conceptualize these deep
математические идеи. самым простым и наилучшим образом, так что
mathematical ideas in the simplest and best way possible so
она отличный человек, чтобы вести нас в этом туре, и основополагающая идея, о которой
she's a great person to guide us on this tour and the foundational idea
мы собираемся говорить, заключается в топологии.
we're going to be talking about is topology
topology is the study of the properties of mathematical spaces
вы
that are invariant when you smush them when you
плавно деформируете их немного прямо, как если бы у вас была
smoothly deform them a little bit right like if you have some
глина, которой придали форму, вы можете говорить о количестве отверстий в
clay that is molded into a shape you can talk about the number of holes in the
форме глины что у вас есть, а затем, если вы немного переместите глину, если
shape of clay that you have and then if you move around the clay a little bit if
вы не разорвете ее, количество отверстий останется постоянным,
you don't rip it the number of holes will remain constant
так что это топологический инвариант , оказывается, и здесь начинается самое интересное,
so that's a topological invariant it turns out and this is where the fun
что как математик вы хотите сказать хорошо,
part comes that as a mathematician you want to say okay
что мы подразумеваем под характеристикой свойств математического пространства
what do we mean by characterizing the qualities of a mathematical space
, которые инвариантны относительно гладких деформаций,
that are invariant under smooth deformations
хорошо, вы можете посчитать дыры, вы также можете сказать, хорошо, сколько раз я могу
well you can count the holes you can also say well how many times can i make
сделать путь, который огибает дыры в этой конкретной системе,
a path that wraps around the holes in this particular system
которые типы структур оказываются числами или
those kinds of structures turn out to be numbers or
преобразованиями или другими вещами, которые мы можем складывать и умножать вместе,
transformations or other things that we can add together and multiply together
и мы строим эти математические алгебраические структуры
and we build these mathematical algebraic structures
, задавая вопрос, как мы топологически характеризуем
by asking the question how do we topologically characterize
эти виды пространств, поэтому мы переходим от топологии
these kinds of spaces so we're led from topology
к алгебре. и Эмили отвезет нас туда мы собираемся обсудить
into algebra and emily's going to take us there we're going to discuss
такие вещи, как гомотопные группы, кольца, группоиды, все эти слова, которых
things like homotopic groups rings groupoids all these words that you're
не должно быть. мы уже были знакомы с ними мы
not supposed to have necessarily been familiar with already we're going
собираемся обсудить их и в конце мы подходим к тому, что называется
to discuss them and by the end we're getting into what is called
теорией категорий теория категорий это то, чем занимаются
category theory category theory is something where
даже другие математики о нет это слишком абстрактно для меня
even the other mathematicians go oh no that's too abstract for me
теория категорий это что-то общее теория пространств и структур и карт
category theory is sort of a general theory of spaces and structures and maps
между ними, она обеспечивает другой способ думать
between them it provides a different way of thinking
о математике в целом, поэтому я твердо верю, что вы знаете, что
about mathematics as a whole so i'm a big believer that you know
математика, как и физика, является частью общего интеллектуального
math just like physics is part of the general intellectual
разговора, который мы должны вести, должна быть история. и экономика, и математика,
conversation we should be having there should be history and economics and math
и физика, и было бы ошибкой исключать математику
and physics and it would be a mistake to exclude math
из этого общего интеллектуального дискурса, и я думаю, что этот разговор является хорошим
from this overall intellectual discourse and i think this conversation is a good
примером того, как мы можем это сделать, вы знаете, думая, как математик,
example of how we can do it you know thinking like a mathematician
дает вам новые ручки в мире, точно так же, как думаю, как физик,
gives you new handles on the world just like thinking like a physicist does
и поэтому я думаю, что это будет весело , пойдем,
and so i think it's going to be fun let's go
Эмили, добро пожаловать на подкаст Mindscape, спасибо,
emily real welcome to the mindscape podcast thank you
ты знаешь, я знаю, что как p физик как физик-теоретик, который думает
you know i know that as a physicist as a theoretical physicist who thinks about
о Вселенной и множестве миров квантовой механики и т. д.
the universe and the many worlds of quantum mechanics and so forth
Меня часто спрашивают, в чем смысл этого, знаете ли
i'm often asked like what is the point of this you know are you
, вы делаете лучший сотовый телефон или у вас рак, например, почему ты
are you making a better cell phone or are you carrying cancer like why are you
делаешь это, и у меня есть свои ответы, но как математик, который работает над
doing this and i have my own answers but as a mathematician who works on topology
такими вещами категории топологии, ты также должен понять это, так что ты, что у тебя
category things like that you must also get this so you what what is your do you
есть, у тебя есть любимый ответ на такой вопрос,
have a favorite answer to that kind of question
конечно, я имею в виду мой мой папа любит спрашивать меня, каковы практические применения
sure i mean my my dad loves to ask me what the practical applications are
математики, о которой я люблю думать, и я
about the math i love to think about and uh i
думаю, он знает, что он как бы подкалывает меня, потому что
think he knows that he's kind of needling me because
вы знаете, что это просто не главное для
you know that's just it's just not the point for
всех математиков, я имею в виду, для некоторых, конечно, это вы знаете,
all mathematicians i mean for some of course it is you know there
что математика может быть очень важным способом сделать мир
are very um important uses of mathematics to make the world a
лучше, но я полагаю, что математика может сделать мир
better place but i guess a way that mathematics can make the world a better
лучше, сделав его более интересным местом
place is by making it a more interesting place to
для сознательного существа. и именно так я или это то, что вдохновляет меня стать
be a conscious being and that's how i or that's what inspires me to be a
математиком, да, хорошо, нет, я думаю, я не собираюсь говорить,
mathematician yeah good no i think i i'm not gonna say
что это правильный ответ, потому что, как вы говорите, у
that's the right answer because like you say
разных людей разные ответы, но это аналогично моему ответу, когда
different people have different answers but that's analogous to my answer when
люди спрашивают меня о поиске для бозона Хиггса и
people ask me about looking for the higgs boson and
так много моих друзей-физиков скажут, что это может когда-нибудь вдохновить на
so many of my physics friends will say like well it might someday inspire
создание чего-то нового технологического
a new technological something i'm like no no number one no it won't
Делая это, мы хотим
and number two that's not why we're doing it we're doing it we want to find
выяснить, что происходит, и если когда-нибудь появится приложение, которое
out what's going on and if there's a application someday that'll
принесет пользу, другой предварительный вопрос, который
be a benefit the other preliminary question i wanted
я хотел задать, пару недель назад у меня был выпуск подкаста
to ask i just had a podcast episode a couple of weeks ago about
о философии математики, и вы знаете, что есть реализм против
the philosophy of mathematics and you know there's realism versus
нереализма платонизм э против я не знаю антиплатонизм эээ
non-realism platonism uh versus i don't know anti-platonism uh
мне сказали что большинство работающих математиков платоники они
i'm told that most working mathematicians are platonists they think
считают то что изучают в некотором смысле реальным знаете
of what they study as in some sense real do you
ли вы или вам небезразлично или есть мнение й на дебатах,
do you know or care or have a take on that debate
я, конечно, не знаю об этом так много, как некоторые из ваших других гостей, но
uh i certainly don't know as much about it as some of your other guests but i
я согласен с этим инстинктом, я имею в виду то, о чем я думаю, о чем
i agree with that instinct i mean the things that i think about and i
мечтаю и о чем говорю с друзьями, кажется мне очень реальным
dream about and i talk about with my friends feel very real to me
и вы знаете, я не ожидаю, что я споткнусь об одного из них по дороге в
and you know i don't expect that i'll kind of trip over one on my walk to
кампус, но вы знаете, что они кажутся мне такими же реальными, как я
campus but you know they feel as real to me as i
имею в виду, как и все остальное, я имею в виду, как я думаю, как я понимаю, что вы знаете
mean as anything else i mean like i guess as i understand it that you know
в таблица, которая кажется прочной реальной вещью, на самом деле
at a table that seems like a solid real thing is not really
тоже не реальна, так что да, да, я согласен с платонизмом,
real either so um so yes i yeah i subscribe to platonism
ну, да, я имею в виду, что в математике определенно есть некоторая структура, верно, как мы все
um well yeah i mean there's certainly some structure to math right like we all
согласны, учитывая аксиомы, куда мы идем, и так
agree given the axioms where we go and so
далее, так что есть кое-что, у меня на самом деле нет твердого мнения,
forth uh so there's something there i i actually don't have a strong opinion one
так или иначе, поэтому я опрашиваю людей в эти дни,
way or the other that's why i'm i'm quizzing people these days but
но на самом деле я имею в виду, что есть философия математики,
though actually i mean there's a there's a philosophy of mathematics
которая, может быть, немного ближе к сути взгляд на теорию категорий, который
that's maybe a little closer to the point of view of category theory which
мы рассмотрим позже r, который называется структурализмом,
we'll get into later on which goes by the name of structuralism
который, э-э, говорит, что, э-э, вы знаете, что
which uh says that um you know what a
математический объект на самом деле определяется
mathematical object really is is determined by the
ролью, которую он играет в математике,
role that it plays within mathematics so um
так что, например, вы знаете, что вы могли бы спросить, какие натуральные числа
so for example uh you know you could ask what are the natural numbers
вы знаете 0 1 2 три четыре пять и э-э, роль, которую
you know 0 1 2 three four five and uh a role that uh
натуральные числа играют в математике, э-э,
the natural numbers play within mathematics um i could
я мог бы дать им причудливое имя, я мог бы сказать, что они своего рода универсальная дискретная
i could give it a fancy name i could say they're the kind of universal discrete
динамическая система, но, по сути, это означает
dynamical system but essentially what that means
, э-э, вы знаете натуральные числа - это то, для чего вы можете рекурсивно определять
is uh you know natural numbers are something you can recursively define
функции, если у вас есть, если вы пытаетесь определить, как вы знаете
functions on if you uh have if you're trying to define a you know
, последовательность точек или последовательность действительных чисел,
sort of a sequence of points or a sequence of real numbers
гм, какую стратегию вы знаете,
um what you strategy you know fibonacci
последовательность Фибоначчи, например, известная последовательность один один два три пять восемь
sequence for instance is a famous sequence one one two three five eight
тринадцать двадцать один тридцать четыре эээ относительные термины
thirteen twenty one thirty four uh the relative terms
ээ сходятся к золотому сечению это эээ есть много забавных свойств в
uh converge to the golden ratio it's uh there's a lot of fun properties in
фибоначчи но стратегия определения последовательности Суть
fibonacci but a strategy for defining a sequence
в том, что вы определяете первый член в последовательности или, может быть, несколько первых членов,
is you define the first term in the sequence or maybe the first few terms
а затем даете формулу или стратегию для получения следующего члена
and then you give a formula or a strategy for producing the next term in
в последовательности из членов, которые у вас были ранее, и
the sequence from the terms you have previously and
тот факт, что рекурсия возможна, говорит нам о чем-то. очень глубоко о
the fact that recursion is possible is telling us something very deep about the
роли, которую натуральные числа играют в математике,
role that natural numbers play in mathematics
и поэтому я думаю, что я придерживаюсь точки зрения, что натуральные числа
and so i guess i'm of the point of view of like that's what the natural numbers
это что-то вроде того, что вы можете рекурсивно определять
are they're sort of the thing that you can recursively define
функции на хм хм как довольно как что соответствует платонизму, мне не совсем
functions on um um how quite how that fits with platonism isn't entirely clear
ясно, но да, я не знаю себя и у меня не было гостей некоторое время назад Джеймс
to me but yeah i don't know me neither i did have a guest a while ago james
Ледимен, философ, который говорит то же самое о физике, он
ladyman who's a philosopher who says the same thing about physics he is a
структурный реалист, он думает, что на самом деле
structural realist he thinks that what really
дело в разных структурах, а не в объектах, которые мы
matters are the different structures not the objects that we
приписываем этим структурам, связанным между собой, я не знаю,
uh attribute these structures to relating between i don't know
здорово, похоже, он теоретик категорий, так что может быть
great it sounds like he's a category theorist so it could be
, разве мы не все наши теоретики категорий? Мы движемся в этом направлении, так что мы доберемся
aren't we all our category theorists are moving in that direction so we will get
до этого, но я думаю, что у вас была гм, когда мы
to there but i think that you had um as we were
говорили о том, что обсудить здесь, я думаю, у вас была стратегия, которая имеет
talking about what to discuss here i think you had a strategy that makes
смысл начинать с топологии, потому что топология - это то, о чем
perfect sense of starting with topology because topology is something
все слышали правильно я имею в виду, почему бы и нет,
everyone has heard of right i mean why don't i
вместо того, чтобы пытаться угадать, почему бы вам не сказать нам, что вы думаете, что
rather than trying to guess why don't you tell us what you think the
определение топологии состоит в том, что мы все могли бы
definition of topology is that we could all
получить в свои руки большое э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э топология- это
get our hands on great uh so um topology is the
изучение пространств как э-э-э физических
study of spaces both um you know kind of physical
геометрических пространств, в которых мы движемся в мире, а также
geometrical spaces that we move in in the world but also
пространства, которые вы могли бы себе представить, которые, как вы знаете, имеют некоторое сходство с
spaces that you might imagine um that you know have some resemblance to you
евклидовым пространством, три измерения, два измерения, одно измерение, но в
know euclidean space three dimensions two dimensions one dimension but
каком-то смысле более экзотические, так что топологическое пространство могло бы
uh are somehow more exotic so um a topological space could be
быть вы знаете, например, что точки на плоскости
um you know for instance the points on a plane
- это пример топологического пространства, или вы можете представить себе точки, которые
is a as an example of a topological space or you can imagine the points that
находятся на поверхности сферы, например, поверхность футбольного мяча,
are on the surface of a sphere so surface of a soccer ball
поверхность земли или вы можете представить себе точки
surface of the earth or you can imagine the points that are
на поверхности пончика, вы можете представить, что вы муравей, который
on the surface of a donut you can imagine that you're an ant that
вроде как ходит вокруг пончика, и все различные
uh sort of walks around a donut and um all the different
конфигурации, которые могут быть у муравья в этих точках в
configurations that ant could be in those describe points in a
топологическом пространстве, а затем вы могу начать сравнивать, на что
topological space and then you can start to compare what those
похожи эти миры, хм, топология - это сфера, которую нужно делать, я могу просто спросить очень
worlds are like um the topology is a realm to do that can i just ask very
быстро, когда математики используют слово пространство,
quickly when mathematicians use the word space
очевидно, это не просто означает трехмерное пространство,
obviously it doesn't simply mean the three-dimensional space
в котором мы живем, в чем разница между пространство
in which we live what's the difference between space
и установить правильно, так что, если бы я хотел формально определить топологическое
and set right uh so if i wanted to define a topological
пространство в математике, я бы начал
space formally in mathematics i would start
с набора точек, поэтому, если бы я хотел
with a set of points so uh so if i wanted to
описать трехмерное евклидово пространство, я бы начал
describe three-dimensional euclidean space i would start
с набора точек, которые определяются три реальных координаты
with the set of points which are determined by three real coordinates
вроде расстояния по оси x расстояние по оси y расстояние
sort of a distance along the x-axis a distance along the y-axis a distance
по оси z так что это набор точек, так что мы можем
along the z-axis so that's a a set of points so we can
думать о них как о точках в трехмерном пространстве
think of them as the points in three-dimensional
пространство, но тогда то, что превращает набор в топологическое пространство
space but then what turns a set into a topological space
, также является способом понять расстояния между точками или, в более общем плане,
is also a way to understand distances between points or more generally
понять, когда точки находятся рядом, а
understand when points are nearby and when
когда точки далеко друг от друга, так что это может быть функция, которая говорит вам,
when points are far apart so so that could be a function that tells you how
как вычислить расстояние между двумя точками это метрическое пространство, которое
to compute the distance between two points that's a metric space which
является важным типом топологического пространства, или
is an important type of topological space or
есть более абстрактный способ получить то же самое в отсутствие
there's a more abstract way to get at the same thing in the absence of a
формулы для расстояний, хорошо, и поэтому линия — это
formula for distances okay and so a line is a space
пространство круг — это пространство сфера так что для математиков сфера - это
a circle is a space a sphere so for mathematicians the sphere is just
просто поверхность сферы, это не внутренняя часть, как вы сказали,
the surface of the sphere right it's not the interior like you said the
двумерная сфера - это поверхность шара,
two-dimensional sphere is the surface of the of the ball
а затем вы могли бы иметь 100- мерную сферу или что-то еще, так
um and then you could have like a 100 dimensional sphere or whatever so
что есть много пространств, с которыми мы должны играть, у
there's a lot of spaces we have to play with
вас могут быть ленты Мебиуса, так что это пространство, похожее на
you can have mobius bands so that's that's a space that's kind of like
э-э, я имею в виду, что оно похоже на цилиндр, так что это похоже на
uh i mean it's kind of like a cylinder so it's like the
трубку туалетной бумаги, но представьте, что вы разрезаете трубка от туалетной бумаги, которую вы знаете, довольно
toilet paper tube but imagine you cut the toilet paper tube you know sort of
длинная от конца до конца, так что теперь у вас есть
long ways from end to end so now you have a
просто плоская полоса, а затем вы скручиваете ее, а затем склеиваете вместе,
just a flat strip and then you twist it and then glue it back together
так что это тоже пространство, очень похожее на цилиндр, но
so that is also a space it's quite similar to the cylinder but it's
это... неориентируемое пространство, в ленте Мебиуса это сбивает с толку, находитесь
uh it's a non-orientable space it's confusing in a mobius strip
ли вы внутри или снаружи, невозможно решить, что,
whether you're on the inside or the outside there's no way to decide that
тогда как на трубке туалетной бумаги, которую вы знаете,
whereas on you know the toilet paper tube there's
есть внешняя сторона, где туалетная бумага вращается, и есть внутренняя часть, которую вы
the outside where the toilet paper goes around and there's the inside which you
как бы наденьте рулон или держатель, так что у вас
sort of put on the roll or the holder so do you
есть одна из тех скульптур из бутылки Клейна, у
have one of those klein bottle sculptures
меня есть скульптура из бутылки Клейна, у меня нет, но
i have a klein bottle sculpture i i don't but uh
да, так что бутылка Клейна - это версия этого на одно измерение выше, и
right so a klein bottle is a one dimension higher version of this and
что интересного в клейне бутылка это э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э, так это поверхность, это похоже на поверхность сферы, позвольте мне описать, как вы могли бы построить бутылку Клейна, чтобы вы могли начать с плоского листа бумаги, который вы бы склеили с двух сторон
what's interesting about the klein bottle is uh
um well uh so it so it's a surface it's kind of like
the surface of a sphere um let me describe how you would build
a klein bottle so you um you can start with a flat sheet of paper
bottle is uh um well uh so it so it's a surface it's kind of like the surface of a sphere um let me describe how you would build a klein bottle so you um you can start with a flat sheet of paper you would glue two sides of бумага вместе,
you would glue two sides of the paper together
так что теперь вы формируете трубку из-под туалетной бумаги, а затем
so you're forming now a toilet paper tube and then
, так что оттуда более простая конструкция, которая не является бутылкой Клейна,
uh so from there kind of a simpler construction that isn't the klein bottle
вы можете просто как бы растянуть трубку из-под туалетной бумаги
is you could just sort of stretch the toilet paper tube
и склеить концевые круги вместе, и если бы вы это
and glue the end circles together and if you
сделали что вы получите поверхность в форме пончика,
did that you would get a surface of a donut shape
так что это знакомо телец, мы можем использовать слово двери, все в порядке, хорошо, мы можем
so so that's familiar the taurus we can use the word doors it's okay okay we can
использовать правильный факел, поэтому, если я хочу получить бутылку Клейна, это та
use the right torch so if i want to get a klein bottle it's the
же идея, я собираюсь склеить два конца трубки от туалетной бумаги вместе
same idea i'm going to glue the two ends of the toilet paper tube together
склеивают эти два круглых конца вместе, но я хочу
glue those two circular ends together but i want to twist
скрутить один, поэтому, если я склеиваю, если я хожу,
the one so if i'm gluing if i'm walking around
когда я склеиваю их вместе, я как бы застегиваю молнию
when i glue them together i'm sort of zipping up the
против часовой стрелки. один из кругов и по часовой стрелке вокруг другого
going counterclockwise around one of the circles and clockwise around the other
круга, но я хочу изменить ориентацию на одном из кругов, прежде чем
circle but i want to reverse the orientation on one of the circles before
делать это сейчас, вы не можете сделать это в
doing this now you can't do this in
трехмерном пространстве, поэтому, если бы мы были в четвертом
three-dimensional space so if if we were in a fourth
измерении, вы действительно могли бы встроить бутылка Клейна на четыре- пространственное пространство
dimension you could actually embed a klein bottle into four-dimensional space
и сделать эту конструкцию, но есть такие игрушки, которые вы
and do this construction but there are um there are these toys that you you
должны просто все должны просто погуглить,
should just everyone should just google and
и они эти жалкие стеклянные версии, и что забавно в этом, так это то, что есть
and they're these sorry glass versions and what's fun about it is there's
некоторая двусмысленность между тем, что такое пространство внутри кляйна бутылка и то, что
some ambiguity between what uh space is inside of a klein bottle and what is
снаружи, так что, если у вас есть телец, как стеклянный пончик, вы
outside so if you you have a taurus like a glass donut you
можете как бы наполнить его желе, а желе находится внутри тельца, оно
could sort of fill it with jelly and the jelly is inside the taurus it's
не снаружи, вы знаете, пока не откусите его, вы не получите желе везде,
not outside you know until you bite it you're not gonna get jelly everywhere
но если у вас есть одна из этих бутылок Клейна, вы можете
but if you have one of these klein bottles you could try
попробовать положить желе или, скажем, охлаждающую
and put you know jelly or let's say kool-aid
жидкость в бутылку Клейна, и если вы не будете осторожны, если вы как бы
inside the klein bottle and if you're not careful if you sort of
перевернете ее вверх дном и снова перевернете правой стороной вверх, она собирается залезьте на
flip it upside down and flip it right side up again it's going to get all over
свой стол, потому что нет ничего внутри и снаружи,
your desk because there's no inside and outside
хм, да, и это дело топологов, так что вас
um yeah and this is the stock and trade of topologists right so you
не так сильно волнуют отдельные неровности и шевеления, как
don't care so much about the individual bumps and wiggles like
геометрия заботится о топологии, она более свободна. osey и то, о чем он точно заботится
geometry cares about topology is more loosey-goosey and what it cares about
, да, очень свободно, и так,
exactly yeah very loosey-goosey and so but the
но другая вещь, которую нужно поставить на стол, я думаю, это то, что есть топологические
the other thing to get on the table i guess is that there are topological
пространства, о которых мы заботимся, может быть, они вдохновлены реальными
spaces that we care about well maybe they're inspired by real
физическими ситуациями, но вы можете подумать что
physical situations but you might think that well
физическое пространство трехмерно, и у нас могут быть его подмножества,
physical space is three-dimensional and we can have subsets of that
поэтому вы знаете, что есть некоторые топологические пространства, о которых нужно подумать, но их
therefore you know there's some topological spaces to think about but
не так много, но, как вы указываете, существуют
not that many but as you point out like there are
сложные ситуации, когда пространство всех возможных конфигураций
complicated situations where the space of all possible configurations of
чего-то является интересное топологическое пространство,
something is an interesting topological space
да, полностью, так что я имею в виду, что один из моих любимых источников примеров
yeah totally so i mean one of my uh favorite sources of examples of
топологических пространств - это то, что называется конфигурационными пространствами,
topological spaces are something called configuration spaces
и они появляются в робототехнике, они появляются в физике, где их можно
and these come up in robotics they come up in in physics where they might be
назвать пространствами состояний, и именно так, как вы
called state spaces and uh exactly as you point
указываете они могут получить очень большое измерение очень быстро, но
out these can get very high dimension very quick but
позвольте мне упомянуть пример, который достаточно мал, чтобы мы могли мечтать об этом,
let me mention an example that's small enough that we can dream about it
так что вы знаете, представьте себе у вас есть фабрика, и на полу фабрики есть что-то вроде
so you know imagine you have a factory and there's a sort of
одномерной дорожки, так что,
one-dimensional track on the floor in the factory so there's a
по сути, есть полоса, и вы знаете, может быть, это что-то
there's a strip essentially and you know maybe it's a kind of a
вроде колеса или железнодорожной колеи, по которой вы можете двигаться вперед и назад по этой дорожке.
wheel or like a train track you can move forward and backwards along that track
и у нас будет два робота, расположенных на дорожке, есть красный
and we're going to have two robots positioned on the track there's a red
робот и синий робот, хм, так что
robot and a blue robot um so well
давайте на самом деле начнем с одного робота, так что если вы хотите, если у вас есть один робот
let's actually start with one robot so if you wanted to if you had one robot on
на дорожке , вы можете описать его позиции
a track then you can describe its positions
хм вы знаете, используя только одно измерение,
um you know using just kind of a one one dimension it's
это похоже на интервал, у вас может быть робот полностью на одном конце или
it's like an interval you can have the robot all the way at one end or all the
полностью на другом конце, или в любом месте между ними он может двигаться непрерывно,
way at the other end or any place in between it can move continuously
так что этот одномерный интервал описывает пространство
so this one dimensional interval is describing the space of configurations
конфигураций этого робота, так что теперь давайте поместим двух роботов на
of that robot so now let's put two robots on the the
дорожку, красного и синего, и теперь есть пространство, которое
track a red one and a blue one and now um there's a space that
описывает конфигурации этих двух роботов, я имею в виду, что вы можете
describes the configurations of those two robots i mean you might
подумать, что это одномерное пространство, потому что вы по-прежнему
think it's a one-dimensional space because you're still
правы, роботы все еще находятся на этой одномерной дорожке, но на самом деле
right robots are still on this one-dimensional track but actually
вы знаете, что должны использовать одну координату, чтобы отслеживать, где находится
you know you should use kind of one coordinate to keep track of where the
красный робот, и другую координату, чтобы отслеживать,
red robot is and another coordinate to keep track of
где находится синий робот, и так далее. это описывает пространство,
where the blue robot is and so that is describing the space
которое формируется путем взятия произведения интервала с самим собой, другими словами,
that's formed by taking a product of an interval with itself in other words it's
это квадрат, включающий внутреннюю часть, за исключением того, что два
a square including the interior except the two
робота не могут быть в одном и том же месте, вы знаете, что если
robots can't be in the same spot you know one you know that if these
это физические роботы, они могут не сталкиваются друг с другом, поэтому
are physical robots they can't collide into each other so
вам нужно удалить диагональный сегмент из
you have to remove a diagonal segment from
этого квадрата, и у вас останутся эти два
that square and what you're left is with these two
треугольных компонента: нижний треугольник соответствует красному роботу,
triangular components the bottom triangle corresponds to the red robot
находящемуся справа от синего робота, а верхний треугольник соответствует к
being on the right of the blue robot and the top triangle corresponds to the
красному роботу, находящемуся слева от синего робота, и что
red robot being on the left of the blue robot and so what's
интересно в пространстве, что мы уже можем видеть, визуализируя
interesting about the space what we can see already by visualizing the
пространство конфигурации, которое представляет собой этот квадрат с диагональным удалени Вывод из этого
configuration space which is this square with a diagonal removed from it
заключается в том, что он отключается после того, как вы поместите своих роботов на трассу,
is that it's disconnected once you've put your robots on the track
вы не сможете поменять их ориентацию
you're not going to be able to swap their orientation
по отношению друг к другу, это правильно, но
with respect to each other that's right but uh
вы знаете, если вы проектируете фабрику, вы могли бы сказать ну, это немного
you know if you're designing the factory you might say well that's a little bit
нежелательно, у меня нет такой гибкости и
undesirable i don't have as much flexibility and
улучшений, возможно, в дизайне, в зависимости, конечно, от того, что вы
improvement perhaps in the design depending of course what you're trying
пытаетесь сделать с этими роботами на этой трассе, вы можете сделать круговую дорожку вместо
to do with these robots on this track is you could make a circular track instead
прямой дорожки. и если
of a you know straight track and if you a
круг также является одномерным объектом, вы просто как бы двигаетесь вокруг него,
circle is also a one-dimensional object you just sort of move around it
двигаясь по часовой стрелке, есть своего рода одно направление движения,
going clockwise there's kind of one direction of motion
но если бы у вас были два робота на круговой дорожке,
but if you had two robots on a circular track then
то как бы вы описали их конфигурационное пространство? возьмем,
what the way you describe their configuration space is you would take
вы знаете, что каждый робот - это некоторая произвольная точка в круге, у нас есть два круга,
uh you know each robot is some arbitrary point in the circle we have two circles
поэтому мы берем произведение этих двух кругов, и это забавно
though so we take the product of those two circles and this is fun to
думать о том, что на самом деле произведение двух кругов соответствует
think about that actually the product of two circles corresponds
к точкам на поверхности тора снова правильно, так что s1 пересекает s1
to the points on the surface of a torus again right so so s1 cross s1 the
произведение двух окружностей - это точки на торе
product of two circles are the points on the torus
снова роботы не могут быть в одной и той же точке, поэтому вам
again the robots can't be on the same point so you what you have to do is you
нужно представить у вас есть поверхность тельца, вы построили его,
have to imagine you have the surface of a taurus you built it by
склеив трубку от туалетной бумаги, теперь вы собираетесь сделать диагональный разрез,
gluing together your toilet paper tube now you're going to make a diagonal cut
который, э-э, это разрез, который проходит как бы по обеим петлям и тору
that uh it's a cut that goes around sort of both loops and the torus
один раз, так что вы на самом деле действительно сделали это вчера вечером дома,
once so you uh actually actually did this at home
чтобы проверить это, и то, как моя трубка от туалетной бумаги была сделана
last night to to test it and the way my toilet paper tube was made
именно там, так что было легко увидеть, что резка
exactly exactly there so it was easy to see that cutting
похожа на диагональный разрез, который движется один раз в обоих направлениях,
sort of a diagonal cut that moves once around in both directions
и если вы сделаете это, у вас останется связанная поверхность, и это
and if you do that you're left with a connected surface and that
соответствует идее, что если у вас есть два робота на круговой дорожке,
corresponds to the idea that if you have two robots on a circular track
они действительно могут посещать все конфигурации , больше нет левого и правого
they can really visit all configurations there's no sort of left and right
, вы можете иметь их в любом положении,
anymore you can have them in any position um
так что в любом случае это просто что-то вроде детские примеры о действительно богатой и
so anyway this is this is just sort of baby baby examples of a really rich and
красивой теме, некоторые из самых сложных и важных
beautiful subject some of the most difficult and important
решений, которые мы принимаем, связаны с выбором людей, будь то
decisions we make involve choosing people whether it's
выбор консультанта по докторской диссертации, выбор предполагаемого супруга
choosing a phd thesis advisor or choosing a prospective spouse
или выбор того, кого нанять в вашу компанию, я не могу помочь вам с первыми двумя но
or choosing who to hire for your company i can't help you with the first two but
если вы хотите нанять людей, которых я могу порекомендовать,
if you're looking to hire people i can recommend
действительно, это сайт вакансий, который упрощает найм,
indeed indeed is the job site that makes hiring
вы можете разместить свое объявление, вы можете отбирать кандидатов и
easy you can post your ad you can screen candidates and
брать у них интервью, действительно действительно дает вам такие инструменты, как действительно
interview them all on indeed indeed gives you tools like indeed
мгновенное соответствие, предоставляя вам качественных кандидатов, чьи резюме сразу же
instant match giving you quality candidates whose resumes
соответствует описанию вашей работы, и действительно
fits your job description immediately and indeed
тесты навыков, которые в среднем сокращают время найма на 27 процентов,
skills tests that on average reduces hiring time by 27 percent
вы можете выбрать из более чем 130 тестов навыков, а
you can choose from more than 130 skills tests
затем добавить свои обязательные требования, чтобы вы платили только за те приложения,
then add your must have requirements so that you only pay for the applications
которые им соответствуют, начните прямо сейчас с бесплатный кредит в размере 75 долларов, спонсируемый за работу,
that meet them get started right now with a free 75 dollar sponsored job
для обновления вашего сообщения о вакансии на действительно.com
credit to upgrade your job post at indeed.com
mindscape, это кредит в 75 долларов на
mindscape that's a 75 credit at indeed.com
действительно. действительные до 30 июня положения и условия применяются
mindscape offer valid through june 30 terms and conditions apply
правильно, потому что это хорошо, потому что то, о чем заботятся топологи, - это особенности,
right because it's good because what topologists care about are the features
которые не меняются такими небольшими
that uh don't change by like small
деформациями пространства, как тот факт, что пространство состоит из двух
deformations of the space so the fact that a space is in two
несвязанных компонентов, как в исходном примере по
disconnected components like the original example
сравнению с просто быть одним связанным компонентом, как во втором примере
versus just being one connected component like the second example that's
, это то, что очень волнует топологов, поэтому,
the kind of thing that gets topologists very excited right so
когда я говорю круговой трек, это может быть овальный трек, это может быть квадратный трек, это
when i say circular track it could be an oval track it could be a square track it
может быть шестиугольный трек от тополога, вот и все то же
could be a hexagonal track from a topologist those are all the same
самое известное, я уверен, что многие люди слышали, что для
the famous thing i bet many people have heard that to a topologist
тополога кофейная чашка - это то же самое, что и пончик, потому что они оба тельцы,
a coffee cup is the same as a donut right because they're both tauruses
верно, верно, я имею в виду, что это не мой любимый пример, потому что
right right i mean that's not that's not my favorite example because
у топологов разные представления о когда вещи одинаковы, на что мы
uh so topologists have different notions of when things are the same that we're
ссылаемся, и одно из понятий одинаковости - это,
alluding to and um one of the notions of sameness is
если два пространства являются тем, что называется гомеоморфным,
uh if two spaces are what's called homeomorphic
а что гомеоморфным означает, что
and what homeomorphic means is that there is a
между точками и пространством существует
sort of one-to-one correspondence between the points and the space there's
своего рода взаимно-однозначное соответствие, как вы знаете, существуют две обратимые
a way right you know there are two invertible
функции, обратимые непрерывные функции, которые отображают все точки одного
functions invertible continuous functions that map all the points on one
пространства в другое, а другое в другое. один,
space to the other and the other to the one
и поэтому, если у вас есть твердый телец, построенный из глины,
and so if you have a solid taurus now built out of clay
и у вас есть твердая кофейная чашка, вы можете определить один из этих
and you have a solid coffee cup you can define one of these
гомеоморфизмов, своего рода однозначное соответствие между
homeomorphisms this sort of one-to-one correspondence between the
точками и тором и точками в
points and the torus and the points in the
кружке которые непрерывны, так что вы не разрываете поверхности на части или не
um mug that are uh continuous so that you're not tearing the surfaces apart or
добавляете новые отверстия там, где раньше не было таких вещей,
adding new holes where there weren't holes before that sort of thing
так что я имею в виду, что топологи, э-э, считают, э-э, Тельца в кофейной
um so i mean it's true that topologists uh consider uh taurus in a coffee mug to
кружке одинаковыми, но но по какой-то очень
be the same but but for a like really kind of
очевидной причине они настолько очевидно одинаковы, но есть еще
obvious reason they're just so so evidently the same but but um there's
одно понятие одинаковости, более слабое понятие одинаковости, которое также встречается в
another notion of sameness a weaker notion of sameness that also comes up in
топологии, которое называется гомотопической эквивалентностью, и ее Это
topology which is called homotope equivalence and uh here are the
идеи, что два пространства гомотопно эквивалентны, если вы можете непрерывно
ideas two spaces are homotopic equivalent if you can continuously
деформировать одно в другое, ладно, и поэтому позвольте мне привести
deform one to another okay and so let me give
вам несколько примеров, так что все евклидово пространство, которое вы знаете,
you some examples so all of euclidean space you know
трехмерное евклидово пространство гомотопно эквивалентно одной точке,
three-dimensional euclidean space is homotopic equivalent to a single point
так что вы можете себе представить, что я подумайте об этой гомотопической эквивалентности как о
so you could imagine i think of this homotopia equivalence as like the
обратном большом взрыве, так что вы представляете трехмерное
reverse big bang so you imagine three-dimensional
евклидово пространство, которое вы знаете, поэтому вы должны представить, что у нас есть точка происхождения,
euclidean space you know so you have let's imagine we have the origin point
поэтому центр вселенной, а затем все другие точки во вселенной я
so the center of the universe and then all the other points in the universe i i
понимаю вселенную вероятно, не трехмерный, но просто
realize the universe is probably not three-dimensional but like just
смущает, и у него нет центра, но это нормально, мы собираемся,
embarrassing also it doesn't have a center but that's okay we're gonna
вы на самом деле и оранжевый центр, но давайте представим, что есть
you're a matter of fact and orange center but let's pretend there's a
центр, вселенная, а вселенная трехмерна
center the universe and the universe is three-dimensional
Итак, в обратном Большом взрыве я собираюсь непрерывно
so in the reverse big bang what i'm going to do is i'm going to continuously
перемещать все точки во вселенной обратно по
move all the points in the universe back in a
прямой линии к центру вселенной к начала, и
straight line to the center of the universe to the origin and
они будут двигаться быстрее и медленнее в зависимости от того, как
they'll move kind of faster and slower depending on how far
далеко они находятся, поэтому в нулевое время каждая точка находится там, где она есть, а затем в момент
away they are so at time zero every point is where it is and then at time
один они все врезаются в центр
one they've all crashed home into the the center of the
вселенной, так что это описывая непрерывную
universe so that that is uh describing a continuous
деформацию, которая показывает, что трехмерное евклидово пространство
deformation that reveals that three-dimensional euclidean space and
и точка являются одним и тем же,
the point are the same um so
так что вот пример, своего рода повседневный пример гомотопической эквивалентности, который
so here's an example a sort of everyday example of a homotopic equivalence that
кажется более забавным, позвольте мне просто вмешаться
feels more fun let me let me just butt in
, потому что так просто проясните, причина,
there because so just to get it clear the the reason
почему это интересный пример, заключается в том, что точка и
why this is an interesting example is because the point and
трехмерное пространство гомотопически эквивалентны, они могут быть
three-dimensional space are homotopy equivalent they can be
продолжены, одно может непрерывно деформироваться в другое,
continued one can be continuously deformed to the other
но они не гомеоморфны, потому что не существует равного числа
but they're not homeomorphic because there's not sort of an equal number of
точек в них, да, в трехмерном пространстве бесконечно много точек,
points in them yeah right there's uncountably infinitely many points in
но есть одна точка в одноточечном пространстве, и
three-dimensional space but there's one point in one point space and
да, так что это круче, но более разрушительно я имею в виду, что размеры
yeah so this is a cooler way more destructive notion i mean dimensions
совершенно не имеют значения, вы знаете, что все
totally don't matter anymore you know all
n-мерное евклидово пространство также гомотопно эквивалентно точке,
n-dimensional euclidean space is also homotopic equivalent to a point
да, так что пример из повседневной жизни, который вроде как это
yeah um so an example an everyday example that is kind of like that
, для тополога пара штанов и стринги
is uh to a topologist a pair of pants and a thong
- это одно и то же, вы можете представить себе гомотопическую эквивалентность, которая,
are the same you can imagine a homotopic equivalence that sort of
э-э, вы знаете, сжимается как бы по вертикали, я думаю, вы знаете, и просто оставляет
uh you know shrinks sort of vertically i guess you know and just leaves the
стринги из пары штанов , так что дело в том, что
thong from the pair of pants so and this is the so the point is that
есть разные способы выражения идея одинаковости зависит от
there are different ways of expressing the idea of sameness depending on your
вашего уровня сосредоточенности на том, что вас волнует,
sort of level of focus on what you care about
да, полностью, и это очень распространено в математике,
yeah totally totally and this is a this is very pervasive in mathematics
вы знаете, математики, э-э, любят пытаться понять смысл, в котором
uh you know mathematicians uh love trying to understand the sense in which
вещи одинаковы, и это часто довольно свободный
things are the same and it's often a pretty loose
смысл, да, так что у меня была очень-очень короткая карьера тополога-хакера, когда
sense yeah so i had a very very brief career in fact as a hack topologist when
я учился в аспирантуре, и мне нужно было вычислить гомотопию различных вещей,
i was in graduate school and i needed to calculate the homotopy of various things
которые появляются в частице ph ysics, потому что у нас есть эти вещи, называемые топологическими
that appear in particle physics because we have these things called topological
дефектами, которые очень важны с
defects right which are very important from the
ранней Вселенной, ни одна из вещей, которые я вычислил, не оказывается относящейся
early universe none of the things i calculated turn it out to be relevant to
к реальному миру, но вы знаете, что это риск, на который мы идем, когда делаем
the real world but you know that's that's the risk that we take when we do
эти вещи, но это приводит нас к тому, что вы знаете, до сих пор это было забавно, гомотопия,
these things but it gets us into you know so far it's been fun homotopy
вы знаете, плавно превращать вещи друг в друга, но теперь мы хотим быть
you know smoothly deforming things into each other but now we want to be a
немного более строгими в этом, мы хотим охарактеризовать, мы хотим
little bit more rigorous about it we want to characterize uh we want to
использовать это понятие, э-э, плавно деформируя одну вещь в
use this notion of uh smoothly deforming one thing into
другое, чтобы охарактеризовать топологию различных
another to characterize the topology of different
пространств, верно, я имею в виду, что в некотором смысле наша работа состоит в том, чтобы как бы
spaces right i mean is in some sense our job to sort of
охарактеризовать все топологические пространства, да, именно, и путь к классической
characterize all topological spaces yeah exactly and a way to a classical
проблеме, которая является хорошим способом визуализировать это, вы можете спросить, сколько различных
problem which is a good way to visualize this is you can ask how many different
поверхностей Вы знаете, что-то вроде этого, да,
surfaces are there you know sort of in this yeah
в очень гибком смысле, так что не обязательно просто, например,
sort of very flexible sense so not necessarily just uh so for instance is
мы описали несколько разных поверхностей, вот
uh we've described a few different surfaces there's the
так. На поверхности сферы есть э-э-э поверхность тора, у
sort of surface of a sphere there's a uh surface of a torus
вас может быть много держателей, телец был в форме пончика, вы можете представить, что у вас
um you can have many hold the taurus was the donut shape you can imagine having
много пончиков, или как вы знаете, что выпекаете поднос с пончиками,
many hold doughnuts or like you know you're baking a tray of donuts
но вы положили их слишком близко друг к другу, и поэтому
but you've put them too close to each other and so
они все как бы застыли, и есть один пончик с тремя
they've all kind of congealed and there's you know one donut with three
дырками, вы знаете, что это другая поверхность, и есть вопрос о классификации,
holes in it you know that's another surface and uh there's a classification
вы знаете, как мы можем сказать, что эти пространства действительно разные,
question you know how can we tell that these spaces are really different
я имею в виду они кажутся разными, возможно, может быть, я выдаю да, теперь это моя
i mean they seem different perhaps maybe i'm giving away yeah now they're my
интуиция, но они кажутся разными, вы знаете как, но как мы докажем, что
intuition but they seem different you know how but how do we prove that
они разные, потому что мы видели, что эти совершенно разные
they're different because we've seen that these wildly different spaces
пространства в некотором смысле одинаковы. да, итак, как нам сделать это правильно, так
are in some sense the same yeah so so how do we do that right so
что да, итак, идея в том, что я имею в виду, что это сложный вопрос, на который сложно ответить
yeah so so the idea is i mean this this is a hard question to answer
геометрически, потому что только потому, что вы не можете представить себе
geometrically because um just because you can't imagine a
непрерывную деформацию одного пространства в другое, не означает, что это не существует
continuous deformation of one space to the other doesn't mean it doesn't exist
так Стратегия состоит в том, чтобы каким-то образом привнести алгебру в историю и
so a strategy is to bring algebra into the story somehow and
дать возможность присвоить число или какую-то другую алгебраическую
give a way to assign a number or uh some other kind of algebraic
структуру топологическому пространству, и
structure to a topological space and uh
таким образом, чтобы дать тот же ответ, если бы пространства были гомотопно
if in a way that would give the same answer if the spaces were homotopic
эквивалентны, так что так что группы гомологий или гомотопические
equivalent so uh so the homology groups or homotopy
группы, которые, э-э, есть различные
groups that uh there are various different uh
конструкции, которые вы можете построить, и легко доказать, что если
constructions you can do and it's it's easy to prove that if the spaces
пространства непрерывно деформируемы друг в друга,
have continuously deformable into each other
они будут давать одинаковую инвариантность, и поэтому, если вы получите разные
they'll produce the same invariance and so if you happen to get different
инварианты тогда вы знаете, что они были разными,
invariants then you know that they were different
так что на самом деле позвольте мне продолжить, хорошо, я собирался, я могу привести
right so actually let me go ahead well i was gonna i can give an example
пример этого, да, именно так, так что я собираюсь попытаться
of this yes exactly do that so um what i'm going to try and argue
доказать вам , что поверхность сферы так
for you is that the surface of a sphere so the
поверхность футбольного мяча - это другое пространство, чем
surface of a soccer ball is a different space than the surface of
поверхность пончика, поэтому телец и сфера - это разные топологические пространства,
a donut so a taurus and a sphere are different topological spaces
и просто чтобы убедиться, что мы снова воображаем эти пространства, вы знаете, представьте
and just to make sure we're imagining these spaces again you know imagine
ты муравей, идущий по поверхности
you're an ant walking around the surface of a
сферы , это одно пространство, муравей может быть в разных положениях,
sphere that's one space the different positions
или ты можешь представить себе муравья, идущего
the ant could be or you can imagine an ant walking around
по поверхности пончика, ни в том, ни в другом случае
the surface of a doughnut not the interior in either case just the same
не внутри, ни в том, ни в другом случае не внутри правильно
not the interior in either case right the ant
муравей муравей не может съесть пончик или съесть это как бы застрял на поверхности хм,
the ant can't eat the donut or eat this is sort of stuck on the surface um
и он не может спрыгнуть ни это вы знаете хорошо
and it can't like jump off either it's you know okay
так хм правильно так что инвариант, который я собираюсь использовать, чтобы
so um right so uh the invariant that i'm gonna use to
доказать что они разные, это то, что называется фундаментальной группой,
prove that these are different is something called the fundamental group
которая является э-э, это и то, что она считает по существу, поэтому в
that is uh it's a and what it's counting essentially so in
каждом из них для удобства я собираюсь
each it's for convenience i'm going to pick
выбрать точку в каждом из этих пространств, эти пространства связаны, поэтому выбор
a point on each of these spaces these spaces are connected so picking a point
точки не является большое дело, так что выбирайте тот, который вы
is not a big deal so pick whichever one you
хотите, мы возьмем северный полюс на сфере и любую точку вообще на торе,
want we'll take the north pole on the sphere and any point at all on the torus
и фундаментальная группа собирается вычислить количество
and what the fundamental group is going to calculate is the number of
принципиально разных путей, которыми муравей может выйти из этого дома.
essentially different ways that the ant can walk from this home
основание точка ходит по поверхности и возвращается
base point walk around on the surface and come back
к исходной базовой точке прямо в этой тонкости, как я уже сказал,
to the home base point right the the subtlety there as i said
количество существенно разных способов, поэтому я имею в виду, что существует неисчислимо
the number of essentially different ways so i mean there are uncountably
бесконечно много способов, которыми муравей может ходить по этим поверхностям, но что я
infinitely many ways an ant can walk around these surfaces but what i'm
спрашиваю являются ли они существенно разными, и поэтому
asking are are they essentially different and so
давайте пока отложим в сторону пример со сферой , давайте начнем с размышлений
let's set aside the sphere example for now let's let's start by thinking about
о поверхности пончика, ладно, пример двух способов,
the surface of the donut okay so an example of uh two ways that
которые существенно различаются, это то, что мы можем представить, что начинаем с нашей домашней
are essentially different is we can imagine starting at our home
базовой точки и идем скажем, в
base point and walking let's say in a
направлении против часовой стрелки вокруг петли, которая проходит через
counterclockwise direction around the loop that goes through the
своего рода отверстие для пончика, если вы поместите отверстие для пончика внутри пончика,
sort of donut hole if you put a donut hole inside the donut that's
вы можете представить, как идете, это было своего рода вертикальным короткий путь вокруг в
you can imagine walking it's sort of been a vertical the short way around
основном короткий короткий путь вокруг отлично так что это один из способов, которым муравей мог бы
basically the short the short way around great um so that's one way the ant could
ходить или муравей мог бы ходить, скажем,
walk or the ant could walk let's say
прослеживая ту же траекторию, но двигаясь в обратном направлении,
tracing the same trajectory but going in reverse orientation
двигаясь назад, а не вперед так что те, э-э, фундаментально
going backwards rather than forwards so those uh those are fundamentally
разные, и что я имею в виду под фундаментальным отличием, так это то, что нет способа
different and what i mean by fundamental different is there's no way to
непрерывно деформировать первую траекторию во вторую
continuously deform the first trajectory into the second
траекторию , оставаясь на поверхности
trajectory while staying on the surface of the
пончика, если бы я мог как бы разрезать тесто, ну, вы знаете, где
donut if i could sort of slice through um you know where the
тесто Немного пончика в том , что я мог бы сделать то, что я мог бы как бы прорезать часть,
dough bit of the donut is i could do that i could sort of cut
которая не на поверхности, но это не разрешено, так что,
cut through the bit that's not on the surface but that's not allowed so
эмм, ходить по поверхности, как только муравей решает, что он движется по часовой стрелке,
um walking in the surface once the ant decides it's going clockwise
а не против часовой стрелки, это хм, это разные варианты, которые муравей
rather than counterclockwise it's um those are different choices that the ant
может сделать, на самом деле они гомотопически неэквивалентны,
can make in fact they're they're homotopically inequivalent right
так что, потому что вы не можете исправить, это постоянно деформирует одно
so because you cannot right that's continuously deformed one
в другое, и есть то, что круто, так это то, что вы можете
into another right and there are what's what's cool is uh you can
фактически перечислить все различные варианты,
actually enumerate all of the different choices
так что другая другая траектория муравья может пройти долгий путь,
so another different trajectory the ant could take is it could walk the long way
так что, скажем, оставаться на вершине и двигаться по часовой стрелке или
around so let's say staying on the top and going clockwise or going
против часовой стрелки, или это может быть n сделайте какую- то комбинацию комментариев,
counterclockwise or it can do some sort of comment
где она зацикливается, вы знаете, какое количество раз проходит через центральный
combination where it loops you know some number of times through the center
круг, а также проходит длинный путь вокруг,
circle while also traversing the long way around
и есть способ перечислить все эти
and there's a way to enumerate all of these
существенно разные траектории, что вам нужно, это два разных целых числа, по
essentially different trajectories what you need are two different integers
сути, одно целое число, которое описывающее,
essentially one integer that's describing
сколько раз вы проходите по часовой стрелке или против часовой
the number of times you go in a clockwise or counterclockwise
стрелки вокруг короткого цикла, а затем другое целое число описывает
direction around the short loop and then another integer is describing the number
количество способов пройти против часовой стрелки или по часовой стрелке в зависимости
of ways to go counterclockwise or clockwise depending
от того, положительное или отрицательное оно вокруг длинного
on whether it's positive or negative around the long
цикла, и вы можете доказать, что это пара целых чисел
loop and you can prove that uh this pair of integers
перечисляет все возможные траектории,
enumerates all possible trajectories right
так что на нашей сфере это на самом деле
right so on a on us the sphere um it's actually quite a
намного проще, поэтому, если у вас есть, вы можете представить
lot simpler so if you have you can imagine
любой путь, который муравей может пройти по
any path the ant might take on the surface
поверхности сферы от северного полюса до северного полюса
of a sphere from the north pole to the north pole
блуждать в любом направлении, и
kind of wandering around any which way and um
вы могли бы как бы сжимать эту траекторию непрерывным образом,
you could kind of shrink that trajectory in a continuous way
так что из-за того, что он становится все меньше и меньше и меньше, поэтому, если
um sort of so that it gets smaller and smaller and smaller so if
он на самом деле проходит весь путь до южного полюса, может быть, он немного сжимается, так что он
it in fact goes all the way to the south pole maybe it shrinks a little bit so it
идет только к экватору, а затем, может быть, он сжимается еще
only goes to the equator and then maybe it shrinks a
немного, поэтому он остается к северу от тропик рака и т. д. и т. д.,
little more so it stays north of the tropic of cancer and so on and so forth
и, в конце концов, все траектории
and eventually all of the trajectories are
деформируются только муравьями, сидящими на северном полюсе и вообще никогда не двигающимися
deformable to just the ants sitting at the north pole and never moving
, так что есть только одна траектория, которую может пройти муравей, и
at all so there there's only one trajectory that the ant can make and
это каким-то образом доказывает, что эти два пространства
that's the proof somehow that these two spaces are not
не совпадают, что замечательно, потому что вы знаете, что это увлекло нас в небольшое путешествие, я
the same which is wonderful because you know it took us on a little journey i
действительно хочу углубиться в это, потому что, с одной стороны, мы не удивлены,
actually want to dig into this because um on the one hand we're not surprised
что сфера и тор топологически различны, но это было
that the sphere and the torus are topologically different but it was a bit
немного усилий, чтобы на самом деле показать это правильно, даже в том случае,
of an effort there to actually show it right even that case
когда у нас все было под контролем, и при этом вы знаете, что
where we had things under control and in doing that you know you stumble
натыкаетесь на себя, поэтому вы задаете вопрос, сколько существует различных
across you so you ask the question how many different ways are there to
способов пройти этот путь, который возвращает себе петлю по замкнутому кругу
sort of do this path that returns to itself a loop right a closed circle
в этом пространстве, и в случае с Тельцом
in in this space and in the case of the taurus
вы только что открыли эту пару целых чисел,
you you just uncovered uh this pair of integers
сколько раз вы проходите по короткому пути, сколько раз вы проходите
the number of times you go around the short way the number of times you go
по длинному пути и целые числа не для того, чтобы не слишком
around the long way and integers not to not to get too fancy
увлекаться этим сейчас, это алгебра, которая не является геометрией или топологией
about it now that's algebra that's not geometry or topology
или чем-то вроде того, грубо говоря, математики
or anything like roughly speaking mathematicians are
либо геометры, и им нравится пространство, либо они алгебраисты, и им нравятся
either geometers and they like space or or they're algebraists and they like
уравнения, верно, но алгебраическая структура появилась здесь
equations right but an algebraic structure appeared here
как-то правильно я думаю, вы знаете, что это просто
somehow right i think you know this is just the
рассказ о сложности в современном мире, как и каждый, каждый должен быть
tale of complexity in the modern world like every everybody has to be
всем в наши дни, поэтому, даже если вы действительно не
everything these days so even if you really your heart isn't with
любите геометрию, вы должны использовать немного алгебры, так что я хочу, я хочу просто
geometry you have to use some algebra so well i want to i want to just take
воспользуйтесь тем, что вы здесь, чтобы покопаться в этом немного больше, я имею в виду,
advantage of your being here to dig into this a little bit more i mean sure
что мы задали этот вопрос о том, сколько способов вы можете нарисовать круг,
the the we asked this question about how many ways you can draw a circle
грубо говоря, в Тельце. и есть много способов, но тогда
roughly speaking in the taurus um and there's a lot of ways but then
есть эта скрытая структура в том, что если у вас
there's this hidden structure in that if you have
есть круг, проходящий один раз в одном направлении,
a circle going around once in one direction
а другой круг просто делает то же самое, вы можете сложить их вместе
and another circle just doing the same thing you can add them together
в некотором смысле правильно, и это начало алгебры, я я слишком
in some sense right and that's the beginning of algebra am i am i too
драматичен, да, это точно так, э-э, более,
dramatic there yeah that's exactly right so uh a more
я имею в виду, я описал это в описании основной группы, я сказал, что
um i mean i've described this in describing the fundamental group i said
вы знаете, давайте представим, что у нас есть домашняя базовая точка, где они и мы собираемся
you know let's imagine we have a home base point uh where they and we're gonna
рассмотреть ходьбу муравья в этих маленьких петлях
consider the ant walking in these little loops
от домашней базы к домашней базе, но на самом деле, может быть, более естественно
from the home base to the home base but it's actually maybe more natural to
не иметь домашней базовой точки, потому что вы знаете, я не знаю, я не знаю, где
not have a home base point because uh you know i don't i don't know where
она будет, например, на поверхности тельца
it would be on the surface of a taurus for instance
Итак, еще один способ представить себе алгебраическую структуру такого рода: вы можете
so um another way to think about this sort of algebraic structure is you can
представить муравья, идущего из любой точки p на
imagine an ant walking from any point p on the
поверхности в любую другую точку q на поверхности, он, как вы знаете, идет по некоторому
surface to any other point q on the surface it you know takes some
пути, а затем вы знаете, что, возможно, муравей
path and then later you know maybe the ant is
устал а nd вздремнет, а затем проснется, а затем
tired and takes a nap and then later it wakes up and then it
пойдет из точки q в какую-то другую точку
walks from the point q to some other point
r, и вы имеете в виду, что вы могли бы составить эти два пути,
r and what you're referring to is you could then compose those two paths
составить эти две траектории, а затем получить путь
compose those two uh trajectories and then get a path
непосредственно из p к r, поэтому, если вы можете пройти от p до q и пройти от q до r, вы можете
directly from p to r so if you can walk from p to q and walk from q to r you can
составить эти два пути и добраться от p до r,
compose those two walks and get from p to r
и это начало, так что это операция композиции
and that's the beginning so this is a composition operation
на путях и поверхности тельца или на любых космических путях в любом
on the paths and the surface of a taurus or on any space paths in any
пространстве, и на самом деле тип инварианта, который более
space and really the sort of invariant that more
точно описывает алгебру, скрытую в геометрии,
exactly describes the algebra that's hidden in the geometry
называется фундаментальным группоидом или фундаментальным группоидом бесконечности,
is something called the fundamental groupoid or the fundamental infinity
который не является группой, а это тип
groupoid which is not a a group which is a type of
математического объекта, которому мы учим студентов хм, но своего рода
mathematical object we teach undergraduates um but an sort of
бесконечномерный аналог группы бесконечный группоид, который является своего
infinite dimensional analog of a group an infiniti groupoid which is a
рода границей математического уровня исследовательского уровня, верно,
you know sort of frontier of research level mathematics right
я думаю, что это выглядит, если люди собираются слушать это весь эпизод подкаста,
i think that it look if if people are going to listen to this entire podcast
я хочу, чтобы они ушли, зная, что такое
episode i want them to come away knowing what an
бесконечный группоид, я думаю, что это будет чем-то, чем они
infinity groupoid is i think that's going to be something that they'll be
смогут произвести впечатление на своих друзей на коктейльных вечеринках и так далее, так что
able to impress their friends with at cocktail parties and so forth so
вы, но идти очень медленно, чтобы добраться туда, вы знаете, вы упомянули фундаментальную
you but to go very slowly to get there you know you mentioned the fundamental
группу, которая представляет собой набор кругов, с которых
group which is the collection of the circles
мы начали, так что же такое группа, так что группа, э-э-
we started with so what's a group right so a group is uh
э, я имею в виду способ, я имею в виду вот это, вот это, э-
um i mean a way to i mean this like it there's there's this um
э, это метафора слепых и слон, и
uh there's this metaphor of the blind men and the elephant and
вы знаете, кто-то держит кого-то, кто-то касается
you know somebody's holding somebody's touching the uh
хобота, кто-то касается одной из ног, кто-то касается хвоста, и у
trunk somebody's touching one of the legs somebody's touching the tail and
меня совершенно другая точка зрения, и именно так я думаю
have a completely different perspective of it and that's that's how i'm thinking
о группах, так что действительно трудно понять, как начните,
about groups so it's like really hard to know know how to start
но вы знаете, что группа в этом контексте - это набор, это
but um you know a group in this context is a set here it's the
набор всех различных циклов, которые муравей может пройти
collection of all different loops that uh ant could take walking
через какое-то пространство вместе с
through some space um together with a
композицией. операция, поэтому он выполняет один цикл,
composition operation so it's performing one loop
а затем следует другой цикл, который можно понимать как цикл, даже
and then following it by another loop that can be understood as a loop even
если вы возвращаетесь через центр, это все еще цикл, гм,
though you come back through the center it's still a loop um
а затем удовлетворяет некоторым вы знаете очень естественные
and then satisfying some you know sort of very natural
аксиомы, поэтому, если вы идете вдоль петли вы всегда можете изменить свою траекторию
axioms so if you're walking along a loop you could always reverse your trajectory
и вернуться в другом направлении, и
and walk back in the other direction and
это каким-то образом отменяет процесс, поэтому каждый элемент в группе имеет
that's an undoing somehow of the process so every element in a group has an
обратную сторону, и если вы скомпонуете ее, он вернется к тому,
inverse that if you compose with it it gets back to
с чего вы начали, и несколько таких простых аксиом, так что
sort of where you started and a few sort of simple axioms like that
это своего рода урезанная версия
so it's kind of a it's a stripped-down version
того, что вы знаете целые числа или что-то в этом роде, где целые числа вы
of you know the integers or something like that right where the integers you
можете сложить их вместе, чтобы целые числа были примером группы
can add them together so the integers are an example of a group
правильных целых чисел с добавлением это пример
right right integers with addition is an example
с другой группой абсолютно правильно матрицы с
with a different group absolutely that's right matrices with
умножением это пример группы матрицы со сложением это
multiplication is an example of a group matrices with addition is an example of
пример группы так что я должен сказать кое-что о
a group so i have to say something about the
Чтобы заставить эти примеры работать,
dimensions to make those examples work but
хорошо, и физики любят теорию групп,
okay and the physicists love group theory
потому что симметрии — это группа, такая же, как повороты, переносы и
because symmetries are a group right like rotations and translations and
тому подобное, да, абсолютно, так что другой взгляд
things like that yeah absolutely so another perspective
на группы, если мы как бы двигаемся вокруг слона,
on groups if we sort of move around the elephant
— это группа — это астматизация э-э-э симметрии объекта так-то
is uh a group is an asthmaticization of uh the symmetries of an object so um
так или различных конфигураций, которые может иметь объект, поэтому позвольте мне
so or the different configurations that an object might be so let me let me
объяснить, что такое симметрия, так что представьте, что у вас есть двойной матрас,
explain what a symmetry is so um so imagine you have a twin mattress
и вы знаете, что вы должны как бы время от времени переворачивайте свой матрас,
and you know that you're supposed to kind of flip your your mattress
потому что я думаю, что это хорошо для срока службы матраса,
occasionally because i guess it's good for the life of the mattress
и поэтому вы можете задаться вопросом, сколько разных способов существует, чтобы перевернуть
and so you might wonder like how many different ways are there to flip the
матрас, сколько различных конфигураций может быть в матрасе,
mattress how many different configurations could the mattress be in
и, хм , один из вариантов матраса
and um well it's the mattress one option is
каким бы ни был матрас, когда вы его
whatever the mattress is when you start it
запускаете, тогда вы можете как бы повернуть его с головы до ног, так что вы как бы
um then you could uh sort of rotate it head to toe so you're sort of
переключаете голову и носок, но верхнюю часть да, то же самое, это
switching the head and the toe but the top stays the same that's
одно движение, вы также можете перевернуть его, э-э,
one move uh you could also um flip it uh
из стороны в сторону, так что я держу голову у головы, а носок у носка,
sort of side to side so i'm keeping the head at the head and the toe at the toe
но я переключаю верх и низ, да, или вы могли бы объедините эти две
but i'm switching the top and the bottom yep um or you could combine those two
операции, и в результате голова окажется там, где был носок, а
operations and the effect of this is the head is now where the toe was and the
пальцы ног были головой, а верхняя и нижняя поверхности также перевернуты,
toes were the head and the the top and bottom surfaces has also flipped
поэтому группа записывает, с одной стороны, четыре разных
so a group is recording on the one hand the four different
положения, в которых находился матрас. может быть, но также и то, как эти различные операции переворота,
positions that the mattress could be in but also how these different flipping
которые я описал, складываются друг с другом,
operations that i described composed to each other
поэтому каждый из этих переворотов является элементом второго порядка группы, что
so each of those flips is an order two element of the group
означает, что если вы выполните одно и то же движение дважды, вы вернете матрас туда
meaning if you perform the same move twice you get the mattress back
, где вы начали, если вы это сделаете. любые два
to where you started if you do any two different
разных флипа вы получите третий, который не является типичным свойством
of the flips you'll get the third one which is not a typical property of a
группы, но он является особенным для этого, который
group but it's special to this one which is
носит название группа klein 4 эта группа не имеет генератора,
goes by the name the klein 4 group this group does not have a generator
что означает, что нет ни одного операция вы можете делать
meaning that there's not one operation you can do
снова и снова, это проведет вас
over and over again that will take you all the way
через всю группу, и именно поэтому трудно вспомнить, как переворачивать
through the group and this is why it's hard to remember how to flip your
матрас, потому что вы должны помнить, как вы
mattress because you have to remember sort of how you
переворачивали его в прошлом месяце, поэтому вы просто не делаете ту же операцию и снова и
flipped it last month so you don't uh just do the same operation and again and
вернуться к тому, где вы были месяцем ранее,
get back to where you were the month before
да, так что целые числа имеют генератор, вы просто добавляете один, а затем вы можете получить
yeah so the integers do have a generator you just add one and then you can get
все целые числа, либо делая это, либо отменяя это,
all the integers either by doing that or undoing it
либо добавляя один или отрицательный, который вы получаете полностью через все, так что да,
or add one or negative one you get all the way through everything so yes the
целые числа представляют собой циклическую группу, у которой есть один генератор
integers are cyclic group um which have a single generator
абсолютно, но группа четырех клейнов не является правильной, так что целые числа, возможно, для людей
absolutely but klein four group is not uh right so the integers maybe to people
, которые не являются поклонниками теории групп, являются хорошей маленькой парадигмой,
who are not group theory aficionados are a nice little paradigm
но важно, чтобы группы могли быть очень разными, так что это конечная группа,
but it's important that groups can be very different so this is a finite group
эта группа, переворачивающая матрас, правильно, это только то, сколько
the this uh mattress flipping group right it's only how many elements are
элементов в матрасе, да, четыре элемента, хорошо,
there in the mattress yeah four elements okay
да, хорошо, и есть гм, так что я имею в виду эти эти группы очень крутые,
yeah yeah all right and there's um so i mean these these groups are super cool
и вы знаете, действительно расскажете вам что-то
and uh you know really tell you something
глубокое о геометрии, так что вы, возможно, слышали о платоновых
profound about geometry so uh you might have heard of the platonic
телах, которые являются трехмерными фигурами, которые
solids which are the um the three-dimensional figures that
вы можете получить, склеивая вместе обычные
you can get by gluing together regular uh
двумерные фигуры, так что Правильная двухмерная фигура
two-dimensional figures so a regular two-dimensional figure is
подобна треугольнику, или квадрату, или пятиугольнику, или шестиугольнику,
like a triangle or a square or a pentagon or a hexagon
где все стороны имеют одинаковую длину, все
where all the sides have the same length all the
углы одинаковы и так далее и тому подобное,
angles are the same and so on and so forth
и вы знаете, что их бесконечно много, потому что существует семиугольник,
and you know there are infinitely many of these because there's a heptagon and
восьмиугольник и девятиугольник, которые вы знаете для любого
an octagon and a nonagon you know for any
натурального числа n, вы можете получить плоскую фигуру с n
natural number n you can get a plane figure with n
сторонами, поэтому вам может быть интересно, сколько из этих правильных
sides so you might wonder how many of these regular
платоновых тел вы знаете, сколько различных
platonic solids are you know how many different
фигур можно получить, склеив вместе, скажем, треугольники или склеивая квадраты
shapes you can get by gluing together say triangles or gluing together squares
или склеивая пятиугольники или вы знаете, склеивая
or gluing together pentagons or you know gluing together
шестиугольники, может быть, и гм, вы можете доказать на самом деле, что
hexagons maybe and um you can prove in fact that there
их только конечное количество на самом деле их пять
are only finitely many in fact there are five of
гм, используя теорию групп, изучая симметрии,
them um using group theory by studying the symmetries
своего рода ортогональные группы, Смит или специальные ортогональные группы, которые
the sort of orthogonal groups the smit or the special orthogonal groups that
описывают различные конфигурации этих гипотетических форм, даже не
describe the different configurations of these hypothetical shapes before even
зная об их существовании, вы можете ограничить возможные конфигурации гм, но
knowing they exist you can limit the possible configurations um but
ясно, что это не то, что сделал
clearly that's not what plato did
Платон. не знаю, может быть, кто-то где-то похоронен в платоновской
i don't know maybe some somewhere like buried in plato's
интуиции, но еще один забавный факт заключается в том, что пять
intuition but another fun fact is so the five
есть то, что называется тетраэдром, который построен из треугольников, а затем
there's something called the tetrahedron which is built from triangles and then
есть куб, который является самым знакомым, построенным из
there's the cube which is that's the most familiar one built from
квадратов, а также есть октаэдр, построенный из треугольников. из треугольников,
squares then there's the octahedron also built from triangles
а затем додекаэдра и икосаэдра,
and then the dodecahedron and the icosahedron
и хотя я назвал пять вещей, в некотором смысле их всего три,
and even though i named five things in a sense there's kind of only three of them
потому что между платоновыми телами существует отношение двойственности,
because there's this duality relationship
которое вы могли бы увидеть, если
between the platonic solids which you might have seen if you take
возьмете куб, так что у него есть четыре Так что извините, это пробелы, мм, квадраты,
a cube so it's got uh four so it's sorry it's spaces are uh squares
их шесть, и они склеены r вдоль двенадцати
there are six of them and they are glued together along twelve
различных ребер и есть восемь углов, и что я собираюсь сделать, так это
different edges and there are eight corners and what i'm going to do is i'm
построить новое платоническое тело, заменив каждый из
going to build a new platonic solid by replacing each of the
углов гранью и каждую грань углом, и что вы
corners by a face and each face by a corner and what you
получите в этом просто соединяя все вместе,
get in that just by kind of connecting everything up
мы получаем октаэдр, то есть одно из других платоновых тел, и
is an octahedron so one of the other platonic solids and
поэтому между кубом и октаэдром, а
so there's a duality relationship between the cube and the octahedron and
также между додекаэдром и икосаэдром, а также между
also between the dodecahedron and the icosahedron and be that between the
тетраэдром и самим собой, и они отражаются двойственными отношениями. их
tetrahedron and itself and those are reflected by their
группы симметрии, поэтому из-за этого отношения двойственности
symmetry groups so because of this duality relationship
группа симметрии, которая описывает конфигурации куба,
the symmetry group that describes the configurations of the cube
является той же изоморфной, что и
is the same isomorphic two the same shape as this
группа симметрии октаэдра, и так далее.
symmetry group of the octahedron and so on
Любой, кто играл в подземелья и драконы, знает о платоновых телах, потому что
anyone who played dungeons and dragons knows about the platonic solids because
они есть кости, но они не знают об отношениях двойственности, так
they have the dice but they don't know about the duality relations so now
что теперь это хорошо, это что-то еще , что у них
that's that's good that's something else that they that they'll
будет в их б да, я собираюсь сделать это только с большим риском, но я думаю, что
have in their bag now i'm only going to do this at great risk but i figure like
все в порядке, почему, пока мы говорили о группах,
all right why while we've talked about groups why
почему бы нам также не объяснить аудитории кольца и поля, поскольку
don't we also explain rings and fields to the audience since
это другой вид алгебраических структур, которые математики любят
these are the other sort of algebraic structures that mathematicians love to
разбрасываться, да, абсолютно, так что я имею в виду, что
throw around yeah absolutely so uh i mean what's
забавно , что через некоторое время вы как бы
funny is you know after a while you kind of
забываете, что эти термины относятся к другим вещам, поэтому я имею в виду, что
forget that these terms refer to other things so i mean
вы знаете, когда я говорю поле, я имею в виду, что я определенно думаю о математическом
you know when i say field i mean i definitely think about the mathematical
поле, прежде чем я помните, что это тоже то, что за окном, но
field before i remember that's like also the thing that's out the window but
правильно, так что группа описывает настройку, в которой у вас есть
right so uh a group um is describing a setting where you have you
известная вам коллекция объектов, и у вас есть одна операция композиции, чтобы объединить
know collection of objects and you have one composition operation to combine
их вместе, поэтому, если у нас есть целые числа, мы можем подумать о сложении если вы добавите
them together so if we have the integers we can think about addition if you add
два целых числа, вы получите другое целое число, но
two integers you get another integer but
вы знаете, что есть и другие бинарные операции над целыми числами, которые появляются,
you know we there are other binary operations on the integers that come up
вы знаете, например, умножение, а кольцо — это настройка, в которой у вас есть
you know multiplication for instance and a ring is a setting where you have
t две операции: операция сложения или операция, подобная сложению, и операция, подобная операции
two operations an addition operation or an addition-like operation and a
умножения, и они
multiplication like operation and they
взаимодействуют способами, которые в некотором роде знакомы
interact in ways that are sort of familiar
для целых чисел, поэтому, если вы понимаете,
for the integers so if i you can understand
существует свойство дистрибутивности, которое говорит, что если я сложу
there's a distributivity property that says if i add
два целых числа вместе, а затем я умножить на что-то это то же самое, что
two integers together and then i multiply by something it's the same as
сначала умножить, а затем сложить, и есть несколько подобных аксиом
multiplying first and then adding and there are a few axioms like
, так что в этом крутого, я имею в виду, вы можете
that so what's cool about i mean you might
спросить, например, почему мы беспокоимся, мы вроде все знаем, что такое целые числа,
ask like why do we bother we like everybody knows what the integers are
зачем мне это абстрактное понятие кольцо, и
why do i need this abstract concept of a ring and
это совершенно справедливый вопрос, но действительно забавный
that's a totally fair question but a really fun
или довольно интересный факт, что существует очень глубокая аналогия между
or it's kind of interesting fact is there's a very deep analogy between the
целыми числами и многочленами,
integers and polynomials um so
так что многочлен такой, это что- то вроде того, что вы
so a polynomial is like this this is sort of the thing that you would
встретите в высоком школьный класс алгебры, поэтому у вас
meet in a high school algebra class so you have a
есть переменная x неопределенная переменная x, а затем вы
a variable x an indeterminate variable x and then you
можете сформировать многочлен, как бы сложив x и умножив x, а затем
can form a polynomial by sort of adding up x's and multiplying x's and then
бросив г в действительных числах в качестве коэффициентов, так что полином
throwing in real numbers as the coefficients so a polynomial
может быть как 5x минус
might be like 5x minus
5x плюс я не знаю 17 х в квадрате плюс пи х в кубе, потому что мы можем иметь действительные
5x plus i don't know 17 x squared plus pi x cubed because we can have real
числа в качестве коэффициентов минус 3. вы знаете, что это
numbers as coefficients minus 3. you know so that's that's a
многочлен в одном переменная x и
polynomial in a single variable x and
многочлены также образуют кольцо, если у вас есть два многочлена, вы можете сложить их
polynomials also form a ring if you have two polynomials you can add them
вместе, вы можете их перемножить, для этого есть своего рода
together you can multiply them there's sort of
правила, которые вы, возможно, выучили на
rules for doing this that you might have learned in a
уроках алгебры в старшей школе, и эти кольца образуют кольцо
high school algebra class and those ring the ring of polynomials
многочленов с коэффициентами. в поле, о котором мы поговорим позже,
uh with coefficients in a field which we'll get to what a field is later on
коэффициенты в действительных числах и кольцо целых чисел
coefficients in the real numbers and the ring of integers
очень очень похожи на кольца, они оба
are very are very quite similar as rings they're both
э-э, у них есть алгоритм деления, вы можете сделать что-то длинное деление с помощью
uh they have a division algorithm um you can do sort of long division with
многочленов, как с кольцами, все идеальные элементы являются принципами,
polynomials like with rings all the ideal elements are principles
и я имею в виду, что это то, что
and um so i mean that's the sort of thing that's
представляет интерес для математиков, или такие глубокие аналогии между
of interest to mathematicians or these kind of deep analogies between
поверхностными структурами.
structures that are superficially quite different
ну, и в чем разница между кольцом и полем, потому что они
well and what's the difference between a ring and a field because they're kind of
похожи, так что поле похоже на кольцо, оно
similar right so a field is uh like a ring it
имеет две бинарные операции, но
has two binary operations um but
если мы вернемся к кольцу целых чисел, там будет довольно большая разница между
uh if we go back to the ring of integers there's a pretty big difference between
правилом сложения и правилом умножения, так что если я ух
the addition rule and the multiplication rule so if i uh
в том, что каждое сложение каждого элемента имеет добавочный
in in that every addition every element has an additive
обратный, поэтому, если я выберу свое любимое целое число, которое вы знаете, 17,
inverse so if i pick my favorite integer you know 17
есть другое целое отрицательное число 17, и когда я сложу их вместе, я получу 0,
there's another integer negative 17 that when i add them together i get 0
который является идентичностью для операции сложения,
which is the identity for the addition operation
но это не работает для умножения, если я снова выберу свое любимое целое число 17
but that doesn't work for multiplication if i pick my favorite integer again 17
, нет целого числа, на которое я мог бы умножить 17, чтобы вернуться к единице, которая является
there's no integer i can multiply uh 17 by to get back to one which is the
мультипликативной идентичностью, так что это то, что отличает
multiplicative identity right so that's what distinguishes a
кольцо, где у вас не обязательно есть мультипликативные инверсии из поля
ring where you don't necessarily have multiplicative inverses from a field in
в поле у вас ес ь инверсия как к оп
a field you do have an inverse to both the
рации умножения, так и к операции сложения, ко�
multiplication and the addition operation
орую вы как бы предполагаете, что вы не попытка разделить на ноль, которая никогда
you're sort of assuming you're not trying to divide by zero that never
не работает, поэтому такие вещи, как рациональные числа,
quite works so things like the rational numbers
которые добавляют эти мультипликативные обратные или действительные числа,
which throw in these multiplicative inverses or the real numbers
являются полями в дополнение к бобовым кольцам, и
are uh fields in addition to bean rings and
существование числа ноль создает вам проблемы, потому что
does the existence of the number zero get you in trouble because uh
это не так. да, так что в поле вы должны
it doesn't have yeah so in a field you have to
рассматривать ноль как своего рода особый случай, поэтому в поле вы должны иметь свой ноль, а
treat zero as a kind of special case so in a field you have to your zero and
ваша единица не может быть такой же, иначе все это как бы
your one can't be the same otherwise uh the whole thing kind of
рушится, и у нуля не будет мультипликативное
collapses and zero will not have a multiplicative
обратное, но все остальные элементы должны быть в порядке, и поэтому то, что мы начали, мы
inverse but every other element has to got it okay and so what we started we
начали это маленькое путешествие, этот маленький боковой путь, потому что
started this little journey this little side track because
мы думали о тельце и его топологии,
we were thinking about the taurus and its topology
и мы обнаружили, что пространство всех маленьких петель, по которым может пройти муравей при
and we found that the space of all the little loops the ant could walk on
формировании группы, есть ли примеры, когда
formed a group uh are there examples where
мы связываем кольца или поля с топологическими
we associate rings or fields with topological invariants
инвариантами, это хороший вопрос, я не знаю, что это обычно делается,
uh that's a good question i don't know that that's commonly done
и я думаю, что причина в том, что группы ju вы так богаты,
and i think the reason is that groups are just so rich
вы знаете, э-э, но вы знаете, что одна группа не будет
you know um but uh you know a single group will not capture
охватывать полные данные топологического пространства, я имею в виду,
the full data of a topological space i mean
что на самом деле вам нужно ввести множество разных групп,
really what you have to do is have introduce lots of different groups that
которые измеряют множество разных вещей, поэтому фундаментальная группа рассказывает вам
are measuring lots of different things so the the fundamental group tells you
о своего рода петлях в пространстве и можете ли вы,
about uh sort of loops in the space and whether you can
э-э, если вы идете по круговому
uh if you sort of walk along a circular
пути в пространстве, вы можете заполнить это диском, вы знаете,
path in the space can you fill that in with a disk um you know
вы могли бы, э-э, я думаю, я не знаю, как скажите
could you uh i guess i don't know how to say it
это лучше, чем это, потому что вы знаете, можете ли вы сокращаться, вы знаете, если
any better than that because you know can you contract you know if
да, если у вас есть что-то вроде проволочного кольца,
yeah if you have sort of a wire ring is there
вы можете как-то надеть на него что-то вроде мыльного пузыря, чтобы поверхность
could you put sort of a soap bubble on it somehow so that the surface of the
мыльного пузыря жила в пространстве, которое вы
soap bubble lives within the space that you were
говорили о том, что это невозможно, если вы идете коротким путем
talking about so that's that's not possible if you're walking the short way
на телец, потому что мыльный пузырь должен был бы как бы
around on a taurus because the soap bubble would have to kind of cut through
прорезать тесто, и это не на поверхности, а
the dough and that's that's not on the surface but it is on
на поверхности сферы ты мог бы просто ки
the surface of a sphere you could just kind of
Вы знаете, закрасьте диск , чтобы измерить
you know paint uh paint over the disc so that's measuring this kind of
одномерные отверстия, я думаю, это область, ограниченная
one-dimensional holes i guess is the the area that's bounded by a
одномерной сферой, но, как мы упоминали, есть сферы в
one-dimensional sphere but as we mentioned there are kind of spheres in
более высоких измерениях, так что вы можете спросить если у вас есть
higher dimensions so you could ask if you have
воздушный шар внутри вашей поверхности, может ли он быть
a balloon inside your surface can that be filled
заполнен песком, как бы оставаясь прямо на
in with sand sort of staying within right right the
поверхности, и это двумерный аналог того же вопроса, и есть
surface and that's a two-dimensional analog of the same question and there's
такой вопрос во всех положительных
a question like that in all positive
целочисленных измерениях, и гм, это семейство групп
integer dimensions and um that family of groups
описывает полный гомотопический тип пространства, которого нет у отдельной группы, но если у вас
describes the full homotopy type of a space a single group does not but if you
есть такого рода бесконечное множество групп, это делает
have this sort of infinitely many groups it does
одну из вещей, которые я очень
one of the things that i say just very casually
небрежно говорю людям, не являющимся математиками, заключается в том, что вы можете подумать, что математики
to people who are not mathematicians is that you might think that mathematicians
тратят все свое время думают о математических объектах, таких как сферы или
spend all their time thinking about mathematical objects like spheres or
тельцы или что-то еще, но на самом деле они думают о картах
tauruses or whatever but really they're thinking about maps
между различными объектами, так что я думаю, это справедливо сказать, что в первую очередь
between the different objects so i guess uh it's fair to say that first thing the
фундаментальная группа - это карты из кругов в пространство, которое вас интересует,
fundamental group is maps from circles into the space you care about
а затем есть карта, набор карт из сфер, а
and then there's the map the set of maps from spheres and then
затем набор карт из трех сфер, и он явно
the set of maps from three spheres and it clearly
обобщается до бесконечных чисел, да, абсолютно, но есть
generalizes to infinite numbers yeah absolutely absolutely but there's
что-то особенное в группах, вы не получаете поля или кольца, которые
something special about the groups uh you don't get fields or rings which
имеют две разные бинарные операции над ними, я думаю,
have two different binary operations on them i guess the
последнее, что у меня есть в этом ракурсе,
last thing that i have in that in that angle is
это что-то особенное в полях и кольцах, которые имеют две бинарные
is there something special about fields and rings that have two binary
операции, которые на этом стоит остановиться, можем ли мы определить
operations that it's worth stopping there can we define
три бинарные операции над множеством и сделать гиперкольца или что-то в этом роде,
three binary operations on a set and make hyper rings or something like that
ну , я имею в виду, что вы знаете, что алгебра - очень
uh sure i mean you know algebra is a very
гибкий предмет, и вы знаете, чтобы определить, что такое
flexible subject and um you know to define what an
алгебра в полной общности, вам нужно, чтобы вы знали вид набора
algebra is in full generality you need you know kind of the collection of
элементов, который вы рассматриваете, а затем вы можете указать
elements that you're considering and then you can specify
произвольное количество операций с произвольными значениями, и вы можете указать
arbitrarily many operations with arbitrary arities and you can specify
произвольный Между ними много правил, и вы знаете, что
arbitrarily many rules between them and you know the subject
предмет универсальной алгебры предлагает вам рассмотреть такие примеры,
of universal algebra invites you to consider um examples like that
давайте пригласим слушателей в аудитории, которые
let's invite uh listeners in the audience who are
склонны в этом направлении, изучать универсальные алгебры, но мы собираемся
inclined in that direction to follow study universal algebras but we're going
вернуться к топологии. и группы, которые,
to go back to the topology and the groups the the
э-э, вы видите, сделали заявление, я просто хочу убедиться, что я понял,
uh you see made a statement there i just want to make sure that i get it clear
гм, если я, если я выясню набор всех способов, которыми я могу отображать э-э
um if i if i figure out the set of all ways that i can map uh
круги и сферы и трехмерные сферы и т. д. в
circles and spheres and three-dimensional spheres etc into a
пространство, которое у меня есть, я не указал его
space i have i've not specified its
топологию полностью, но я полностью указал его топологию гомотопического
topology completely but i've specified its homotopy
типа, которая немного слабее, это правильно
type topology completely which is a slightly weaker thing is that right
, это правильно да, хорошо, так что мы знаем ответ на общий вопрос
that's that's right yeah okay so do we know the answer to the general question
о том, как полностью укажите топологию
of how to completely specify the topology of a
пространства прямо, так что классический классический
space right uh so a classical the classical
подход к этому, и это своего рода тавтология,
approach to that and it's kind of a tautology
но давайте представим, что это теорема, а не топология, которую я имею в виду,
but um let's imagine it's a theorem as opposed to a topology i mean for
если вы ограничитесь s Для пространств с правильным поведением это теорема, а если вы
if you restrict to sort of well-behaved spaces it's a theorem and if you
берете общие пространства, это своего рода тавтология, но, гм
take general spaces it's kind of a tautology but um so
, классический подход к этому — это именно то, что вы говорите, поэтому вы
the classical approach to this is exactly what you're saying so you
описываете то, что называется типом гм n-й
describe what's called the um sort of nth
гомотопической группы, как совокупность карт из n-сферы
homotopic group as the collection of maps from the n sphere
в ваше пространство, а затем, поскольку это группа,
into your space and then because it's a group
вам нужна операция композиции, которая для двух сфер я могу
you need a composition operation which uh for two spheres i can describe
описать композицию, поэтому, если у меня есть карта из двумерной сферы
the composition so if i have a map from a two-dimensional sphere
в пространство и карта из другого двухмерную сферу в космос,
into a space and a map from another two-dimensional sphere into the space
и эти эти карты основаны на том, что они э-э-э, есть что-то вроде северного
and these these maps are based so they uh there's the kind of north
полюса, и они отправляют их в одну и ту же точку в пространстве,
pole and they send them to the same point in the space
вы можете представить себе, что вы берете другую двумерную сферу,
um you can imagine taking another two-dimensional sphere
а затем сжимаете экватор до единая точка, поэтому, если у вас есть воздушный шар,
and then collapsing the equator to a single point so if you had a balloon
и вы сжимаете точки на экваторе, вы как бы осторожно сжимаете их,
and you collapse the points on the equator you sort of squeeze at them
чтобы они не лопнули, и теперь у вас есть единая точка, теперь вы
carefully so it doesn't pop and so now you have a single point now what you
выглядите чем-то калом. привел букет сфер, это как
look like is something that's called a bouquet of spheres it's
бы две разные сферы, которые склеены вместе
sort of two different spheres that are glued together
вдоль точки, где раньше был экватор, и вы можете как бы
along the point where the equator used to be and you could sort of
отобразить ее в пространство, потому что у вас есть две разные карты в пространстве,
map from that into the space because you have two different maps into the space
которые имеют общую точку и хм своего рода
that uh have a common point and um sort of
комбинация этой операции - это то, как вы
the combination of that operation is how you
определяете композицию здесь, хорошо, и поэтому есть аналог
define the composition here okay good and so there's an analog of
этого во всех измерениях, так что это классический подход к тому, чтобы сказать,
that in all dimensions so this is the classical approach to saying
что такое пространство алгебраически, что это за алгебраические вещи, которые говорят вам
what is a space algebraically what are some algebra stuff that tell you
обо всем что вы хотели бы знать о гомотопическом типе пространства,
everything that you would want to know about the homotope type of the space
но современный подход восходит к идее фундаментальной группы um
but a modern approach goes back to the idea of the fundamental group um
и заменяет ее чем-то, называемым фундаментальным
and but replaces it by uh something called the fundamental
бесконечным группоидом, и, поскольку я обещал, я расскажу вам, слушатели, что именно бесконечная
infinity groupoid and since i promised i would tell you exactly listeners what an
группа позволяет мне сделать это сейчас,
infinity group is let me let me do it now so um
так что мне это нравится, потому что это похоже на более естественный способ
so i i like this because this feels like a kind of much more natural way to
описать пространство, и еще раз Фундаментальное групповое
describe the space and uh again the the fundamental group
слово гм, в зависимости от вашей точки зрения,
word um depending on your point of view
либо это теорема, либо тавтология,
either it's a theorem or it's a tautology
действительно отражает полный гомотопический тип пространства, так что же
really does capture the full homotopic type of the space so what is it
это такое гм, так что это некоторая алгебраическая структура, с которой я собираюсь начать
it's um so it's some algebraic structure where i'm going to start with the set
множество всех точек в пространстве, поэтому я забыл топологию, я забыл
of all points in the space so i've forgotten the topology i've forgotten
о расстояниях и прочем, я просто помню множество точек,
about distances and stuff i'm just remembering the set of points
ладно, вы знаете, потому что в алгебре у меня есть наборы и
okay uh you know because in algebra i have sort of sets and
прочее, которых у меня нет эээ, геометрия, так что я просто помню набор точек в
stuff i don't have uh geometry so i just remember the set of the points in the
пространстве, то, что я собираюсь добавить, это
space then what i'm going to throw in is the
данные каждого возможного пути между любыми точками в пространстве,
data of every possible path between any points in the space
это будет очень большая вещь, между прочим, так что теперь мы восстанавливаем
this is going to be a very big thing by the way so so we re recover now
каждый возможный путь, который муравей мог пройти между точками в пространстве,
every possible path that an ant could take between points in the space
и, кстати, композиция, я имею в виду, я должен сказать, что математики используют слово
and by the way composition i mean i got to say that mathematicians use the word
данные в другом смысле, чем физики используют его,
data in a different sense than physicists use it
о да, я имею в виду все наши наборы бесконечны, это нормально и
oh yeah i mean all of our sets are infinite it's fine and
никаких проблем, когда вы говорите, как данные пути, вы имеете в виду любую информацию
no problems when you say like the data of a path you mean whatever information
, необходимую для указания этого пути среди пространства всех путей,
is required to specify that path among the space of all the paths
так что у нас есть все точки в пространстве, у нас есть все пути в пространстве
right so we have all the points in the space we have all the paths in the space
сейчас, когда мы были думая о путях раньше, когда
now when we were thinking about paths before when we were talking about
мы говорили о Тельце, о котором мы говорили, вы хорошо знаете, что мы только хотим рассмотреть
the taurus we were talking about you know well we only want to consider
пути до того, чтобы быть по существу одним и тем же видом
paths up to being essentially essentially the same sort of
непрерывно деформируемого, мы не делаем этого здесь, мы буквально запоминаем
continuously deformable we're not doing that here we're literally remembering
каждый отдельный путь у каждого пути есть свой путь
every single path every path has a distinct path
хорошо, но мы также будем помнить данные об этих непрерывных
good but we are also going to remember data of these continuous
деформациях, так что есть понятие пути между
deformations so there's a notion of path between
путями, если путь является картой из интервала в пространство,
paths if a path is a map from an interval into the space
это непрерывная карта из квадрата в пространство
this is a continuous map from a square into the space an
интервал, умноженный на интервал, является квадратом, и
interval times an interval is a square and
поэтому карту квадрата в пространство можно понимать как путь между путями,
so a map from a square into space can be understood as a path between paths sort
где одно ребро проходит как один путь, где проходит другое ребро. другой путь,
of where one edge goes as one path where the other edge goes is the other path
а затем какое-то другое направление, другое измерение дает
and then the sort of other direction the other dimension is giving the
тип пути между путями, поэтому мы будем помнить все эти пути, а также
kind of path between paths so we're going to remember all of those as well
все эти пути между путями, поэтому они называются
all of these paths between paths so these are called
гомотопиями, и тогда нет причин остановиться на двух
homotopies and then there's no reason to stop at two
измерениях, чтобы мы могли взять три интервала, произведенных вместе, это
dimensions so we could take three intervals producted together that's a
куб, запомнить все эти карты в
cube remember all of those maps into the
пространстве, это пути между путями между путями,
space these are paths between paths between paths
и тогда мы могли бы выбрать пути между путями между путями между путями, пройти
and then we could take paths between paths between paths between paths pass
между, пройти между, пройти между, пройти между. быстро и полностью вверх, и это
between pass between pass between pass between fast and all the way up and that
уходит в бесконечность, это бесконечный группоид,
goes to infinity that's the infinity groupoid
так что данные, я имею в виду, это кажется, что это может быть не улучшение, но почему-то
so that data i mean this feels like it's maybe not an improvement but somehow
да, это что-то вроде того, что алгебраическая структура
yeah it's something somehow that algebraic structure
э-э-э-э, вы знаете, что оба э-э-м описывают полный гомотопический тип
uh um you know both uh describes the full homotopic type of a
пространство, которое является полезным способом думать об этом, но также
space which is a useful way to think about it but also
предлагает вам представить обобщение для другого мира,
invites you to imagine a generalization to a different world
который еще дальше удален от геометрия, в которой вы можете себе представить, что некоторые из этих
that's further removed from the geometry where you can imagine some of these
путей больше необратимы, это своего рода пути с односторонним движением,
paths are no longer invertible anymore these are sort of one-way
хорошо, вы знаете, вы не сможете вернуться назад по
paths okay you know you you might not be able to go backwards for
какой-либо причине, и теперь это мир бесконечномерной
whatever reason and this is now the world of infinite dimensional category
теории категорий и это действительно то место, где я так хорошо работаю, так что
theory and that's really where i work so well so which brings up a couple
возникает пара вещей, которые я просто должен убрать там, где ты был в ударе, поэтому я
there's a couple things i just got to clean up there you were on a roll so i
просто хотел, чтобы ты продолжал, поэтому одно дело - просто напомнить людям,
just wanted to let you keep going so one thing is just to remind folks
когда ты говорил об этом путь между двумя путями
when you talked about the path between two paths right the
прямо куб извините квадрат, который был картой в него
the cube sorry the square that was a map into it
что этот путь между двумя путями может не существовать если два пути
that that path between two paths might not exist if the if the two paths are
не гомотопически эквивалентны что между ними не будет
not homotopically equivalent that there won't be
никакого пути так что есть какой-то структура в пространстве того, какие
any path between them so there's some structure in the space of what
прокладки между путями существуют прямо по тому, что присутствует, а что отсутствует, это
pads between paths exist right by what's present and what's absent that's a
прекрасный способ сказать, что это здорово, а другой был
beautiful way to say it great and the other one was this is a
немного не по теме, но когда вы сделали гм объяснение ион
little bit off topic but when you did the um explanation of the
сферы, и вы сжали его на экваторе,
sphere and you squeezed it down at the equator
чтобы получить букет, не только очень красивый язык,
to get the bouquet not only is the language very beautiful but
но и визуализация очень убедительна, и одна вещь, которую всегда спрашивают,
the visualization is very compelling and one one thing that always gets asked
как вы визуализируете бесконечный группоид, это то, что что-то, э-э
how do you visualize the infinity groupoid is that something that uh
, что вам нужно сделать, вы приближаете бесконечность к двум
is necessary for you to do do you approximate infinity by two
или есть какой-то другой трюк, э-э, это сложно,
or is there some other trick uh it's hard
я не знаю, я не знаю, я имею в виду, что вы как бы представляете себе маленький кусочек
i don't know i don't know i mean you you sort of imagine a little piece of it at
за раз, а затем я не знаю не знаю, эм, да, это сложно, хорошо
a time and then i don't know um yeah it's hard okay
, это честно, совершенно честно, я в основном даю тот
that's fair completely fair i i i basically give the
же ответ, я говорю, вы не знаете, что вы делаете двухмерные или
same answer i say you don't you know you do the two-dimensional or
трехмерные примеры, которые вы можете получить, но
three-dimensional examples you can get but
в какой-то момент вы должны доверять уравнениям вы толкаетесь,
at some point you have to trust uh the equations you're pushing around
и я не думаю, что мы достаточно подробно разобрали разницу между группой и
and i don't think we've quite elaborated the difference between a group and a
группой, верно, так что разница между
group boyd right so the the difference between a
группой в том, что пример фундаментальной
group is uh so the example of a fundamental group
группы элементы группы на самом деле являются петли
the elements of the group are actually the loops
й Сами по себе мы как бы зафиксировали исходную
themselves we've kind of fixed as priorly given data the
базовую точку для муравья в качестве ранее предоставленных данных, а затем единственными
home base point for the ant and then the only
дополнительными данными, которые мы записываем, являются петли в пространстве,
further data we record are the the loops in the space
поэтому в группе void вы не фиксируете базовую точку, вы разрешаете другую базу
so in a group void you don't fix a base point you allow different base
точки, то есть разные точки на поверхности
points so the different points on the surface of
или в пространстве, и теперь у вас есть два уровня данных, у вас есть
or in the space and uh now so now you have kind of two levels of data you have
коллекция разных точек, а затем у
the collection of different points and then
вас также есть пути между разными точками,
you also have the paths between the different points
хорошо, это то, что я значит за пределами мира топологии и гомо топи
okay is this is this i mean outside of the world of topology and homo topi
это эээ есть группоиды я имею в виду группы
is is uh are there groupoids i mean groups
физики используют группы все время правильно sg3 крест su-2 крест u1 это
physicists use groups all the time right sg3 cross su-2 cross u1 is the symmetry
группа симметрии стандартной модели физики элементарных частиц
group of the standard model of particle physics
которую мы никогда не использовали слово groupoid, если только мы не тайные
we've we never use the word groupoid unless like we're secretly
математики, так что просто в абстрактном смысле есть ли
mathematicians so just in the abstract sense is there a
разница, да, конечно, так что все ваши группы являются
difference yeah sure so your groups are all automorphism
группами автоморфизмов некоторого объекта, верно, и это фиксированный объект, так что
groups of some object right and it's a fixed object so
вы знаете, что думаете об автомо r3 или автоморфизмы
you know you're thinking about automorphisms of r3 or automorphisms of
r4 или что-то вроде r3 с выбранной ориентацией или что-то в этом роде, чтобы
r4 or sort of r3 with a chosen orientation or something like that so
все ваши группы были группами автоморфизмов фиксированного объекта
your groups were all automorphism groups of a fixed object
в групповом слове, у вас есть разные объекты, так что это уже не один объект
in a group word you have different objects so there's not just one object
, есть разные объекты и это точно многообъектный аналог
anymore there are different objects and it's exactly the many object analog of a
группы хорошо, я вижу, что это не так уж плохо, и
group okay i see that's not so bad and
автоморфизм - это просто отображение из пространства в себя
automorphism is just a map from a space to itself
, это правильно да хорошо хорошо хорошо да да извините,
is that right yeah okay good good yeah yeah sorry
так что мы все знаем, какие автоморфизмы среди наших друзей хорошо теперь конечно
so we all know what automorphisms are among our friends okay now of course
, тогда ладно, хорошо, извините, есть много уточняющих вопросов, но тогда давайте
so then okay good sorry there's a lot of clarifying questions but then let's get
вернемся к изюминке здесь, бесконечный группоид,
back to the punch line here the infinity groupoid uh
своего рода топологический смысл всех различных путей,
the sort of topological sense of all the different paths
которые мы можем отобразить в пространство и пути между путями. и пути
that we can map into um the space and the paths between the paths and paths
между путями путей, поэтому, если бы мы знали вес бесконечной
between the paths of paths so if we knew the infinity group weight
группы пространства, мы бы знали, что все, что я имею в виду, хорошо
of a space we would know what everything everything i mean well
все, если вы заботитесь только о спа до гомотопии,
everything if you only care about the space up to homotopy
я имею в виду, если вы хотите сказать, что n- мерное евклидово пространство такое же,
i mean if you're willing to say that n dimensional euclidean space is the same
как точка, нет никакой разницы,
as a point there's no difference whatsoever
тогда да, теперь вы знаете все о пространстве, я имею в виду, если вы заботитесь о
then yes you know everything about the space now i mean if you care about
геометрии, измерениях или подобных вещах. тогда
geometry or dimension or things like that then
вы знаете, что это неправильная точка зрения, но это нормально, но
you know this is not the right point of view but that's okay but for
для тельца, когда вы сказали, что знаете, давайте вычислим фундаментальную
the taurus when you said you know let's calculate the fundamental
группу, и мы заметили, что это выглядело так для сферы,
group and we noticed that it looked like so for the sphere the
фундаментальная группа была просто тривиальной, всего один элемент,
fundamental group was just trivial just one element
э-э, для Телец это две копии целых чисел,
uh for the taurus it's two copies of the integers
так что это в основном два целых числа, которые вы только что мне дали, есть ли там,
so it's basically two integers you just give me is there
как я вообще могу выразить, что такое бесконечный группоид пространства
how do i even express uh what the infinity groupoid of a space
, э-э, так что позвольте мне вернуться к сфере
is uh right so let me move back to the sphere
из-за двух сфер, потому что это немного проще описать здесь,
because of the two sphere because it's a little easier to describe here
так что если мы думаем о петлях в двух сферах или о путях в
so um if we're thinking about the loops in the two sphere or the paths in the
двух сферах, то нет ничего интересного, если у вас есть любые две
two sphere there's kind of nothing interesting to say if you have any two
точки на так
points on the sorry the two sphere is the
Если у вас есть две точки на сфере, вы можете соединить
ordinary sphere if you have any two points on a sphere you can connect
их путем, и в некотором смысле все пути одинаковы, вы можете
them by a path and there's a sense in which all paths are the same you could
непрерывно деформировать любой путь от x до y в любой
continuously deform any path from x to y into any
другой путь из x к y, но теперь, если мы подумаем об этих
other path from x to y but now if we think about these
двухмерных путях между путями, они будут
two-dimensional paths between paths there are
принципиально разными, и это действительно удивительно, так что
fundamentally different ones and this is really surprising so
в одном измерении все пути каким-то образом одинаковы на сфере, но в двух
in one dimension all paths are somehow the same on the sphere but in two
измерениях пути могут быть совершенно разными, поэтому хм,
dimensions uh paths can be quite different so um
так что, если я хочу подумать о путях между путями, и поэтому я должен
so if i want to think about paths between paths and so i should
сначала исправить два пути, так что
fix the two paths first so um let's start at the
давайте начнем с северного полюса и южного полюса, так что это будут пути
let's start at the north pole and the south pole so these will be paths from
от северного полюса к южному полюсу и один из путей, который я хочу пройти,
the north pole to the south pole and one of the paths i want to take
- это международная линия перемены дат, поэтому где-то через Тихий океан,
is the international date line so somewhere through the pacific ocean
а другой путь, который я хочу пройти, - это нулевой меридиан, который, я не знаю
and the other path i want to take is the prime meridian which is i don't know
, проходит через Англию или что-то в этом роде.
it's through england or something like that
где еще так правильно так там гринвич и тихий океан
okay somewhere else so right so there's the greenwich one and the pacific ocean
так что это оба пути от северного полюса к южному полюсу
so those are both paths from the north pole to the south pole
теперь путь между путями это непрерывная карта
now a path between paths is a continuous map from
из квадрата на поверхность земли которая отправляет
a square onto the surface of the earth that sends
один край к нулевой меридиан и другой край
one edge to the prime meridian and the other edge to the
международной линии перемены дат, и одна из них будет охватывать
international date line and one of them is the one that would cover
Азию, которая будет идти на восток от нулевой точки меридиана до международной линии перемены дат,
asia that would go east from the prime meridian to the international date line
а другая - та, которая будет
and the other one is the one that would cover
охватывать новый мир, так что вперед запад, э-э и гм, они принципиально отличаются
the new world so go west uh and um those are fundamentally different
в том смысле, что нет трехмерного пути, нет пути между
in the sense that there is no three-dimensional path no path between
путями, между путями, которые постоянно деформируют один
paths between paths that uh continuously deforms the one to
в другой, если бы вы могли пройти через
the other if you could pass through the core
ядро земли, вы могли бы это сделать, но мы Ес мы должны оставаться на поверхности, это не
of the earth you could do that but we're we have to stay in the surface it's not
разрешено, так что в этом смысле фундаментальная
allowed so um in this sense the fundamental
группа или фундаментальная группа или что-
group or the fundamental group or the sort of
то одномерное не описывает всего, что происходит на поверхности.
one-dimensional thing does not describe everything that's going on on the
поверхность сферы, но как только мы допускаем эти вещи из более высоких измерений,
surface of the sphere but once we allow these higher dimensional things
мы получаем все, и это ваша повседневная работа, в которой вы
um we do get everything and it's your is the kind of day job that you're
участвуете в более фактическом вычислении фундамента бесконечного группоида
involved in more actually calculating the fundament the infinity groupoid of
того или иного или это более доказательно теоремы о свойствах
this or that or is it more proving theorems about properties of
слов бесконечной группы , да, это отличный вопрос,
infinity group words right it's so that's a great question
потому что это очень активные области,
because those are both very active areas there are a lot of researchers working
над обеими проблемами работает много исследователей, я не делаю
on both both problems i don't do the
расчеты сам, они очень сложные, вы знаете, я делаю добро со
calculations myself they're very hard you know i do kind of the
стороны теории, но некоторые из моих коллег работают над вычислениями, я уверен, что
theory side but some of my colleagues work on the calculations i'm sure it
всем приятно, что вы на самом деле не делаете сложную часть, вы просто
makes everyone feel good that you don't really do the hard part you're just
делаете простую часть правильного перемещения теорем о бесконечных групповых точках,
doing the simple part of moving theorems about infinity group points
и это Кроме того, эта дискуссия замечательна, потому
right and it also this discussion is wonderful because
что вы знаете, что скрывается за языком, который вы используете в том, как вы
it does you know beneath the surface in the language that you use in the way you
говорите об этом. Роль карт между
talk about it uh the role of the maps between the
различными пространствами действительно сияет. Вы знаете, вы знаете, просто подумайте обо всех
different spaces really shines through you know you know just think of all the
пространствах, которые вы можете изобрести, и обо всех различных способах их отображения
spaces you can invent and all the different ways you can map them
в каком-то смысле, и это подводит нас к теме теории категорий, которая
in in some sense and that sneaks us up into the topic of category theory which
на самом деле не является нашей целью, но я не хочу,
is not really our focus here but i don't wanna
я не хочу оставлять аудиторию полностью лишенной теории категорий,
i don't wanna like leave the audience completely uh bereft of category theory
пока мы здесь, так как же нам перейти от топологии к
while we're here so how do we get from topology to
теории категорий?
category theory sure um i mean again there's lots of
different roots in but maybe the one that's most
этот разговор и это своего рода возвращение к этому, э-э,
relevant to this conversation and this is kind of back to this uh
назад к разговору и философии, с которой мы начали, это
back to the conversation and philosophy that we started off with is
гм, так что фундаментальная теорема и теория категорий
um so the fundamental theorem and category theory
или каким-то образом выражают основную философию теории категорий, эта
or somehow that that's expressing the core philosophy of category theory this
штука, называемая леммой унита, говорит, что если у вас есть
thing called the unita lemma says that if you have
какой-либо математический объект, это может быть топологическое пространство,
any sort of mathematical object it could be a topological space
или это может быть векторное пространство, или это может быть кольцо, или это может быть поле,
or it could be a vector space or it could be a ring or it could be a field
или любой другой математический объект, который вы можете
or whatever any sort of mathematical object you can
понять все, что вы хотите знать об
understand everything that you want to know about
этом, рассматривая другие объекты того же типа, такие как
it by considering the other objects of that same type so
другие пространства, или другие кольца, или другие поля,
other spaces or other rings or other fields
и карты между ними настолько правильно, что в
and the maps between them so right so what this is saying in the case
случае пространств это говорит о том, что если у вас есть э-э неизвестное пространство x, и вы пытаетесь
of spaces is that if you have uh unknown space x and you're trying to
понять это пространство, так что мы не знаем, каковы его измерения, каковы его
understand that space so we don't know sort of what its dimensions are what its
точки, мы ничего о нем не знаем ...
points are we don't know anything about it
теорема из теории категорий, джанета лама говорит, что вы можете полностью
um a theorem in category theory the janeta lama says that you can completely
охарактеризовать ваше неизвестное пространство , рассматривая другие пространства, то есть все
characterize your unknown space by considering the other spaces so all
эти сферы, торы и другие поверхности и все, что угодно во всех
these spheres and tori and other surfaces and whatever in all
измерениях, а затем непрерывные карты из этого в ваше пространство
dimensions and then the continuous maps from that into your space
х, хорошо, что в этом крутого результата, поэтому мы
x well okay what's cool about that result so we
уже использовали эту идею в топологии для понимания пространств,
were using this idea in topology already to understand spaces
но что круто, это совершенно не зависит от математического контекста,
but what's cool is it's completely independent of the mathematical context
поэтому та же теорема верна для колец, вы можете
so the same theorem is true for rings you can understand
понять кольцо, думая о других кольцах и кольцевые гомоморфизмы между ними, вы
a ring by thinking about other rings and the ring homomorphisms between them you
можете понять группу, думая о других группах и групповых гомоморфизмах
can understand a group by thinking about other groups and the group homomorphisms
между ними.
between them this works in any mathematical context
whatsoever it's again a little bit uh related to
some ideas in physics that we should always be talking about
разные вещи, а не внутренние сущности
relations between different things rather than intrinsic essences
самих вещей, так что да, абсолютно, и почему это называется
of things themselves so yeah absolutely absolutely and and why is this called
теорией категорий, например, давайте просто стиснем зубы и скажем
category theory like let's just bite the bullet and tell
людям, что категория, возможно, уверена, поэтому я имею в виду, что категория - это что-то вроде очень
people what a category is maybe sure so i mean a category is kind of like a very
общего шаблона для математическая теория, так что у
general template for a mathematical theory so
Барри Мазура есть эта метафора, это как что-то с
barry mazur has this metaphor it's like something with uh
существительными и глаголами, поэтому категория задается набором объектов, это
nouns and verbs so a category is given by a collection of objects these are the
существительные, и что вы должны думать здесь, это
nouns and what you should think of here are
как все кольца все возможные кольца, так что целые числа и рациональные числа,
like all the rings all the possible rings so the integers and the rationals
и многочлены, и матрицы, и бла-бла, так что все кольца
and the polynomials and matrices and blah blah so all the rings
гм, и тогда у вас также есть с орт
um and then you also have the sort of
функций между ними, поэтому в случае колец это будут функции, которые
functions between them so in the case of rings these would be functions that
соблюдают законы сложения и умножения, в
respect the addition and multiplication laws in the
случае пространств это будут непрерывные функции
case of spaces these would be continuous functions
и своего рода совокупность информации объекты, такие как пространства и
and sort of that totality of information the objects like the spaces and the
функции, непрерывные функции или карты между ними и их композицией
functions the continuous functions or maps between them and their composition
и т. д., это категория, и что в этом хорошего, так это то,
and so on that's a category and what's great about this
что каждое слово, которое вы говорите, имеет смысл,
is every word you say makes perfect sense
и в конце я не совсем понимаю,
and at the end i'm left not quite knowing
каковы последствия этих идей, я имею в виду, вот где
what the implications of these ideas are i mean that's where
это черт возьми, детали правы, ты вознесся в это платоническое
that's the devil being the details right you've ascended to this platonic realm
царство прекрасной абстракции, где есть
of of wonderful abstraction where there's
только вещи и карты между ними, так как же ты знаешь, в чем польза, в
just things and maps between them so how do you what's the usefulness
чем выгода от этого, какова
what's the cashing out of this what is the
свободная рыночная стоимость хорошей теории категорий? так
free market value of a good category theory right so
что я имею в виду одну приятную вещь в теории категорий: вы можете просто сказать, когда две
um i mean one nice thing about category theory is you can just say when two
категории одинаковы в существенном смысле, так что нет
categories are the same in a essential sense so there's a notion
Ион эквивалентности между категориями, и я приведу вам мой любимый пример,
of equivalence between categories and i'll give you my favorite example
так что есть категория, объекты которой являются векторными пространствами,
so um there's a category whose objects are vector spaces
которые являются чем-
which are um something that are kind of
то фундаментальным в современной квантовой физике,
fundamental in in sort of modern quantum physics so
поэтому векторное пространство похоже на коллекцию. векторов с векторным
a vector space is like a you know collection of vectors with vector
сложением и скалярным умножением, а затем преобразования
addition and scalar multiplication and then the the sort of transformations
между векторными пространствами называются линейными преобразованиями, так что это
between vector spaces are called linear transformations so there's so this is
своего рода объекты категории хлеба с маслом или векторные пространства, а
kind of a bread and butter category objects or vector spaces uh the
карты - это преобразования, которые являются своего рода функциями между эти векторные
maps are transformations which are some sort of functions between these vector
пространства теперь есть еще одна категория, которую
spaces now there's another category that's kind
намного проще определить, поэтому объекты в этой категории являются просто
of a lot simpler to define so the objects in this category are just
натуральными числами, поэтому я точно знаю, сколько
natural numbers so they're i know exactly how many
существует объектов, каждое натуральное число является объектом, других объектов нет
objects there are each natural number is an object there are no other objects
, вот и все а теперь мне нужно сказать, что такое
that's it and now i need to say sort of what an
преобразование натуральных чисел ноль один два
transformation natural numbers are zero one two three
три положительный ноль один отрицательный пять целых чисел, да, абсолютно нормально,
the positive zero one negative integers yeah absolutely okay
так что теперь мне нужно сказать, что это за преобразование или что такое
so so now i need to say what a sort of transformation or what an arrow
стрелка от одного числа, скажем, пяти до другого
is from one number let's say five to another
числа восемь, и что это будет, это будет
number eight and what it is is it's going to be an
матрица восемь на пять, хорошо, так что сделай что-нибудь категорией мне
eight by five matrix okay um so to make something a category i
нужно рассказать тебе об объектах и
need to tell you about the objects and the
елках между ними и это то, что я сд лал натуральные числа это об
arrows between them and that's what i've done the natural numbers are the objects
екты матрицы это стрелки но ебе также нужен закон композиции так что мне ну
the matrices are the arrows but you also need a composition law so i
ен способ вз ть матрица пять на восемь и матрица восемь на
need a way to take a five by eight matrix and an eight by
семь и получить матрицу пять на семь
seven matrix and produce a five by seven matrix
хм, но для этого есть вещь, которая называется умножением матриц
um but there's a thing for that it's called matrix multiplication
, это операция, которая удовлетворяет аксиомам категории,
it's an operation that's satisfies the axioms of category
так что это две очень разные по звучанию категории, с одной стороны я есть это
so those are two very different sounding categories on the one hand i have this
как очень абстрактный комп, вы знаете очень большую
like very abstract comp you know very large
вещь обо всех векторных пространствах и всех линейных преобразованиях между ними,
thing of all vector spaces and all linear transformations between them and
а с другой стороны, у меня есть такая игрушечная категория с натуральными числами и
then on the other hand i have this kind of toy category with natural numbers and
m матрицы и эти категории эквивалентны, поэтому
matrices and those categories are equivalent so
, другими словами, вы можете думать о натуральном числе как о
in other words you can think of the natural number as a stand-in for
замене векторного пространства, число пять соответствует пятимерному
a vector space the number five corresponds to five dimensional
евклидову пространству, я собирался предположить, что я обещаю, да, да,
euclidean space i was going to guess that i promise yes yeah
и вы можете думать о матрица в качестве замены для линейного преобразования, поэтому, если у
and you can think of uh matrix as a stand-in for linear transformation so if
вас есть векторные пространства и вы выбираете основу
you have vector spaces and you choose a basis
, вы можете использовать эти основы для получения матрицы чисел, которая
then you can use those bases to get a matrix of numbers that encodes the
кодирует полные данные линейного преобразования и гм, так что
the full data of the linear transformation and um so
в математическом отделе мы часто преподаем линейную алгебру в виде двух
in a mathematics department we often teach linear algebra in kind of two
разных направлений, есть что-то вроде вычислительной линейной алгебры, если вы
different tracks there's a sort of computational linear algebra if you're
собираетесь стать следующим основателем Google, вам
going to be you know the next founder of google you
нужно научиться использовать эти матричные операции, и вы возьмете этот вид
need to learn how to use do these matrix operations and you'll take that sort of
конечно, гм, или есть теоретическая линейная
course um or there's a theoretical linear
алгебра, которую вы знаете, возможно, больше математических специальностей,
algebra that's you know taken maybe by more math majors
и гм, это на том основании, что предметы кажутся
and um this on the ground the subjects feel
очень разными, потому что вы много изучаете мат рис,
very different because one you're learning a lot about matrices and
редукция и операции, а затем другое, вы изучаете эту теорию о
reduction and operations and then the other you're learning this theory about
линейной независимости и основаниях и т. д. и т. д., но это одна и та же тема,
linear independence and bases and so on and so forth but it's the same subject
потому что это эквивалентные категории, хорошо, это на самом
because they're these are equivalent categories okay that's that is actually
деле очень хороший пример того, как небольшое полезное понимание, которое вы получаете,
a very good example of like a little useful bit of insight that you get from
думая таким образом, так что я просто знаю, что это
thinking this way so just i know that this has sort of
уже было сказано вами, но позвольте мне попытаться сказать это еще раз, чтобы донести это
already been said by you but let me try to say it again to drive home this
понятие категории до людей, которые не используют это как хлеб
notion of a category to people who don't use it as a bread
с маслом, потому что, когда вы говорите векторное пространство,
and butter because when you say a vector space
давайте просто представим, давайте оптимистично представим, что все знают,
uh let's just imagine let's optimistically imagine everyone knows
что такое векторное пространство, правильно, они имеют в своем уме
what a vector space is right they have in their mind
оси x, y и маленькие векторы, так что векторное пространство
x y axes and little vectors so a vector space
само по себе является набором вещей прямо векторов существует бесконечное
is itself a collection of things right the vectors there's an infinite number
количество векторов в векторном пространстве, но категория состоит из векторных пространств,
of vectors in the vector space but the category is of vector spaces so
поэтому отдельные элементы категории представляют собой все
the individual elements of the category are the whole
векторное пространство двумерное векторное пространство a трехмерное векторное пространство
vector space a two-dimensional vector space a three-dimensional vector space
и так далее, и вы думаете о картах
et cetera and you're thinking about the maps
между векторными пространствами, а затем о дополнительных картах между набором
between vector spaces and then extra maps between the set of
всех векторных пространств и набором всех целых чисел и тому подобными вещами, так что это
all vector spaces and the set of all integers and things like that so it gets
довольно быстро становится довольно невизуализируемым, но именно
pretty unvisualizable pretty quickly but that's
поэтому вы получайте большие деньги, ну, визуальная часть, вы как бы уменьшаете
why you get paid the big bucks well the visual is you're you're sort of
масштаб, вы действительно смотрите на математику с высоты птичьего полета,
zooming out you're really taking a bird's-eye view of
вы знаете, что объекты, которые,
of mathematics you're um you know that the objects that
ну, вы знаете, изучали бы теоретики групп , на самом деле просто
uh you know group theorists would study are really just uh
маленькие атомы внутри категории всех групп, и что забавно, так это то, что если вы
little atoms inside of the category of all groups and what's fun is if you're a
теоретик категорий или теоретик категорий более высокого измерения, на самом деле
category theorist or a higher dimensional category theorist really the
категории сами по себе становятся очень маленькими, поэтому
categories of themselves become very small so
в моей работе я уменьшаю масштаб еще на один уровень, и я думаю о категориях,
in my work i zoom out one other level and i think about categories whose
объекты которых являются категориями внутри этих категорий, являются такие вещи, как
objects are categories inside those categories are things like the category
категория векторных пространств, а затем векторное пространство является фактическим векторным пространством,
of vector spaces and then the vector space is an actual vector space
которое имеет несчетно бесконечное множество векторов в i как вы указываете так и так,
which has uncountably infinitely many vectors in it as you point out so and so
в какой момент мы приходим к категориям бесконечности, есть группа бесконечности,
at what point do we get to the infinity categories there's an infinity group
должна быть категория бесконечности, да, да,
there must be an infinity category right uh yeah sure
я имею в виду, да, вы знаете, что
i mean um yeah uh you know as every
каждое десятилетие математики изобретают более сложные
every decade mathematicians invent more complicated
объекты для изучения. и вселенная - это место, где живут эти объекты, - это
objects to study and the universe is where those objects live are
категории с большим количеством измерений морфизмов между ними, и это
uh categories with more dimensions of morphisms between them and those are
эти категории бесконечности, я имею в виду, просто зная, что
these infinity categories i mean just knowing that can
вы можете предвидеть, что будет изобретено в следующем
you foresee what was going to be invented in the next
десятилетии, например, что очевидно, что нравится нарисуйте больше стрелок между
decade like what is the obvious thing to like draw more arrows between
да, я имею в виду, что я надеюсь, что в будущем произойдет то, что мы изменим нашу
yeah i mean what i'm hoping happens in the future is that we change our
базовую систему математики, чтобы она
foundation system of mathematics so it's kind of
больше подходила для этих сложных вплоть до гомотопических структур
more suitable to these complicated up to homotopy structures
, о которых мы думаем сегодня, ну, может быть,
that uh we're thinking about today well maybe
это хорошее место, чтобы закончить, потому что в каком-то смысле все
this is a good place to end up um because in some sense like this all
это весело, как я, ты и я, оба в небольшой группе людей, которые
it's kind of fun like i you and i are both in the small group of people who
просто думают, что это весело, думаю Я говорю об этом правильно, но
just think it's fun thinking about this stuff right but um
это также, возможно, изменение точки зрения на то, что математика является правильной, и на
it's also maybe a shift of perspective on what math is right and in
изменение того, что мы подразумеваем под равенством и эквивалентностью и
changing what we mean by equality and equivalence and
тому подобными вещами, и поэтому вы можете себе представить, что математика будет
things like that and so can you imagine that math is going to
выглядеть совсем по-другому в будущем, когда когда это действительно просачивается, это
look very different down the road when when this really seeps in is it kind of
похоже на переход от классической механики к квантовой механике
like a shift from classical mechanics to quantum mechanics
в каком-то смысле да, я так думаю, я думаю, хм, вы знаете, что мы, возможно, видим
in some sense yeah i think so i think um you know we maybe see
проблески этого сегодня, но я, вы знаете, я думаю, вы знаете, что каждый живущий
glimpses of it today but i you know i think you know every living
математик был бы очень удивлен тем, что вы знаете математику 22-го века, и
mathematician would be very surprised by you know 22nd century mathematics and um
я надеюсь быть рядом, чтобы увидеть некоторые из них.
i hope to be around to see some of it well i was very interested to read
uh there's a wonderful interview with you in quantum magazine and one of the
я имею в виду, может быть, вы считаете
interesting things you're doing is writing books i mean maybe you count
их учебниками, но в любом случае книги по технической математике
them as textbooks but anyway technical mathematical books where
поправьте меня, если я говорю это неправильно, но вы были так же
correct me if i'm saying this wrong but you were just as
заинтересованы в опровержении известных теорем
interested in reproving known theorems in
лучшими способами, как и в импровизации. разглагольствование о новых теоремах, что считается типичным занятием, за которое
better ways as improving new theorems which is supposed to be
математикам платят деньги,
the the typical thing mathematicians are paid to do
и вы знаете, что есть этот Билл Терстон, который является этим замечательным
right and you know there's this bill thurston who is this uh wonderful
геометром-топологом, э-э, привлек внимание,
topologist geometer um uh drew attention to
э-э, вы знаете, какую роль должны играть математики в сделать
uh you know kind of the role that mathematicians need to play in making
математику понятной для людей, которую вы знаете, чтобы
mathematics understandable to humans you know so
вы знали, потому что что-то было доказано, это означает, что это правда,
you know because something has been proven um that means it's true
что, э-э, вы знаете, хорошая вещь в математике - это теоремы, которые были
which uh you know nice thing about mathematics is the theorems that were
доказаны 2000 лет назад, одинаково верны и сегодня,
proven 2000 years ago are equally true today
но это не обязательно означает, что это понятным для тех, кто
but that doesn't necessarily mean that it's understandable by somebody who
хочет развить эти идеи и использовать их для чего-
wants to build on those ideas and use them to do
то еще, поэтому я думаю, что стоит немного, как
something else so i think it is worthwhile to do a bit of
вы знаете, привести в порядок и переупаковать рационализировать, вы знаете,
you know kind of tidying up um and repackaging streamlining um you know
замечательный успех в истории математики
a wonderful success in the history of mathematics is
вы знаете, что эти передовые открытия, которые были, как вы знаете,
you know the these cutting-edge discoveries that were you know kind of
очень спорными или немыслимыми для кого-то 100 лет назад
very controversial or inconceivable to somebody 100 years ago
, теперь Если мы учим студентов на первом и втором курсе,
are now stuff we teach undergraduates in their first and second year
я имею в виду, что было много споров по поводу исчисления,
right i mean there was a lot of controversy over calculus right that was
которое считалось сложным, да, верно, эти вершины человеческих
a that was considered hard yeah right these pinnacles of human
достижений теперь то, что вы знаете,
achievement are now something that you know
тысячи и сотни тысяч студентов учимся каждый год,
thousands and hundreds of thousands of students are learning every single year
и я надеюсь, что мы продолжим прогрессировать в этом направлении, мы должны вернуться через 30 лет
and i hope we continue to progress in that way we should check back 30 years
, мы вернем вас в подкаст, и мы проверим,
from now we'll have you back on the podcast and we'll check to see whether
преподается ли теория категорий, по крайней мере, студентам. по крайней мере,
or not category theory is taught to uh at least undergraduates at least
первокурсники на уроках математики,
first year students in the math classes so
так что это то, чего стоит ожидать, Эмили Реал, большое спасибо за
that's something to look forward to emily real thanks very much for being on
участие в подкасте Mindscape большое спасибо за то, что пригласил меня
the mindscape podcast great thanks for having me
1
00:00:00,080 --> 00:00:03,760
привет всем добро пожаловать на подкаст Mindscape я ваш ведущий шон кэрролл за эти годы
hello everyone welcome to the mindscape podcast i'm your host sean carroll
2
00:00:03,760 --> 00:00:08,400
мы проделали много научной работы над подкастом так
we've done a lot of sort of science on the podcast over the years as it were
3
00:00:08,400 --> 00:00:11,200
как подкаст достаточно старый я могу теперь сказать за эти годы вау это довольно
the podcast is old enough i can now say over the years wow that's pretty
4
00:00:11,200 --> 00:00:13,759
впечатляет и заниматься наукой, когда вы пытаетесь говорить
impressive and doing science when you try to talk
5
00:00:13,759 --> 00:00:17,039
о науке перед аудиторией, которая не обязательно
about science to a an audience which is not necessarily
6
00:00:17,039 --> 00:00:20,080
состоит из специалистов в этом конкретном виде науки,
full of specialists in that particular kind of science
7
00:00:20,080 --> 00:00:24,960
что вы делаете, как вы говорите о науке с неучеными, ну, самое
what do you do how do you talk about science to non-scientists well the very
8
00:00:24,960 --> 00:00:28,880
первое, что вы делаете, это раздеваетесь из всей математики правильно вы
first thing you do is you strip out all the math right you
9
00:00:28,880 --> 00:00:32,480
предполагаете, что люди, которые слушают, не обязательно знакомы с уравнениями
assume that the people listening are not necessarily familiar with the equations
10
00:00:32,480 --> 00:00:35,120
символами манипуляциями, через
the symbols the manipulations that the professional
11
00:00:35,120 --> 00:00:38,960
которые должны пройти профессиональные ученые, чтобы понять свою область, но вы,
scientists have to go through to understand their field but you can
12
00:00:38,960 --> 00:00:42,960
тем не менее, даже без математики можете говорить о концепциях, которые
nevertheless even without the math you can talk about the concepts that the
13
00:00:42,960 --> 00:00:46,800
когда ученые имеют дело с этим, возникает загадка, когда вы
scientists are dealing with this raises a puzzle when the thing you
14
00:00:46,800 --> 00:00:51,039
хотите поговорить о математике, мы не говорили о математике
want to talk about is math we haven't talked about math
15
00:00:51,039 --> 00:00:54,719
как о чистом предмете так много здесь, в области мышления, мы я разговаривал со
as a pure subject that much here on mindscape we did talk to
16
00:00:54,719 --> 00:00:58,559
Стивеном Строгацем, который является профессиональным математиком, но он очень близок к
steven strogatz who's a professional mathematician but he's very close to
17
00:00:58,559 --> 00:01:02,800
тому, чтобы стать физиком, во многих отношениях мы еще не совсем поднялись в действительно
being a physicist in many ways we haven't quite ascended to the truly
18
00:01:02,800 --> 00:01:08,479
абстрактные области очень чистой математики, поэтому это то, что мы делаем здесь сегодня
abstract realms of very pure mathematics so that's what we're doing here today
19
00:01:08,479 --> 00:01:11,680
чистая математика никаких уравнений, но мы мы попытаемся
pure mathematics no equations but we're going to try to
20
00:01:11,680 --> 00:01:15,040
поговорить о концепциях, с которыми вы сталкиваетесь
talk about the concepts that you come across
21
00:01:15,040 --> 00:01:18,080
в самых возвышенных сферах математической мысли.
at the most elevated realms of mathematical thought
22
00:01:18,080 --> 00:01:22,320
Сегодня нашей гостьей является Эмили Реал, тополог из Университета Джона Хопкинса,
our guest today is emily real who is a topologist at johns hopkins
23
00:01:22,320 --> 00:01:26,400
и она очень верит в возможность осмыслить эти глубокие
and she's a very big believer in being able to conceptualize these deep
24
00:01:26,400 --> 00:01:30,079
математические идеи. самым простым и наилучшим образом, так что
mathematical ideas in the simplest and best way possible so
25
00:01:30,079 --> 00:01:34,720
она отличный человек, чтобы вести нас в этом туре, и основополагающая идея, о которой
she's a great person to guide us on this tour and the foundational idea
26
00:01:34,720 --> 00:01:37,040
мы собираемся говорить, заключается в топологии.
we're going to be talking about is topology
27
00:01:37,040 --> 00:01:41,600
topology is the study of the properties of mathematical spaces
28
00:01:41,600 --> 00:01:44,640
вы
that are invariant when you smush them when you
29
00:01:44,640 --> 00:01:48,560
плавно деформируете их немного прямо, как если бы у вас была
smoothly deform them a little bit right like if you have some
30
00:01:48,560 --> 00:01:53,200
глина, которой придали форму, вы можете говорить о количестве отверстий в
clay that is molded into a shape you can talk about the number of holes in the
31
00:01:53,200 --> 00:01:57,200
форме глины что у вас есть, а затем, если вы немного переместите глину, если
shape of clay that you have and then if you move around the clay a little bit if
32
00:01:57,200 --> 00:02:00,320
вы не разорвете ее, количество отверстий останется постоянным,
you don't rip it the number of holes will remain constant
33
00:02:00,320 --> 00:02:04,399
так что это топологический инвариант , оказывается, и здесь начинается самое интересное,
so that's a topological invariant it turns out and this is where the fun
34
00:02:04,399 --> 00:02:08,479
что как математик вы хотите сказать хорошо,
part comes that as a mathematician you want to say okay
35
00:02:08,479 --> 00:02:14,000
что мы подразумеваем под характеристикой свойств математического пространства
what do we mean by characterizing the qualities of a mathematical space
36
00:02:14,000 --> 00:02:17,120
, которые инвариантны относительно гладких деформаций,
that are invariant under smooth deformations
37
00:02:17,120 --> 00:02:21,520
хорошо, вы можете посчитать дыры, вы также можете сказать, хорошо, сколько раз я могу
well you can count the holes you can also say well how many times can i make
38
00:02:21,520 --> 00:02:26,000
сделать путь, который огибает дыры в этой конкретной системе,
a path that wraps around the holes in this particular system
39
00:02:26,000 --> 00:02:30,360
которые типы структур оказываются числами или
those kinds of structures turn out to be numbers or
40
00:02:30,360 --> 00:02:35,040
преобразованиями или другими вещами, которые мы можем складывать и умножать вместе,
transformations or other things that we can add together and multiply together
41
00:02:35,040 --> 00:02:39,280
и мы строим эти математические алгебраические структуры
and we build these mathematical algebraic structures
42
00:02:39,280 --> 00:02:42,800
, задавая вопрос, как мы топологически характеризуем
by asking the question how do we topologically characterize
43
00:02:42,800 --> 00:02:46,640
эти виды пространств, поэтому мы переходим от топологии
these kinds of spaces so we're led from topology
44
00:02:46,640 --> 00:02:50,400
к алгебре. и Эмили отвезет нас туда мы собираемся обсудить
into algebra and emily's going to take us there we're going to discuss
45
00:02:50,400 --> 00:02:55,680
такие вещи, как гомотопные группы, кольца, группоиды, все эти слова, которых
things like homotopic groups rings groupoids all these words that you're
46
00:02:55,680 --> 00:02:59,120
не должно быть. мы уже были знакомы с ними мы
not supposed to have necessarily been familiar with already we're going
47
00:02:59,120 --> 00:03:02,400
собираемся обсудить их и в конце мы подходим к тому, что называется
to discuss them and by the end we're getting into what is called
48
00:03:02,400 --> 00:03:05,360
теорией категорий теория категорий это то, чем занимаются
category theory category theory is something where
49
00:03:05,360 --> 00:03:09,200
даже другие математики о нет это слишком абстрактно для меня
even the other mathematicians go oh no that's too abstract for me
50
00:03:09,200 --> 00:03:14,080
теория категорий это что-то общее теория пространств и структур и карт
category theory is sort of a general theory of spaces and structures and maps
51
00:03:14,080 --> 00:03:17,120
между ними, она обеспечивает другой способ думать
between them it provides a different way of thinking
52
00:03:17,120 --> 00:03:20,640
о математике в целом, поэтому я твердо верю, что вы знаете, что
about mathematics as a whole so i'm a big believer that you know
53
00:03:20,640 --> 00:03:24,799
математика, как и физика, является частью общего интеллектуального
math just like physics is part of the general intellectual
54
00:03:24,799 --> 00:03:29,200
разговора, который мы должны вести, должна быть история. и экономика, и математика,
conversation we should be having there should be history and economics and math
55
00:03:29,200 --> 00:03:32,400
и физика, и было бы ошибкой исключать математику
and physics and it would be a mistake to exclude math
56
00:03:32,400 --> 00:03:36,560
из этого общего интеллектуального дискурса, и я думаю, что этот разговор является хорошим
from this overall intellectual discourse and i think this conversation is a good
57
00:03:36,560 --> 00:03:40,720
примером того, как мы можем это сделать, вы знаете, думая, как математик,
example of how we can do it you know thinking like a mathematician
58
00:03:40,720 --> 00:03:44,480
дает вам новые ручки в мире, точно так же, как думаю, как физик,
gives you new handles on the world just like thinking like a physicist does
59
00:03:44,480 --> 00:04:01,840
и поэтому я думаю, что это будет весело , пойдем,
and so i think it's going to be fun let's go
60
00:04:04,239 --> 00:04:07,519
Эмили, добро пожаловать на подкаст Mindscape, спасибо,
emily real welcome to the mindscape podcast thank you
61
00:04:07,519 --> 00:04:10,799
ты знаешь, я знаю, что как p физик как физик-теоретик, который думает
you know i know that as a physicist as a theoretical physicist who thinks about
62
00:04:10,799 --> 00:04:14,640
о Вселенной и множестве миров квантовой механики и т. д.
the universe and the many worlds of quantum mechanics and so forth
63
00:04:14,640 --> 00:04:17,919
Меня часто спрашивают, в чем смысл этого, знаете ли
i'm often asked like what is the point of this you know are you
64
00:04:17,919 --> 00:04:21,120
, вы делаете лучший сотовый телефон или у вас рак, например, почему ты
are you making a better cell phone or are you carrying cancer like why are you
65
00:04:21,120 --> 00:04:25,919
делаешь это, и у меня есть свои ответы, но как математик, который работает над
doing this and i have my own answers but as a mathematician who works on topology
66
00:04:25,919 --> 00:04:30,160
такими вещами категории топологии, ты также должен понять это, так что ты, что у тебя
category things like that you must also get this so you what what is your do you
67
00:04:30,160 --> 00:04:33,120
есть, у тебя есть любимый ответ на такой вопрос,
have a favorite answer to that kind of question
68
00:04:33,120 --> 00:04:37,120
конечно, я имею в виду мой мой папа любит спрашивать меня, каковы практические применения
sure i mean my my dad loves to ask me what the practical applications are
69
00:04:37,120 --> 00:04:40,400
математики, о которой я люблю думать, и я
about the math i love to think about and uh i
70
00:04:40,400 --> 00:04:43,120
думаю, он знает, что он как бы подкалывает меня, потому что
think he knows that he's kind of needling me because
71
00:04:43,120 --> 00:04:46,400
вы знаете, что это просто не главное для
you know that's just it's just not the point for
72
00:04:46,400 --> 00:04:49,759
всех математиков, я имею в виду, для некоторых, конечно, это вы знаете,
all mathematicians i mean for some of course it is you know there
73
00:04:49,759 --> 00:04:54,800
что математика может быть очень важным способом сделать мир
are very um important uses of mathematics to make the world a
74
00:04:54,800 --> 00:04:58,240
лучше, но я полагаю, что математика может сделать мир
better place but i guess a way that mathematics can make the world a better
75
00:04:58,240 --> 00:05:01,120
лучше, сделав его более интересным местом
place is by making it a more interesting place to
76
00:05:01,120 --> 00:05:05,520
для сознательного существа. и именно так я или это то, что вдохновляет меня стать
be a conscious being and that's how i or that's what inspires me to be a
77
00:05:05,520 --> 00:05:08,560
математиком, да, хорошо, нет, я думаю, я не собираюсь говорить,
mathematician yeah good no i think i i'm not gonna say
78
00:05:08,560 --> 00:05:10,080
что это правильный ответ, потому что, как вы говорите, у
that's the right answer because like you say
79
00:05:10,080 --> 00:05:13,520
разных людей разные ответы, но это аналогично моему ответу, когда
different people have different answers but that's analogous to my answer when
80
00:05:13,520 --> 00:05:15,840
люди спрашивают меня о поиске для бозона Хиггса и
people ask me about looking for the higgs boson and
81
00:05:15,840 --> 00:05:20,000
так много моих друзей-физиков скажут, что это может когда-нибудь вдохновить на
so many of my physics friends will say like well it might someday inspire
82
00:05:20,000 --> 00:05:24,000
создание чего-то нового технологического
a new technological something i'm like no no number one no it won't
83
00:05:24,000 --> 00:05:26,880
Делая это, мы хотим
and number two that's not why we're doing it we're doing it we want to find
84
00:05:26,880 --> 00:05:30,960
выяснить, что происходит, и если когда-нибудь появится приложение, которое
out what's going on and if there's a application someday that'll
85
00:05:30,960 --> 00:05:34,400
принесет пользу, другой предварительный вопрос, который
be a benefit the other preliminary question i wanted
86
00:05:34,400 --> 00:05:38,400
я хотел задать, пару недель назад у меня был выпуск подкаста
to ask i just had a podcast episode a couple of weeks ago about
87
00:05:38,400 --> 00:05:43,039
о философии математики, и вы знаете, что есть реализм против
the philosophy of mathematics and you know there's realism versus
88
00:05:43,039 --> 00:05:48,560
нереализма платонизм э против я не знаю антиплатонизм эээ
non-realism platonism uh versus i don't know anti-platonism uh
89
00:05:48,560 --> 00:05:51,520
мне сказали что большинство работающих математиков платоники они
i'm told that most working mathematicians are platonists they think
90
00:05:51,520 --> 00:05:55,199
считают то что изучают в некотором смысле реальным знаете
of what they study as in some sense real do you
91
00:05:55,199 --> 00:05:58,639
ли вы или вам небезразлично или есть мнение й на дебатах,
do you know or care or have a take on that debate
92
00:05:58,639 --> 00:06:03,840
я, конечно, не знаю об этом так много, как некоторые из ваших других гостей, но
uh i certainly don't know as much about it as some of your other guests but i
93
00:06:03,840 --> 00:06:09,280
я согласен с этим инстинктом, я имею в виду то, о чем я думаю, о чем
i agree with that instinct i mean the things that i think about and i
94
00:06:09,280 --> 00:06:12,319
мечтаю и о чем говорю с друзьями, кажется мне очень реальным
dream about and i talk about with my friends feel very real to me
95
00:06:12,319 --> 00:06:16,479
и вы знаете, я не ожидаю, что я споткнусь об одного из них по дороге в
and you know i don't expect that i'll kind of trip over one on my walk to
96
00:06:16,479 --> 00:06:20,560
кампус, но вы знаете, что они кажутся мне такими же реальными, как я
campus but you know they feel as real to me as i
97
00:06:20,560 --> 00:06:24,400
имею в виду, как и все остальное, я имею в виду, как я думаю, как я понимаю, что вы знаете
mean as anything else i mean like i guess as i understand it that you know
98
00:06:24,400 --> 00:06:27,440
в таблица, которая кажется прочной реальной вещью, на самом деле
at a table that seems like a solid real thing is not really
99
00:06:27,440 --> 00:06:32,080
тоже не реальна, так что да, да, я согласен с платонизмом,
real either so um so yes i yeah i subscribe to platonism
100
00:06:32,080 --> 00:06:36,080
ну, да, я имею в виду, что в математике определенно есть некоторая структура, верно, как мы все
um well yeah i mean there's certainly some structure to math right like we all
101
00:06:36,080 --> 00:06:38,960
согласны, учитывая аксиомы, куда мы идем, и так
agree given the axioms where we go and so
102
00:06:38,960 --> 00:06:42,240
далее, так что есть кое-что, у меня на самом деле нет твердого мнения,
forth uh so there's something there i i actually don't have a strong opinion one
103
00:06:42,240 --> 00:06:45,440
так или иначе, поэтому я опрашиваю людей в эти дни,
way or the other that's why i'm i'm quizzing people these days but
104
00:06:45,440 --> 00:06:48,800
но на самом деле я имею в виду, что есть философия математики,
though actually i mean there's a there's a philosophy of mathematics
105
00:06:48,800 --> 00:06:51,840
которая, может быть, немного ближе к сути взгляд на теорию категорий, который
that's maybe a little closer to the point of view of category theory which
106
00:06:51,840 --> 00:06:55,199
мы рассмотрим позже r, который называется структурализмом,
we'll get into later on which goes by the name of structuralism
107
00:06:55,199 --> 00:06:58,960
который, э-э, говорит, что, э-э, вы знаете, что
which uh says that um you know what a
108
00:06:58,960 --> 00:07:03,280
математический объект на самом деле определяется
mathematical object really is is determined by the
109
00:07:03,280 --> 00:07:08,800
ролью, которую он играет в математике,
role that it plays within mathematics so um
110
00:07:08,800 --> 00:07:13,360
так что, например, вы знаете, что вы могли бы спросить, какие натуральные числа
so for example uh you know you could ask what are the natural numbers
111
00:07:13,360 --> 00:07:20,720
вы знаете 0 1 2 три четыре пять и э-э, роль, которую
you know 0 1 2 three four five and uh a role that uh
112
00:07:20,720 --> 00:07:23,759
натуральные числа играют в математике, э-э,
the natural numbers play within mathematics um i could
113
00:07:23,759 --> 00:07:27,120
я мог бы дать им причудливое имя, я мог бы сказать, что они своего рода универсальная дискретная
i could give it a fancy name i could say they're the kind of universal discrete
114
00:07:27,120 --> 00:07:29,520
динамическая система, но, по сути, это означает
dynamical system but essentially what that means
115
00:07:29,520 --> 00:07:33,840
, э-э, вы знаете натуральные числа - это то, для чего вы можете рекурсивно определять
is uh you know natural numbers are something you can recursively define
116
00:07:33,840 --> 00:07:39,919
функции, если у вас есть, если вы пытаетесь определить, как вы знаете
functions on if you uh have if you're trying to define a you know
117
00:07:39,919 --> 00:07:44,080
, последовательность точек или последовательность действительных чисел,
sort of a sequence of points or a sequence of real numbers
118
00:07:44,080 --> 00:07:47,280
гм, какую стратегию вы знаете,
um what you strategy you know fibonacci
119
00:07:47,280 --> 00:07:51,120
последовательность Фибоначчи, например, известная последовательность один один два три пять восемь
sequence for instance is a famous sequence one one two three five eight
120
00:07:51,120 --> 00:07:55,120
тринадцать двадцать один тридцать четыре эээ относительные термины
thirteen twenty one thirty four uh the relative terms
121
00:07:55,120 --> 00:07:57,759
ээ сходятся к золотому сечению это эээ есть много забавных свойств в
uh converge to the golden ratio it's uh there's a lot of fun properties in
122
00:07:57,759 --> 00:08:00,639
фибоначчи но стратегия определения последовательности Суть
fibonacci but a strategy for defining a sequence
123
00:08:00,639 --> 00:08:04,800
в том, что вы определяете первый член в последовательности или, может быть, несколько первых членов,
is you define the first term in the sequence or maybe the first few terms
124
00:08:04,800 --> 00:08:10,800
а затем даете формулу или стратегию для получения следующего члена
and then you give a formula or a strategy for producing the next term in
125
00:08:10,800 --> 00:08:15,759
в последовательности из членов, которые у вас были ранее, и
the sequence from the terms you have previously and
126
00:08:15,759 --> 00:08:19,520
тот факт, что рекурсия возможна, говорит нам о чем-то. очень глубоко о
the fact that recursion is possible is telling us something very deep about the
127
00:08:19,520 --> 00:08:23,440
роли, которую натуральные числа играют в математике,
role that natural numbers play in mathematics
128
00:08:23,440 --> 00:08:26,960
и поэтому я думаю, что я придерживаюсь точки зрения, что натуральные числа
and so i guess i'm of the point of view of like that's what the natural numbers
129
00:08:26,960 --> 00:08:30,319
это что-то вроде того, что вы можете рекурсивно определять
are they're sort of the thing that you can recursively define
130
00:08:30,319 --> 00:08:34,880
функции на хм хм как довольно как что соответствует платонизму, мне не совсем
functions on um um how quite how that fits with platonism isn't entirely clear
131
00:08:34,880 --> 00:08:38,479
ясно, но да, я не знаю себя и у меня не было гостей некоторое время назад Джеймс
to me but yeah i don't know me neither i did have a guest a while ago james
132
00:08:38,479 --> 00:08:42,719
Ледимен, философ, который говорит то же самое о физике, он
ladyman who's a philosopher who says the same thing about physics he is a
133
00:08:42,719 --> 00:08:45,040
структурный реалист, он думает, что на самом деле
structural realist he thinks that what really
134
00:08:45,040 --> 00:08:47,839
дело в разных структурах, а не в объектах, которые мы
matters are the different structures not the objects that we
135
00:08:47,839 --> 00:08:51,120
приписываем этим структурам, связанным между собой, я не знаю,
uh attribute these structures to relating between i don't know
136
00:08:51,120 --> 00:08:54,640
здорово, похоже, он теоретик категорий, так что может быть
great it sounds like he's a category theorist so it could be
137
00:08:54,640 --> 00:08:58,080
, разве мы не все наши теоретики категорий? Мы движемся в этом направлении, так что мы доберемся
aren't we all our category theorists are moving in that direction so we will get
138
00:08:58,080 --> 00:09:01,760
до этого, но я думаю, что у вас была гм, когда мы
to there but i think that you had um as we were
139
00:09:01,760 --> 00:09:05,120
говорили о том, что обсудить здесь, я думаю, у вас была стратегия, которая имеет
talking about what to discuss here i think you had a strategy that makes
140
00:09:05,120 --> 00:09:09,440
смысл начинать с топологии, потому что топология - это то, о чем
perfect sense of starting with topology because topology is something
141
00:09:09,440 --> 00:09:11,760
все слышали правильно я имею в виду, почему бы и нет,
everyone has heard of right i mean why don't i
142
00:09:11,760 --> 00:09:14,480
вместо того, чтобы пытаться угадать, почему бы вам не сказать нам, что вы думаете, что
rather than trying to guess why don't you tell us what you think the
143
00:09:14,480 --> 00:09:16,640
определение топологии состоит в том, что мы все могли бы
definition of topology is that we could all
144
00:09:16,640 --> 00:09:21,120
получить в свои руки большое э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э топология- это
get our hands on great uh so um topology is the
145
00:09:21,120 --> 00:09:24,959
изучение пространств как э-э-э физических
study of spaces both um you know kind of physical
146
00:09:24,959 --> 00:09:28,560
геометрических пространств, в которых мы движемся в мире, а также
geometrical spaces that we move in in the world but also
147
00:09:28,560 --> 00:09:34,080
пространства, которые вы могли бы себе представить, которые, как вы знаете, имеют некоторое сходство с
spaces that you might imagine um that you know have some resemblance to you
148
00:09:34,080 --> 00:09:37,440
евклидовым пространством, три измерения, два измерения, одно измерение, но в
know euclidean space three dimensions two dimensions one dimension but
149
00:09:37,440 --> 00:09:44,720
каком-то смысле более экзотические, так что топологическое пространство могло бы
uh are somehow more exotic so um a topological space could be
150
00:09:44,720 --> 00:09:48,320
быть вы знаете, например, что точки на плоскости
um you know for instance the points on a plane
151
00:09:48,320 --> 00:09:52,720
- это пример топологического пространства, или вы можете представить себе точки, которые
is a as an example of a topological space or you can imagine the points that
152
00:09:52,720 --> 00:09:56,959
находятся на поверхности сферы, например, поверхность футбольного мяча,
are on the surface of a sphere so surface of a soccer ball
153
00:09:56,959 --> 00:10:00,399
поверхность земли или вы можете представить себе точки
surface of the earth or you can imagine the points that are
154
00:10:00,399 --> 00:10:04,800
на поверхности пончика, вы можете представить, что вы муравей, который
on the surface of a donut you can imagine that you're an ant that
155
00:10:04,800 --> 00:10:09,200
вроде как ходит вокруг пончика, и все различные
uh sort of walks around a donut and um all the different
156
00:10:09,200 --> 00:10:12,399
конфигурации, которые могут быть у муравья в этих точках в
configurations that ant could be in those describe points in a
157
00:10:12,399 --> 00:10:16,000
топологическом пространстве, а затем вы могу начать сравнивать, на что
topological space and then you can start to compare what those
158
00:10:16,000 --> 00:10:21,440
похожи эти миры, хм, топология - это сфера, которую нужно делать, я могу просто спросить очень
worlds are like um the topology is a realm to do that can i just ask very
159
00:10:21,440 --> 00:10:24,480
быстро, когда математики используют слово пространство,
quickly when mathematicians use the word space
160
00:10:24,480 --> 00:10:26,800
очевидно, это не просто означает трехмерное пространство,
obviously it doesn't simply mean the three-dimensional space
161
00:10:26,800 --> 00:10:29,040
в котором мы живем, в чем разница между пространство
in which we live what's the difference between space
162
00:10:29,040 --> 00:10:34,800
и установить правильно, так что, если бы я хотел формально определить топологическое
and set right uh so if i wanted to define a topological
163
00:10:34,800 --> 00:10:37,440
пространство в математике, я бы начал
space formally in mathematics i would start
164
00:10:37,440 --> 00:10:42,959
с набора точек, поэтому, если бы я хотел
with a set of points so uh so if i wanted to
165
00:10:42,959 --> 00:10:46,000
описать трехмерное евклидово пространство, я бы начал
describe three-dimensional euclidean space i would start
166
00:10:46,000 --> 00:10:50,399
с набора точек, которые определяются три реальных координаты
with the set of points which are determined by three real coordinates
167
00:10:50,399 --> 00:10:54,560
вроде расстояния по оси x расстояние по оси y расстояние
sort of a distance along the x-axis a distance along the y-axis a distance
168
00:10:54,560 --> 00:10:58,399
по оси z так что это набор точек, так что мы можем
along the z-axis so that's a a set of points so we can
169
00:10:58,399 --> 00:11:00,079
думать о них как о точках в трехмерном пространстве
think of them as the points in three-dimensional
170
00:11:00,079 --> 00:11:04,160
пространство, но тогда то, что превращает набор в топологическое пространство
space but then what turns a set into a topological space
171
00:11:04,160 --> 00:11:09,120
, также является способом понять расстояния между точками или, в более общем плане,
is also a way to understand distances between points or more generally
172
00:11:09,120 --> 00:11:10,959
понять, когда точки находятся рядом, а
understand when points are nearby and when
173
00:11:10,959 --> 00:11:15,920
когда точки далеко друг от друга, так что это может быть функция, которая говорит вам,
when points are far apart so so that could be a function that tells you how
174
00:11:15,920 --> 00:11:19,920
как вычислить расстояние между двумя точками это метрическое пространство, которое
to compute the distance between two points that's a metric space which
175
00:11:19,920 --> 00:11:22,480
является важным типом топологического пространства, или
is an important type of topological space or
176
00:11:22,480 --> 00:11:25,920
есть более абстрактный способ получить то же самое в отсутствие
there's a more abstract way to get at the same thing in the absence of a
177
00:11:25,920 --> 00:11:31,680
формулы для расстояний, хорошо, и поэтому линия — это
formula for distances okay and so a line is a space
178
00:11:31,680 --> 00:11:36,399
пространство круг — это пространство сфера так что для математиков сфера - это
a circle is a space a sphere so for mathematicians the sphere is just
179
00:11:36,399 --> 00:11:39,440
просто поверхность сферы, это не внутренняя часть, как вы сказали,
the surface of the sphere right it's not the interior like you said the
180
00:11:39,440 --> 00:11:42,880
двумерная сфера - это поверхность шара,
two-dimensional sphere is the surface of the of the ball
181
00:11:42,880 --> 00:11:46,560
а затем вы могли бы иметь 100- мерную сферу или что-то еще, так
um and then you could have like a 100 dimensional sphere or whatever so
182
00:11:46,560 --> 00:11:48,480
что есть много пространств, с которыми мы должны играть, у
there's a lot of spaces we have to play with
183
00:11:48,480 --> 00:11:52,480
вас могут быть ленты Мебиуса, так что это пространство, похожее на
you can have mobius bands so that's that's a space that's kind of like
184
00:11:52,480 --> 00:11:56,079
э-э, я имею в виду, что оно похоже на цилиндр, так что это похоже на
uh i mean it's kind of like a cylinder so it's like the
185
00:11:56,079 --> 00:12:02,079
трубку туалетной бумаги, но представьте, что вы разрезаете трубка от туалетной бумаги, которую вы знаете, довольно
toilet paper tube but imagine you cut the toilet paper tube you know sort of
186
00:12:02,079 --> 00:12:04,160
длинная от конца до конца, так что теперь у вас есть
long ways from end to end so now you have a
187
00:12:04,160 --> 00:12:09,519
просто плоская полоса, а затем вы скручиваете ее, а затем склеиваете вместе,
just a flat strip and then you twist it and then glue it back together
188
00:12:09,519 --> 00:12:16,720
так что это тоже пространство, очень похожее на цилиндр, но
so that is also a space it's quite similar to the cylinder but it's
189
00:12:16,720 --> 00:12:21,120
это... неориентируемое пространство, в ленте Мебиуса это сбивает с толку, находитесь
uh it's a non-orientable space it's confusing in a mobius strip
190
00:12:21,120 --> 00:12:24,800
ли вы внутри или снаружи, невозможно решить, что,
whether you're on the inside or the outside there's no way to decide that
191
00:12:24,800 --> 00:12:27,120
тогда как на трубке туалетной бумаги, которую вы знаете,
whereas on you know the toilet paper tube there's
192
00:12:27,120 --> 00:12:30,399
есть внешняя сторона, где туалетная бумага вращается, и есть внутренняя часть, которую вы
the outside where the toilet paper goes around and there's the inside which you
193
00:12:30,399 --> 00:12:33,519
как бы наденьте рулон или держатель, так что у вас
sort of put on the roll or the holder so do you
194
00:12:33,519 --> 00:12:35,519
есть одна из тех скульптур из бутылки Клейна, у
have one of those klein bottle sculptures
195
00:12:35,519 --> 00:12:40,079
меня есть скульптура из бутылки Клейна, у меня нет, но
i have a klein bottle sculpture i i don't but uh
196
00:12:40,079 --> 00:12:44,720
да, так что бутылка Клейна - это версия этого на одно измерение выше, и
right so a klein bottle is a one dimension higher version of this and
197
00:12:44,720 --> 00:12:48,000
что интересного в клейне бутылка это э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э-э, так это поверхность, это похоже на поверхность сферы, позвольте мне описать, как вы могли бы построить бутылку Клейна, чтобы вы могли начать с плоского листа бумаги, который вы бы склеили с двух сторон
what's interesting about the klein bottle is uh
198
00:12:48,000 --> 00:12:53,279
um well uh so it so it's a surface it's kind of like
199
00:12:53,279 --> 00:12:57,279
the surface of a sphere um let me describe how you would build
200
00:12:57,279 --> 00:13:01,680
a klein bottle so you um you can start with a flat sheet of paper
201
00:13:01,680 --> 00:13:05,760
bottle is uh um well uh so it so it's a surface it's kind of like the surface of a sphere um let me describe how you would build a klein bottle so you um you can start with a flat sheet of paper you would glue two sides of бумага вместе,
you would glue two sides of the paper together
202
00:13:05,760 --> 00:13:09,360
так что теперь вы формируете трубку из-под туалетной бумаги, а затем
so you're forming now a toilet paper tube and then
203
00:13:09,360 --> 00:13:14,160
, так что оттуда более простая конструкция, которая не является бутылкой Клейна,
uh so from there kind of a simpler construction that isn't the klein bottle
204
00:13:14,160 --> 00:13:18,000
вы можете просто как бы растянуть трубку из-под туалетной бумаги
is you could just sort of stretch the toilet paper tube
205
00:13:18,000 --> 00:13:20,160
и склеить концевые круги вместе, и если бы вы это
and glue the end circles together and if you
206
00:13:20,160 --> 00:13:23,600
сделали что вы получите поверхность в форме пончика,
did that you would get a surface of a donut shape
207
00:13:23,600 --> 00:13:27,120
так что это знакомо телец, мы можем использовать слово двери, все в порядке, хорошо, мы можем
so so that's familiar the taurus we can use the word doors it's okay okay we can
208
00:13:27,120 --> 00:13:30,560
использовать правильный факел, поэтому, если я хочу получить бутылку Клейна, это та
use the right torch so if i want to get a klein bottle it's the
209
00:13:30,560 --> 00:13:34,399
же идея, я собираюсь склеить два конца трубки от туалетной бумаги вместе
same idea i'm going to glue the two ends of the toilet paper tube together
210
00:13:34,399 --> 00:13:38,320
склеивают эти два круглых конца вместе, но я хочу
glue those two circular ends together but i want to twist
211
00:13:38,320 --> 00:13:43,040
скрутить один, поэтому, если я склеиваю, если я хожу,
the one so if i'm gluing if i'm walking around
212
00:13:43,040 --> 00:13:46,160
когда я склеиваю их вместе, я как бы застегиваю молнию
when i glue them together i'm sort of zipping up the
213
00:13:46,160 --> 00:13:49,120
против часовой стрелки. один из кругов и по часовой стрелке вокруг другого
going counterclockwise around one of the circles and clockwise around the other
214
00:13:49,120 --> 00:13:52,000
круга, но я хочу изменить ориентацию на одном из кругов, прежде чем
circle but i want to reverse the orientation on one of the circles before
215
00:13:52,000 --> 00:13:54,320
делать это сейчас, вы не можете сделать это в
doing this now you can't do this in
216
00:13:54,320 --> 00:13:57,440
трехмерном пространстве, поэтому, если бы мы были в четвертом
three-dimensional space so if if we were in a fourth
217
00:13:57,440 --> 00:14:01,279
измерении, вы действительно могли бы встроить бутылка Клейна на четыре- пространственное пространство
dimension you could actually embed a klein bottle into four-dimensional space
218
00:14:01,279 --> 00:14:05,760
и сделать эту конструкцию, но есть такие игрушки, которые вы
and do this construction but there are um there are these toys that you you
219
00:14:05,760 --> 00:14:07,360
должны просто все должны просто погуглить,
should just everyone should just google and
220
00:14:07,360 --> 00:14:12,000
и они эти жалкие стеклянные версии, и что забавно в этом, так это то, что есть
and they're these sorry glass versions and what's fun about it is there's
221
00:14:12,000 --> 00:14:17,760
некоторая двусмысленность между тем, что такое пространство внутри кляйна бутылка и то, что
some ambiguity between what uh space is inside of a klein bottle and what is
222
00:14:17,760 --> 00:14:21,120
снаружи, так что, если у вас есть телец, как стеклянный пончик, вы
outside so if you you have a taurus like a glass donut you
223
00:14:21,120 --> 00:14:25,120
можете как бы наполнить его желе, а желе находится внутри тельца, оно
could sort of fill it with jelly and the jelly is inside the taurus it's
224
00:14:25,120 --> 00:14:28,160
не снаружи, вы знаете, пока не откусите его, вы не получите желе везде,
not outside you know until you bite it you're not gonna get jelly everywhere
225
00:14:28,160 --> 00:14:32,000
но если у вас есть одна из этих бутылок Клейна, вы можете
but if you have one of these klein bottles you could try
226
00:14:32,000 --> 00:14:34,240
попробовать положить желе или, скажем, охлаждающую
and put you know jelly or let's say kool-aid
227
00:14:34,240 --> 00:14:37,760
жидкость в бутылку Клейна, и если вы не будете осторожны, если вы как бы
inside the klein bottle and if you're not careful if you sort of
228
00:14:37,760 --> 00:14:41,199
перевернете ее вверх дном и снова перевернете правой стороной вверх, она собирается залезьте на
flip it upside down and flip it right side up again it's going to get all over
229
00:14:41,199 --> 00:14:44,320
свой стол, потому что нет ничего внутри и снаружи,
your desk because there's no inside and outside
230
00:14:44,320 --> 00:14:48,399
хм, да, и это дело топологов, так что вас
um yeah and this is the stock and trade of topologists right so you
231
00:14:48,399 --> 00:14:51,760
не так сильно волнуют отдельные неровности и шевеления, как
don't care so much about the individual bumps and wiggles like
232
00:14:51,760 --> 00:14:56,240
геометрия заботится о топологии, она более свободна. osey и то, о чем он точно заботится
geometry cares about topology is more loosey-goosey and what it cares about
233
00:14:56,240 --> 00:14:59,600
, да, очень свободно, и так,
exactly yeah very loosey-goosey and so but the
234
00:14:59,600 --> 00:15:03,360
но другая вещь, которую нужно поставить на стол, я думаю, это то, что есть топологические
the other thing to get on the table i guess is that there are topological
235
00:15:03,360 --> 00:15:07,519
пространства, о которых мы заботимся, может быть, они вдохновлены реальными
spaces that we care about well maybe they're inspired by real
236
00:15:07,519 --> 00:15:10,160
физическими ситуациями, но вы можете подумать что
physical situations but you might think that well
237
00:15:10,160 --> 00:15:13,839
физическое пространство трехмерно, и у нас могут быть его подмножества,
physical space is three-dimensional and we can have subsets of that
238
00:15:13,839 --> 00:15:17,040
поэтому вы знаете, что есть некоторые топологические пространства, о которых нужно подумать, но их
therefore you know there's some topological spaces to think about but
239
00:15:17,040 --> 00:15:19,839
не так много, но, как вы указываете, существуют
not that many but as you point out like there are
240
00:15:19,839 --> 00:15:23,760
сложные ситуации, когда пространство всех возможных конфигураций
complicated situations where the space of all possible configurations of
241
00:15:23,760 --> 00:15:26,240
чего-то является интересное топологическое пространство,
something is an interesting topological space
242
00:15:26,240 --> 00:15:31,120
да, полностью, так что я имею в виду, что один из моих любимых источников примеров
yeah totally so i mean one of my uh favorite sources of examples of
243
00:15:31,120 --> 00:15:34,480
топологических пространств - это то, что называется конфигурационными пространствами,
topological spaces are something called configuration spaces
244
00:15:34,480 --> 00:15:37,839
и они появляются в робототехнике, они появляются в физике, где их можно
and these come up in robotics they come up in in physics where they might be
245
00:15:37,839 --> 00:15:41,360
назвать пространствами состояний, и именно так, как вы
called state spaces and uh exactly as you point
246
00:15:41,360 --> 00:15:43,680
указываете они могут получить очень большое измерение очень быстро, но
out these can get very high dimension very quick but
247
00:15:43,680 --> 00:15:47,680
позвольте мне упомянуть пример, который достаточно мал, чтобы мы могли мечтать об этом,
let me mention an example that's small enough that we can dream about it
248
00:15:47,680 --> 00:15:52,560
так что вы знаете, представьте себе у вас есть фабрика, и на полу фабрики есть что-то вроде
so you know imagine you have a factory and there's a sort of
249
00:15:52,560 --> 00:15:56,639
одномерной дорожки, так что,
one-dimensional track on the floor in the factory so there's a
250
00:15:56,639 --> 00:16:01,199
по сути, есть полоса, и вы знаете, может быть, это что-то
there's a strip essentially and you know maybe it's a kind of a
251
00:16:01,199 --> 00:16:04,880
вроде колеса или железнодорожной колеи, по которой вы можете двигаться вперед и назад по этой дорожке.
wheel or like a train track you can move forward and backwards along that track
252
00:16:04,880 --> 00:16:07,839
и у нас будет два робота, расположенных на дорожке, есть красный
and we're going to have two robots positioned on the track there's a red
253
00:16:07,839 --> 00:16:11,920
робот и синий робот, хм, так что
robot and a blue robot um so well
254
00:16:11,920 --> 00:16:15,360
давайте на самом деле начнем с одного робота, так что если вы хотите, если у вас есть один робот
let's actually start with one robot so if you wanted to if you had one robot on
255
00:16:15,360 --> 00:16:19,279
на дорожке , вы можете описать его позиции
a track then you can describe its positions
256
00:16:19,279 --> 00:16:22,639
хм вы знаете, используя только одно измерение,
um you know using just kind of a one one dimension it's
257
00:16:22,639 --> 00:16:25,440
это похоже на интервал, у вас может быть робот полностью на одном конце или
it's like an interval you can have the robot all the way at one end or all the
258
00:16:25,440 --> 00:16:28,399
полностью на другом конце, или в любом месте между ними он может двигаться непрерывно,
way at the other end or any place in between it can move continuously
259
00:16:28,399 --> 00:16:32,720
так что этот одномерный интервал описывает пространство
so this one dimensional interval is describing the space of configurations
260
00:16:32,720 --> 00:16:36,639
конфигураций этого робота, так что теперь давайте поместим двух роботов на
of that robot so now let's put two robots on the the
261
00:16:36,639 --> 00:16:40,800
дорожку, красного и синего, и теперь есть пространство, которое
track a red one and a blue one and now um there's a space that
262
00:16:40,800 --> 00:16:45,199
описывает конфигурации этих двух роботов, я имею в виду, что вы можете
describes the configurations of those two robots i mean you might
263
00:16:45,199 --> 00:16:47,279
подумать, что это одномерное пространство, потому что вы по-прежнему
think it's a one-dimensional space because you're still
264
00:16:47,279 --> 00:16:51,199
правы, роботы все еще находятся на этой одномерной дорожке, но на самом деле
right robots are still on this one-dimensional track but actually
265
00:16:51,199 --> 00:16:53,920
вы знаете, что должны использовать одну координату, чтобы отслеживать, где находится
you know you should use kind of one coordinate to keep track of where the
266
00:16:53,920 --> 00:16:57,040
красный робот, и другую координату, чтобы отслеживать,
red robot is and another coordinate to keep track of
267
00:16:57,040 --> 00:17:00,959
где находится синий робот, и так далее. это описывает пространство,
where the blue robot is and so that is describing the space
268
00:17:00,959 --> 00:17:04,000
которое формируется путем взятия произведения интервала с самим собой, другими словами,
that's formed by taking a product of an interval with itself in other words it's
269
00:17:04,000 --> 00:17:08,319
это квадрат, включающий внутреннюю часть, за исключением того, что два
a square including the interior except the two
270
00:17:08,319 --> 00:17:12,319
робота не могут быть в одном и том же месте, вы знаете, что если
robots can't be in the same spot you know one you know that if these
271
00:17:12,319 --> 00:17:15,280
это физические роботы, они могут не сталкиваются друг с другом, поэтому
are physical robots they can't collide into each other so
272
00:17:15,280 --> 00:17:18,240
вам нужно удалить диагональный сегмент из
you have to remove a diagonal segment from
273
00:17:18,240 --> 00:17:21,360
этого квадрата, и у вас останутся эти два
that square and what you're left is with these two
274
00:17:21,360 --> 00:17:26,079
треугольных компонента: нижний треугольник соответствует красному роботу,
triangular components the bottom triangle corresponds to the red robot
275
00:17:26,079 --> 00:17:29,520
находящемуся справа от синего робота, а верхний треугольник соответствует к
being on the right of the blue robot and the top triangle corresponds to the
276
00:17:29,520 --> 00:17:33,360
красному роботу, находящемуся слева от синего робота, и что
red robot being on the left of the blue robot and so what's
277
00:17:33,360 --> 00:17:36,160
интересно в пространстве, что мы уже можем видеть, визуализируя
interesting about the space what we can see already by visualizing the
278
00:17:36,160 --> 00:17:40,240
пространство конфигурации, которое представляет собой этот квадрат с диагональным удалени Вывод из этого
configuration space which is this square with a diagonal removed from it
279
00:17:40,240 --> 00:17:44,240
заключается в том, что он отключается после того, как вы поместите своих роботов на трассу,
is that it's disconnected once you've put your robots on the track
280
00:17:44,240 --> 00:17:47,280
вы не сможете поменять их ориентацию
you're not going to be able to swap their orientation
281
00:17:47,280 --> 00:17:51,120
по отношению друг к другу, это правильно, но
with respect to each other that's right but uh
282
00:17:51,120 --> 00:17:53,760
вы знаете, если вы проектируете фабрику, вы могли бы сказать ну, это немного
you know if you're designing the factory you might say well that's a little bit
283
00:17:53,760 --> 00:17:56,799
нежелательно, у меня нет такой гибкости и
undesirable i don't have as much flexibility and
284
00:17:56,799 --> 00:17:59,280
улучшений, возможно, в дизайне, в зависимости, конечно, от того, что вы
improvement perhaps in the design depending of course what you're trying
285
00:17:59,280 --> 00:18:02,160
пытаетесь сделать с этими роботами на этой трассе, вы можете сделать круговую дорожку вместо
to do with these robots on this track is you could make a circular track instead
286
00:18:02,160 --> 00:18:06,559
прямой дорожки. и если
of a you know straight track and if you a
287
00:18:06,559 --> 00:18:09,919
круг также является одномерным объектом, вы просто как бы двигаетесь вокруг него,
circle is also a one-dimensional object you just sort of move around it
288
00:18:09,919 --> 00:18:13,760
двигаясь по часовой стрелке, есть своего рода одно направление движения,
going clockwise there's kind of one direction of motion
289
00:18:13,760 --> 00:18:17,280
но если бы у вас были два робота на круговой дорожке,
but if you had two robots on a circular track then
290
00:18:17,280 --> 00:18:20,960
то как бы вы описали их конфигурационное пространство? возьмем,
what the way you describe their configuration space is you would take
291
00:18:20,960 --> 00:18:24,720
вы знаете, что каждый робот - это некоторая произвольная точка в круге, у нас есть два круга,
uh you know each robot is some arbitrary point in the circle we have two circles
292
00:18:24,720 --> 00:18:29,600
поэтому мы берем произведение этих двух кругов, и это забавно
though so we take the product of those two circles and this is fun to
293
00:18:29,600 --> 00:18:32,880
думать о том, что на самом деле произведение двух кругов соответствует
think about that actually the product of two circles corresponds
294
00:18:32,880 --> 00:18:38,000
к точкам на поверхности тора снова правильно, так что s1 пересекает s1
to the points on the surface of a torus again right so so s1 cross s1 the
295
00:18:38,000 --> 00:18:40,320
произведение двух окружностей - это точки на торе
product of two circles are the points on the torus
296
00:18:40,320 --> 00:18:43,600
снова роботы не могут быть в одной и той же точке, поэтому вам
again the robots can't be on the same point so you what you have to do is you
297
00:18:43,600 --> 00:18:46,640
нужно представить у вас есть поверхность тельца, вы построили его,
have to imagine you have the surface of a taurus you built it by
298
00:18:46,640 --> 00:18:50,960
склеив трубку от туалетной бумаги, теперь вы собираетесь сделать диагональный разрез,
gluing together your toilet paper tube now you're going to make a diagonal cut
299
00:18:50,960 --> 00:18:57,440
который, э-э, это разрез, который проходит как бы по обеим петлям и тору
that uh it's a cut that goes around sort of both loops and the torus
300
00:18:57,440 --> 00:19:00,720
один раз, так что вы на самом деле действительно сделали это вчера вечером дома,
once so you uh actually actually did this at home
301
00:19:00,720 --> 00:19:05,600
чтобы проверить это, и то, как моя трубка от туалетной бумаги была сделана
last night to to test it and the way my toilet paper tube was made
302
00:19:05,600 --> 00:19:08,880
именно там, так что было легко увидеть, что резка
exactly exactly there so it was easy to see that cutting
303
00:19:08,880 --> 00:19:12,799
похожа на диагональный разрез, который движется один раз в обоих направлениях,
sort of a diagonal cut that moves once around in both directions
304
00:19:12,799 --> 00:19:16,080
и если вы сделаете это, у вас останется связанная поверхность, и это
and if you do that you're left with a connected surface and that
305
00:19:16,080 --> 00:19:19,440
соответствует идее, что если у вас есть два робота на круговой дорожке,
corresponds to the idea that if you have two robots on a circular track
306
00:19:19,440 --> 00:19:23,520
они действительно могут посещать все конфигурации , больше нет левого и правого
they can really visit all configurations there's no sort of left and right
307
00:19:23,520 --> 00:19:27,200
, вы можете иметь их в любом положении,
anymore you can have them in any position um
308
00:19:27,200 --> 00:19:30,880
так что в любом случае это просто что-то вроде детские примеры о действительно богатой и
so anyway this is this is just sort of baby baby examples of a really rich and
309
00:19:30,880 --> 00:19:35,520
красивой теме, некоторые из самых сложных и важных
beautiful subject some of the most difficult and important
310
00:19:35,520 --> 00:19:39,120
решений, которые мы принимаем, связаны с выбором людей, будь то
decisions we make involve choosing people whether it's
311
00:19:39,120 --> 00:19:43,120
выбор консультанта по докторской диссертации, выбор предполагаемого супруга
choosing a phd thesis advisor or choosing a prospective spouse
312
00:19:43,120 --> 00:19:47,280
или выбор того, кого нанять в вашу компанию, я не могу помочь вам с первыми двумя но
or choosing who to hire for your company i can't help you with the first two but
313
00:19:47,280 --> 00:19:49,679
если вы хотите нанять людей, которых я могу порекомендовать,
if you're looking to hire people i can recommend
314
00:19:49,679 --> 00:19:52,960
действительно, это сайт вакансий, который упрощает найм,
indeed indeed is the job site that makes hiring
315
00:19:52,960 --> 00:19:56,480
вы можете разместить свое объявление, вы можете отбирать кандидатов и
easy you can post your ad you can screen candidates and
316
00:19:56,480 --> 00:20:00,640
брать у них интервью, действительно действительно дает вам такие инструменты, как действительно
interview them all on indeed indeed gives you tools like indeed
317
00:20:00,640 --> 00:20:04,000
мгновенное соответствие, предоставляя вам качественных кандидатов, чьи резюме сразу же
instant match giving you quality candidates whose resumes
318
00:20:04,000 --> 00:20:07,039
соответствует описанию вашей работы, и действительно
fits your job description immediately and indeed
319
00:20:07,039 --> 00:20:12,000
тесты навыков, которые в среднем сокращают время найма на 27 процентов,
skills tests that on average reduces hiring time by 27 percent
320
00:20:12,000 --> 00:20:15,120
вы можете выбрать из более чем 130 тестов навыков, а
you can choose from more than 130 skills tests
321
00:20:15,120 --> 00:20:19,039
затем добавить свои обязательные требования, чтобы вы платили только за те приложения,
then add your must have requirements so that you only pay for the applications
322
00:20:19,039 --> 00:20:23,520
которые им соответствуют, начните прямо сейчас с бесплатный кредит в размере 75 долларов, спонсируемый за работу,
that meet them get started right now with a free 75 dollar sponsored job
323
00:20:23,520 --> 00:20:27,440
для обновления вашего сообщения о вакансии на действительно.com
credit to upgrade your job post at indeed.com
324
00:20:27,440 --> 00:20:31,919
mindscape, это кредит в 75 долларов на
mindscape that's a 75 credit at indeed.com
325
00:20:31,919 --> 00:20:36,880
действительно. действительные до 30 июня положения и условия применяются
mindscape offer valid through june 30 terms and conditions apply
326
00:20:36,880 --> 00:20:40,400
правильно, потому что это хорошо, потому что то, о чем заботятся топологи, - это особенности,
right because it's good because what topologists care about are the features
327
00:20:40,400 --> 00:20:43,679
которые не меняются такими небольшими
that uh don't change by like small
328
00:20:43,679 --> 00:20:47,919
деформациями пространства, как тот факт, что пространство состоит из двух
deformations of the space so the fact that a space is in two
329
00:20:47,919 --> 00:20:50,640
несвязанных компонентов, как в исходном примере по
disconnected components like the original example
330
00:20:50,640 --> 00:20:53,919
сравнению с просто быть одним связанным компонентом, как во втором примере
versus just being one connected component like the second example that's
331
00:20:53,919 --> 00:20:57,120
, это то, что очень волнует топологов, поэтому,
the kind of thing that gets topologists very excited right so
332
00:20:57,120 --> 00:21:00,559
когда я говорю круговой трек, это может быть овальный трек, это может быть квадратный трек, это
when i say circular track it could be an oval track it could be a square track it
333
00:21:00,559 --> 00:21:04,320
может быть шестиугольный трек от тополога, вот и все то же
could be a hexagonal track from a topologist those are all the same
334
00:21:04,320 --> 00:21:07,760
самое известное, я уверен, что многие люди слышали, что для
the famous thing i bet many people have heard that to a topologist
335
00:21:07,760 --> 00:21:11,679
тополога кофейная чашка - это то же самое, что и пончик, потому что они оба тельцы,
a coffee cup is the same as a donut right because they're both tauruses
336
00:21:11,679 --> 00:21:16,080
верно, верно, я имею в виду, что это не мой любимый пример, потому что
right right i mean that's not that's not my favorite example because
337
00:21:16,080 --> 00:21:20,480
у топологов разные представления о когда вещи одинаковы, на что мы
uh so topologists have different notions of when things are the same that we're
338
00:21:20,480 --> 00:21:24,799
ссылаемся, и одно из понятий одинаковости - это,
alluding to and um one of the notions of sameness is
339
00:21:24,799 --> 00:21:29,600
если два пространства являются тем, что называется гомеоморфным,
uh if two spaces are what's called homeomorphic
340
00:21:29,600 --> 00:21:33,520
а что гомеоморфным означает, что
and what homeomorphic means is that there is a
341
00:21:33,520 --> 00:21:37,039
между точками и пространством существует
sort of one-to-one correspondence between the points and the space there's
342
00:21:37,039 --> 00:21:39,679
своего рода взаимно-однозначное соответствие, как вы знаете, существуют две обратимые
a way right you know there are two invertible
343
00:21:39,679 --> 00:21:42,720
функции, обратимые непрерывные функции, которые отображают все точки одного
functions invertible continuous functions that map all the points on one
344
00:21:42,720 --> 00:21:44,960
пространства в другое, а другое в другое. один,
space to the other and the other to the one
345
00:21:44,960 --> 00:21:49,760
и поэтому, если у вас есть твердый телец, построенный из глины,
and so if you have a solid taurus now built out of clay
346
00:21:49,760 --> 00:21:53,760
и у вас есть твердая кофейная чашка, вы можете определить один из этих
and you have a solid coffee cup you can define one of these
347
00:21:53,760 --> 00:21:57,600
гомеоморфизмов, своего рода однозначное соответствие между
homeomorphisms this sort of one-to-one correspondence between the
348
00:21:57,600 --> 00:22:00,720
точками и тором и точками в
points and the torus and the points in the
349
00:22:00,720 --> 00:22:06,559
кружке которые непрерывны, так что вы не разрываете поверхности на части или не
um mug that are uh continuous so that you're not tearing the surfaces apart or
350
00:22:06,559 --> 00:22:09,840
добавляете новые отверстия там, где раньше не было таких вещей,
adding new holes where there weren't holes before that sort of thing
351
00:22:09,840 --> 00:22:16,240
так что я имею в виду, что топологи, э-э, считают, э-э, Тельца в кофейной
um so i mean it's true that topologists uh consider uh taurus in a coffee mug to
352
00:22:16,240 --> 00:22:18,480
кружке одинаковыми, но но по какой-то очень
be the same but but for a like really kind of
353
00:22:18,480 --> 00:22:22,559
очевидной причине они настолько очевидно одинаковы, но есть еще
obvious reason they're just so so evidently the same but but um there's
354
00:22:22,559 --> 00:22:26,000
одно понятие одинаковости, более слабое понятие одинаковости, которое также встречается в
another notion of sameness a weaker notion of sameness that also comes up in
355
00:22:26,000 --> 00:22:30,480
топологии, которое называется гомотопической эквивалентностью, и ее Это
topology which is called homotope equivalence and uh here are the
356
00:22:30,480 --> 00:22:33,679
идеи, что два пространства гомотопно эквивалентны, если вы можете непрерывно
ideas two spaces are homotopic equivalent if you can continuously
357
00:22:33,679 --> 00:22:37,520
деформировать одно в другое, ладно, и поэтому позвольте мне привести
deform one to another okay and so let me give
358
00:22:37,520 --> 00:22:40,960
вам несколько примеров, так что все евклидово пространство, которое вы знаете,
you some examples so all of euclidean space you know
359
00:22:40,960 --> 00:22:45,360
трехмерное евклидово пространство гомотопно эквивалентно одной точке,
three-dimensional euclidean space is homotopic equivalent to a single point
360
00:22:45,360 --> 00:22:48,720
так что вы можете себе представить, что я подумайте об этой гомотопической эквивалентности как о
so you could imagine i think of this homotopia equivalence as like the
361
00:22:48,720 --> 00:22:52,000
обратном большом взрыве, так что вы представляете трехмерное
reverse big bang so you imagine three-dimensional
362
00:22:52,000 --> 00:22:56,080
евклидово пространство, которое вы знаете, поэтому вы должны представить, что у нас есть точка происхождения,
euclidean space you know so you have let's imagine we have the origin point
363
00:22:56,080 --> 00:22:59,280
поэтому центр вселенной, а затем все другие точки во вселенной я
so the center of the universe and then all the other points in the universe i i
364
00:22:59,280 --> 00:23:01,600
понимаю вселенную вероятно, не трехмерный, но просто
realize the universe is probably not three-dimensional but like just
365
00:23:01,600 --> 00:23:04,080
смущает, и у него нет центра, но это нормально, мы собираемся,
embarrassing also it doesn't have a center but that's okay we're gonna
366
00:23:04,080 --> 00:23:06,640
вы на самом деле и оранжевый центр, но давайте представим, что есть
you're a matter of fact and orange center but let's pretend there's a
367
00:23:06,640 --> 00:23:08,720
центр, вселенная, а вселенная трехмерна
center the universe and the universe is three-dimensional
368
00:23:08,720 --> 00:23:11,840
Итак, в обратном Большом взрыве я собираюсь непрерывно
so in the reverse big bang what i'm going to do is i'm going to continuously
369
00:23:11,840 --> 00:23:14,240
перемещать все точки во вселенной обратно по
move all the points in the universe back in a
370
00:23:14,240 --> 00:23:18,080
прямой линии к центру вселенной к начала, и
straight line to the center of the universe to the origin and
371
00:23:18,080 --> 00:23:20,799
они будут двигаться быстрее и медленнее в зависимости от того, как
they'll move kind of faster and slower depending on how far
372
00:23:20,799 --> 00:23:24,720
далеко они находятся, поэтому в нулевое время каждая точка находится там, где она есть, а затем в момент
away they are so at time zero every point is where it is and then at time
373
00:23:24,720 --> 00:23:28,000
один они все врезаются в центр
one they've all crashed home into the the center of the
374
00:23:28,000 --> 00:23:31,039
вселенной, так что это описывая непрерывную
universe so that that is uh describing a continuous
375
00:23:31,039 --> 00:23:33,919
деформацию, которая показывает, что трехмерное евклидово пространство
deformation that reveals that three-dimensional euclidean space and
376
00:23:33,919 --> 00:23:38,880
и точка являются одним и тем же,
the point are the same um so
377
00:23:38,880 --> 00:23:42,320
так что вот пример, своего рода повседневный пример гомотопической эквивалентности, который
so here's an example a sort of everyday example of a homotopic equivalence that
378
00:23:42,320 --> 00:23:46,000
кажется более забавным, позвольте мне просто вмешаться
feels more fun let me let me just butt in
379
00:23:46,000 --> 00:23:49,120
, потому что так просто проясните, причина,
there because so just to get it clear the the reason
380
00:23:49,120 --> 00:23:52,240
почему это интересный пример, заключается в том, что точка и
why this is an interesting example is because the point and
381
00:23:52,240 --> 00:23:56,159
трехмерное пространство гомотопически эквивалентны, они могут быть
three-dimensional space are homotopy equivalent they can be
382
00:23:56,159 --> 00:23:58,799
продолжены, одно может непрерывно деформироваться в другое,
continued one can be continuously deformed to the other
383
00:23:58,799 --> 00:24:02,720
но они не гомеоморфны, потому что не существует равного числа
but they're not homeomorphic because there's not sort of an equal number of
384
00:24:02,720 --> 00:24:06,240
точек в них, да, в трехмерном пространстве бесконечно много точек,
points in them yeah right there's uncountably infinitely many points in
385
00:24:06,240 --> 00:24:08,880
но есть одна точка в одноточечном пространстве, и
three-dimensional space but there's one point in one point space and
386
00:24:08,880 --> 00:24:12,799
да, так что это круче, но более разрушительно я имею в виду, что размеры
yeah so this is a cooler way more destructive notion i mean dimensions
387
00:24:12,799 --> 00:24:14,799
совершенно не имеют значения, вы знаете, что все
totally don't matter anymore you know all
388
00:24:14,799 --> 00:24:18,480
n-мерное евклидово пространство также гомотопно эквивалентно точке,
n-dimensional euclidean space is also homotopic equivalent to a point
389
00:24:18,480 --> 00:24:22,000
да, так что пример из повседневной жизни, который вроде как это
yeah um so an example an everyday example that is kind of like that
390
00:24:22,000 --> 00:24:25,600
, для тополога пара штанов и стринги
is uh to a topologist a pair of pants and a thong
391
00:24:25,600 --> 00:24:30,000
- это одно и то же, вы можете представить себе гомотопическую эквивалентность, которая,
are the same you can imagine a homotopic equivalence that sort of
392
00:24:30,000 --> 00:24:35,760
э-э, вы знаете, сжимается как бы по вертикали, я думаю, вы знаете, и просто оставляет
uh you know shrinks sort of vertically i guess you know and just leaves the
393
00:24:35,760 --> 00:24:39,919
стринги из пары штанов , так что дело в том, что
thong from the pair of pants so and this is the so the point is that
394
00:24:39,919 --> 00:24:44,240
есть разные способы выражения идея одинаковости зависит от
there are different ways of expressing the idea of sameness depending on your
395
00:24:44,240 --> 00:24:46,960
вашего уровня сосредоточенности на том, что вас волнует,
sort of level of focus on what you care about
396
00:24:46,960 --> 00:24:50,799
да, полностью, и это очень распространено в математике,
yeah totally totally and this is a this is very pervasive in mathematics
397
00:24:50,799 --> 00:24:54,480
вы знаете, математики, э-э, любят пытаться понять смысл, в котором
uh you know mathematicians uh love trying to understand the sense in which
398
00:24:54,480 --> 00:24:56,559
вещи одинаковы, и это часто довольно свободный
things are the same and it's often a pretty loose
399
00:24:56,559 --> 00:25:01,279
смысл, да, так что у меня была очень-очень короткая карьера тополога-хакера, когда
sense yeah so i had a very very brief career in fact as a hack topologist when
400
00:25:01,279 --> 00:25:06,320
я учился в аспирантуре, и мне нужно было вычислить гомотопию различных вещей,
i was in graduate school and i needed to calculate the homotopy of various things
401
00:25:06,320 --> 00:25:09,440
которые появляются в частице ph ysics, потому что у нас есть эти вещи, называемые топологическими
that appear in particle physics because we have these things called topological
402
00:25:09,440 --> 00:25:11,840
дефектами, которые очень важны с
defects right which are very important from the
403
00:25:11,840 --> 00:25:15,520
ранней Вселенной, ни одна из вещей, которые я вычислил, не оказывается относящейся
early universe none of the things i calculated turn it out to be relevant to
404
00:25:15,520 --> 00:25:19,120
к реальному миру, но вы знаете, что это риск, на который мы идем, когда делаем
the real world but you know that's that's the risk that we take when we do
405
00:25:19,120 --> 00:25:24,799
эти вещи, но это приводит нас к тому, что вы знаете, до сих пор это было забавно, гомотопия,
these things but it gets us into you know so far it's been fun homotopy
406
00:25:24,799 --> 00:25:27,679
вы знаете, плавно превращать вещи друг в друга, но теперь мы хотим быть
you know smoothly deforming things into each other but now we want to be a
407
00:25:27,679 --> 00:25:32,080
немного более строгими в этом, мы хотим охарактеризовать, мы хотим
little bit more rigorous about it we want to characterize uh we want to
408
00:25:32,080 --> 00:25:35,520
использовать это понятие, э-э, плавно деформируя одну вещь в
use this notion of uh smoothly deforming one thing into
409
00:25:35,520 --> 00:25:38,000
другое, чтобы охарактеризовать топологию различных
another to characterize the topology of different
410
00:25:38,000 --> 00:25:42,000
пространств, верно, я имею в виду, что в некотором смысле наша работа состоит в том, чтобы как бы
spaces right i mean is in some sense our job to sort of
411
00:25:42,000 --> 00:25:48,000
охарактеризовать все топологические пространства, да, именно, и путь к классической
characterize all topological spaces yeah exactly and a way to a classical
412
00:25:48,000 --> 00:25:51,760
проблеме, которая является хорошим способом визуализировать это, вы можете спросить, сколько различных
problem which is a good way to visualize this is you can ask how many different
413
00:25:51,760 --> 00:25:55,760
поверхностей Вы знаете, что-то вроде этого, да,
surfaces are there you know sort of in this yeah
414
00:25:55,760 --> 00:26:01,200
в очень гибком смысле, так что не обязательно просто, например,
sort of very flexible sense so not necessarily just uh so for instance is
415
00:26:01,200 --> 00:26:04,880
мы описали несколько разных поверхностей, вот
uh we've described a few different surfaces there's the
416
00:26:04,880 --> 00:26:08,880
так. На поверхности сферы есть э-э-э поверхность тора, у
sort of surface of a sphere there's a uh surface of a torus
417
00:26:08,880 --> 00:26:13,120
вас может быть много держателей, телец был в форме пончика, вы можете представить, что у вас
um you can have many hold the taurus was the donut shape you can imagine having
418
00:26:13,120 --> 00:26:16,159
много пончиков, или как вы знаете, что выпекаете поднос с пончиками,
many hold doughnuts or like you know you're baking a tray of donuts
419
00:26:16,159 --> 00:26:18,480
но вы положили их слишком близко друг к другу, и поэтому
but you've put them too close to each other and so
420
00:26:18,480 --> 00:26:21,600
они все как бы застыли, и есть один пончик с тремя
they've all kind of congealed and there's you know one donut with three
421
00:26:21,600 --> 00:26:26,320
дырками, вы знаете, что это другая поверхность, и есть вопрос о классификации,
holes in it you know that's another surface and uh there's a classification
422
00:26:26,320 --> 00:26:31,760
вы знаете, как мы можем сказать, что эти пространства действительно разные,
question you know how can we tell that these spaces are really different
423
00:26:31,760 --> 00:26:35,840
я имею в виду они кажутся разными, возможно, может быть, я выдаю да, теперь это моя
i mean they seem different perhaps maybe i'm giving away yeah now they're my
424
00:26:35,840 --> 00:26:38,960
интуиция, но они кажутся разными, вы знаете как, но как мы докажем, что
intuition but they seem different you know how but how do we prove that
425
00:26:38,960 --> 00:26:41,760
они разные, потому что мы видели, что эти совершенно разные
they're different because we've seen that these wildly different spaces
426
00:26:41,760 --> 00:26:49,200
пространства в некотором смысле одинаковы. да, итак, как нам сделать это правильно, так
are in some sense the same yeah so so how do we do that right so
427
00:26:49,200 --> 00:26:53,600
что да, итак, идея в том, что я имею в виду, что это сложный вопрос, на который сложно ответить
yeah so so the idea is i mean this this is a hard question to answer
428
00:26:53,600 --> 00:26:56,799
геометрически, потому что только потому, что вы не можете представить себе
geometrically because um just because you can't imagine a
429
00:26:56,799 --> 00:27:00,559
непрерывную деформацию одного пространства в другое, не означает, что это не существует
continuous deformation of one space to the other doesn't mean it doesn't exist
430
00:27:00,559 --> 00:27:07,679
так Стратегия состоит в том, чтобы каким-то образом привнести алгебру в историю и
so a strategy is to bring algebra into the story somehow and
431
00:27:07,679 --> 00:27:13,200
дать возможность присвоить число или какую-то другую алгебраическую
give a way to assign a number or uh some other kind of algebraic
432
00:27:13,200 --> 00:27:17,760
структуру топологическому пространству, и
structure to a topological space and uh
433
00:27:17,760 --> 00:27:22,480
таким образом, чтобы дать тот же ответ, если бы пространства были гомотопно
if in a way that would give the same answer if the spaces were homotopic
434
00:27:22,480 --> 00:27:26,640
эквивалентны, так что так что группы гомологий или гомотопические
equivalent so uh so the homology groups or homotopy
435
00:27:26,640 --> 00:27:30,480
группы, которые, э-э, есть различные
groups that uh there are various different uh
436
00:27:30,480 --> 00:27:33,679
конструкции, которые вы можете построить, и легко доказать, что если
constructions you can do and it's it's easy to prove that if the spaces
437
00:27:33,679 --> 00:27:36,559
пространства непрерывно деформируемы друг в друга,
have continuously deformable into each other
438
00:27:36,559 --> 00:27:39,840
они будут давать одинаковую инвариантность, и поэтому, если вы получите разные
they'll produce the same invariance and so if you happen to get different
439
00:27:39,840 --> 00:27:41,760
инварианты тогда вы знаете, что они были разными,
invariants then you know that they were different
440
00:27:41,760 --> 00:27:46,559
так что на самом деле позвольте мне продолжить, хорошо, я собирался, я могу привести
right so actually let me go ahead well i was gonna i can give an example
441
00:27:46,559 --> 00:27:51,600
пример этого, да, именно так, так что я собираюсь попытаться
of this yes exactly do that so um what i'm going to try and argue
442
00:27:51,600 --> 00:27:54,480
доказать вам , что поверхность сферы так
for you is that the surface of a sphere so the
443
00:27:54,480 --> 00:27:58,480
поверхность футбольного мяча - это другое пространство, чем
surface of a soccer ball is a different space than the surface of
444
00:27:58,480 --> 00:28:02,799
поверхность пончика, поэтому телец и сфера - это разные топологические пространства,
a donut so a taurus and a sphere are different topological spaces
445
00:28:02,799 --> 00:28:06,399
и просто чтобы убедиться, что мы снова воображаем эти пространства, вы знаете, представьте
and just to make sure we're imagining these spaces again you know imagine
446
00:28:06,399 --> 00:28:09,520
ты муравей, идущий по поверхности
you're an ant walking around the surface of a
447
00:28:09,520 --> 00:28:12,159
сферы , это одно пространство, муравей может быть в разных положениях,
sphere that's one space the different positions
448
00:28:12,159 --> 00:28:14,799
или ты можешь представить себе муравья, идущего
the ant could be or you can imagine an ant walking around
449
00:28:14,799 --> 00:28:17,840
по поверхности пончика, ни в том, ни в другом случае
the surface of a doughnut not the interior in either case just the same
450
00:28:17,840 --> 00:28:19,840
не внутри, ни в том, ни в другом случае не внутри правильно
not the interior in either case right the ant
451
00:28:19,840 --> 00:28:24,480
муравей муравей не может съесть пончик или съесть это как бы застрял на поверхности хм,
the ant can't eat the donut or eat this is sort of stuck on the surface um
452
00:28:24,480 --> 00:28:27,840
и он не может спрыгнуть ни это вы знаете хорошо
and it can't like jump off either it's you know okay
453
00:28:27,840 --> 00:28:33,279
так хм правильно так что инвариант, который я собираюсь использовать, чтобы
so um right so uh the invariant that i'm gonna use to
454
00:28:33,279 --> 00:28:36,320
доказать что они разные, это то, что называется фундаментальной группой,
prove that these are different is something called the fundamental group
455
00:28:36,320 --> 00:28:42,159
которая является э-э, это и то, что она считает по существу, поэтому в
that is uh it's a and what it's counting essentially so in
456
00:28:42,159 --> 00:28:44,080
каждом из них для удобства я собираюсь
each it's for convenience i'm going to pick
457
00:28:44,080 --> 00:28:48,720
выбрать точку в каждом из этих пространств, эти пространства связаны, поэтому выбор
a point on each of these spaces these spaces are connected so picking a point
458
00:28:48,720 --> 00:28:51,200
точки не является большое дело, так что выбирайте тот, который вы
is not a big deal so pick whichever one you
459
00:28:51,200 --> 00:28:56,799
хотите, мы возьмем северный полюс на сфере и любую точку вообще на торе,
want we'll take the north pole on the sphere and any point at all on the torus
460
00:28:56,799 --> 00:29:00,480
и фундаментальная группа собирается вычислить количество
and what the fundamental group is going to calculate is the number of
461
00:29:00,480 --> 00:29:04,399
принципиально разных путей, которыми муравей может выйти из этого дома.
essentially different ways that the ant can walk from this home
462
00:29:04,399 --> 00:29:08,320
основание точка ходит по поверхности и возвращается
base point walk around on the surface and come back
463
00:29:08,320 --> 00:29:12,799
к исходной базовой точке прямо в этой тонкости, как я уже сказал,
to the home base point right the the subtlety there as i said
464
00:29:12,799 --> 00:29:16,320
количество существенно разных способов, поэтому я имею в виду, что существует неисчислимо
the number of essentially different ways so i mean there are uncountably
465
00:29:16,320 --> 00:29:19,279
бесконечно много способов, которыми муравей может ходить по этим поверхностям, но что я
infinitely many ways an ant can walk around these surfaces but what i'm
466
00:29:19,279 --> 00:29:21,919
спрашиваю являются ли они существенно разными, и поэтому
asking are are they essentially different and so
467
00:29:21,919 --> 00:29:25,120
давайте пока отложим в сторону пример со сферой , давайте начнем с размышлений
let's set aside the sphere example for now let's let's start by thinking about
468
00:29:25,120 --> 00:29:28,880
о поверхности пончика, ладно, пример двух способов,
the surface of the donut okay so an example of uh two ways that
469
00:29:28,880 --> 00:29:32,080
которые существенно различаются, это то, что мы можем представить, что начинаем с нашей домашней
are essentially different is we can imagine starting at our home
470
00:29:32,080 --> 00:29:35,919
базовой точки и идем скажем, в
base point and walking let's say in a
471
00:29:35,919 --> 00:29:40,720
направлении против часовой стрелки вокруг петли, которая проходит через
counterclockwise direction around the loop that goes through the
472
00:29:40,720 --> 00:29:44,480
своего рода отверстие для пончика, если вы поместите отверстие для пончика внутри пончика,
sort of donut hole if you put a donut hole inside the donut that's
473
00:29:44,480 --> 00:29:48,399
вы можете представить, как идете, это было своего рода вертикальным короткий путь вокруг в
you can imagine walking it's sort of been a vertical the short way around
474
00:29:48,399 --> 00:29:52,840
основном короткий короткий путь вокруг отлично так что это один из способов, которым муравей мог бы
basically the short the short way around great um so that's one way the ant could
475
00:29:52,840 --> 00:29:59,120
ходить или муравей мог бы ходить, скажем,
walk or the ant could walk let's say
476
00:29:59,120 --> 00:30:03,279
прослеживая ту же траекторию, но двигаясь в обратном направлении,
tracing the same trajectory but going in reverse orientation
477
00:30:03,279 --> 00:30:08,960
двигаясь назад, а не вперед так что те, э-э, фундаментально
going backwards rather than forwards so those uh those are fundamentally
478
00:30:08,960 --> 00:30:12,880
разные, и что я имею в виду под фундаментальным отличием, так это то, что нет способа
different and what i mean by fundamental different is there's no way to
479
00:30:12,880 --> 00:30:16,640
непрерывно деформировать первую траекторию во вторую
continuously deform the first trajectory into the second
480
00:30:16,640 --> 00:30:20,320
траекторию , оставаясь на поверхности
trajectory while staying on the surface of the
481
00:30:20,320 --> 00:30:24,640
пончика, если бы я мог как бы разрезать тесто, ну, вы знаете, где
donut if i could sort of slice through um you know where the
482
00:30:24,640 --> 00:30:29,279
тесто Немного пончика в том , что я мог бы сделать то, что я мог бы как бы прорезать часть,
dough bit of the donut is i could do that i could sort of cut
483
00:30:29,279 --> 00:30:32,960
которая не на поверхности, но это не разрешено, так что,
cut through the bit that's not on the surface but that's not allowed so
484
00:30:32,960 --> 00:30:36,240
эмм, ходить по поверхности, как только муравей решает, что он движется по часовой стрелке,
um walking in the surface once the ant decides it's going clockwise
485
00:30:36,240 --> 00:30:41,200
а не против часовой стрелки, это хм, это разные варианты, которые муравей
rather than counterclockwise it's um those are different choices that the ant
486
00:30:41,200 --> 00:30:45,600
может сделать, на самом деле они гомотопически неэквивалентны,
can make in fact they're they're homotopically inequivalent right
487
00:30:45,600 --> 00:30:48,640
так что, потому что вы не можете исправить, это постоянно деформирует одно
so because you cannot right that's continuously deformed one
488
00:30:48,640 --> 00:30:52,320
в другое, и есть то, что круто, так это то, что вы можете
into another right and there are what's what's cool is uh you can
489
00:30:52,320 --> 00:30:54,320
фактически перечислить все различные варианты,
actually enumerate all of the different choices
490
00:30:54,320 --> 00:30:57,519
так что другая другая траектория муравья может пройти долгий путь,
so another different trajectory the ant could take is it could walk the long way
491
00:30:57,519 --> 00:31:01,279
так что, скажем, оставаться на вершине и двигаться по часовой стрелке или
around so let's say staying on the top and going clockwise or going
492
00:31:01,279 --> 00:31:04,240
против часовой стрелки, или это может быть n сделайте какую- то комбинацию комментариев,
counterclockwise or it can do some sort of comment
493
00:31:04,240 --> 00:31:07,919
где она зацикливается, вы знаете, какое количество раз проходит через центральный
combination where it loops you know some number of times through the center
494
00:31:07,919 --> 00:31:12,799
круг, а также проходит длинный путь вокруг,
circle while also traversing the long way around
495
00:31:12,799 --> 00:31:17,279
и есть способ перечислить все эти
and there's a way to enumerate all of these
496
00:31:17,279 --> 00:31:20,720
существенно разные траектории, что вам нужно, это два разных целых числа, по
essentially different trajectories what you need are two different integers
497
00:31:20,720 --> 00:31:23,279
сути, одно целое число, которое описывающее,
essentially one integer that's describing
498
00:31:23,279 --> 00:31:27,200
сколько раз вы проходите по часовой стрелке или против часовой
the number of times you go in a clockwise or counterclockwise
499
00:31:27,200 --> 00:31:31,679
стрелки вокруг короткого цикла, а затем другое целое число описывает
direction around the short loop and then another integer is describing the number
500
00:31:31,679 --> 00:31:34,240
количество способов пройти против часовой стрелки или по часовой стрелке в зависимости
of ways to go counterclockwise or clockwise depending
501
00:31:34,240 --> 00:31:36,880
от того, положительное или отрицательное оно вокруг длинного
on whether it's positive or negative around the long
502
00:31:36,880 --> 00:31:41,120
цикла, и вы можете доказать, что это пара целых чисел
loop and you can prove that uh this pair of integers
503
00:31:41,120 --> 00:31:44,480
перечисляет все возможные траектории,
enumerates all possible trajectories right
504
00:31:44,480 --> 00:31:50,640
так что на нашей сфере это на самом деле
right so on a on us the sphere um it's actually quite a
505
00:31:50,640 --> 00:31:53,120
намного проще, поэтому, если у вас есть, вы можете представить
lot simpler so if you have you can imagine
506
00:31:53,120 --> 00:31:55,760
любой путь, который муравей может пройти по
any path the ant might take on the surface
507
00:31:55,760 --> 00:31:57,760
поверхности сферы от северного полюса до северного полюса
of a sphere from the north pole to the north pole
508
00:31:57,760 --> 00:32:02,480
блуждать в любом направлении, и
kind of wandering around any which way and um
509
00:32:02,480 --> 00:32:06,960
вы могли бы как бы сжимать эту траекторию непрерывным образом,
you could kind of shrink that trajectory in a continuous way
510
00:32:06,960 --> 00:32:11,679
так что из-за того, что он становится все меньше и меньше и меньше, поэтому, если
um sort of so that it gets smaller and smaller and smaller so if
511
00:32:11,679 --> 00:32:15,039
он на самом деле проходит весь путь до южного полюса, может быть, он немного сжимается, так что он
it in fact goes all the way to the south pole maybe it shrinks a little bit so it
512
00:32:15,039 --> 00:32:17,279
идет только к экватору, а затем, может быть, он сжимается еще
only goes to the equator and then maybe it shrinks a
513
00:32:17,279 --> 00:32:22,159
немного, поэтому он остается к северу от тропик рака и т. д. и т. д.,
little more so it stays north of the tropic of cancer and so on and so forth
514
00:32:22,159 --> 00:32:24,880
и, в конце концов, все траектории
and eventually all of the trajectories are
515
00:32:24,880 --> 00:32:28,880
деформируются только муравьями, сидящими на северном полюсе и вообще никогда не двигающимися
deformable to just the ants sitting at the north pole and never moving
516
00:32:28,880 --> 00:32:33,600
, так что есть только одна траектория, которую может пройти муравей, и
at all so there there's only one trajectory that the ant can make and
517
00:32:33,600 --> 00:32:36,399
это каким-то образом доказывает, что эти два пространства
that's the proof somehow that these two spaces are not
518
00:32:36,399 --> 00:32:40,640
не совпадают, что замечательно, потому что вы знаете, что это увлекло нас в небольшое путешествие, я
the same which is wonderful because you know it took us on a little journey i
519
00:32:40,640 --> 00:32:44,399
действительно хочу углубиться в это, потому что, с одной стороны, мы не удивлены,
actually want to dig into this because um on the one hand we're not surprised
520
00:32:44,399 --> 00:32:47,679
что сфера и тор топологически различны, но это было
that the sphere and the torus are topologically different but it was a bit
521
00:32:47,679 --> 00:32:51,360
немного усилий, чтобы на самом деле показать это правильно, даже в том случае,
of an effort there to actually show it right even that case
522
00:32:51,360 --> 00:32:56,080
когда у нас все было под контролем, и при этом вы знаете, что
where we had things under control and in doing that you know you stumble
523
00:32:56,080 --> 00:32:59,279
натыкаетесь на себя, поэтому вы задаете вопрос, сколько существует различных
across you so you ask the question how many different ways are there to
524
00:32:59,279 --> 00:33:03,840
способов пройти этот путь, который возвращает себе петлю по замкнутому кругу
sort of do this path that returns to itself a loop right a closed circle
525
00:33:03,840 --> 00:33:07,279
в этом пространстве, и в случае с Тельцом
in in this space and in the case of the taurus
526
00:33:07,279 --> 00:33:12,080
вы только что открыли эту пару целых чисел,
you you just uncovered uh this pair of integers
527
00:33:12,080 --> 00:33:14,799
сколько раз вы проходите по короткому пути, сколько раз вы проходите
the number of times you go around the short way the number of times you go
528
00:33:14,799 --> 00:33:18,000
по длинному пути и целые числа не для того, чтобы не слишком
around the long way and integers not to not to get too fancy
529
00:33:18,000 --> 00:33:21,519
увлекаться этим сейчас, это алгебра, которая не является геометрией или топологией
about it now that's algebra that's not geometry or topology
530
00:33:21,519 --> 00:33:24,320
или чем-то вроде того, грубо говоря, математики
or anything like roughly speaking mathematicians are
531
00:33:24,320 --> 00:33:29,760
либо геометры, и им нравится пространство, либо они алгебраисты, и им нравятся
either geometers and they like space or or they're algebraists and they like
532
00:33:29,760 --> 00:33:33,519
уравнения, верно, но алгебраическая структура появилась здесь
equations right but an algebraic structure appeared here
533
00:33:33,519 --> 00:33:38,559
как-то правильно я думаю, вы знаете, что это просто
somehow right i think you know this is just the
534
00:33:38,559 --> 00:33:41,279
рассказ о сложности в современном мире, как и каждый, каждый должен быть
tale of complexity in the modern world like every everybody has to be
535
00:33:41,279 --> 00:33:44,640
всем в наши дни, поэтому, даже если вы действительно не
everything these days so even if you really your heart isn't with
536
00:33:44,640 --> 00:33:48,559
любите геометрию, вы должны использовать немного алгебры, так что я хочу, я хочу просто
geometry you have to use some algebra so well i want to i want to just take
537
00:33:48,559 --> 00:33:52,159
воспользуйтесь тем, что вы здесь, чтобы покопаться в этом немного больше, я имею в виду,
advantage of your being here to dig into this a little bit more i mean sure
538
00:33:52,159 --> 00:33:56,880
что мы задали этот вопрос о том, сколько способов вы можете нарисовать круг,
the the we asked this question about how many ways you can draw a circle
539
00:33:56,880 --> 00:34:01,360
грубо говоря, в Тельце. и есть много способов, но тогда
roughly speaking in the taurus um and there's a lot of ways but then
540
00:34:01,360 --> 00:34:04,960
есть эта скрытая структура в том, что если у вас
there's this hidden structure in that if you have
541
00:34:04,960 --> 00:34:08,320
есть круг, проходящий один раз в одном направлении,
a circle going around once in one direction
542
00:34:08,320 --> 00:34:12,320
а другой круг просто делает то же самое, вы можете сложить их вместе
and another circle just doing the same thing you can add them together
543
00:34:12,320 --> 00:34:15,520
в некотором смысле правильно, и это начало алгебры, я я слишком
in some sense right and that's the beginning of algebra am i am i too
544
00:34:15,520 --> 00:34:20,879
драматичен, да, это точно так, э-э, более,
dramatic there yeah that's exactly right so uh a more
545
00:34:20,879 --> 00:34:25,359
я имею в виду, я описал это в описании основной группы, я сказал, что
um i mean i've described this in describing the fundamental group i said
546
00:34:25,359 --> 00:34:29,440
вы знаете, давайте представим, что у нас есть домашняя базовая точка, где они и мы собираемся
you know let's imagine we have a home base point uh where they and we're gonna
547
00:34:29,440 --> 00:34:32,000
рассмотреть ходьбу муравья в этих маленьких петлях
consider the ant walking in these little loops
548
00:34:32,000 --> 00:34:35,359
от домашней базы к домашней базе, но на самом деле, может быть, более естественно
from the home base to the home base but it's actually maybe more natural to
549
00:34:35,359 --> 00:34:39,440
не иметь домашней базовой точки, потому что вы знаете, я не знаю, я не знаю, где
not have a home base point because uh you know i don't i don't know where
550
00:34:39,440 --> 00:34:41,520
она будет, например, на поверхности тельца
it would be on the surface of a taurus for instance
551
00:34:41,520 --> 00:34:45,440
Итак, еще один способ представить себе алгебраическую структуру такого рода: вы можете
so um another way to think about this sort of algebraic structure is you can
552
00:34:45,440 --> 00:34:48,720
представить муравья, идущего из любой точки p на
imagine an ant walking from any point p on the
553
00:34:48,720 --> 00:34:52,720
поверхности в любую другую точку q на поверхности, он, как вы знаете, идет по некоторому
surface to any other point q on the surface it you know takes some
554
00:34:52,720 --> 00:34:55,839
пути, а затем вы знаете, что, возможно, муравей
path and then later you know maybe the ant is
555
00:34:55,839 --> 00:34:58,640
устал а nd вздремнет, а затем проснется, а затем
tired and takes a nap and then later it wakes up and then it
556
00:34:58,640 --> 00:35:00,839
пойдет из точки q в какую-то другую точку
walks from the point q to some other point
557
00:35:00,839 --> 00:35:05,280
r, и вы имеете в виду, что вы могли бы составить эти два пути,
r and what you're referring to is you could then compose those two paths
558
00:35:05,280 --> 00:35:08,480
составить эти две траектории, а затем получить путь
compose those two uh trajectories and then get a path
559
00:35:08,480 --> 00:35:12,800
непосредственно из p к r, поэтому, если вы можете пройти от p до q и пройти от q до r, вы можете
directly from p to r so if you can walk from p to q and walk from q to r you can
560
00:35:12,800 --> 00:35:15,440
составить эти два пути и добраться от p до r,
compose those two walks and get from p to r
561
00:35:15,440 --> 00:35:19,040
и это начало, так что это операция композиции
and that's the beginning so this is a composition operation
562
00:35:19,040 --> 00:35:24,400
на путях и поверхности тельца или на любых космических путях в любом
on the paths and the surface of a taurus or on any space paths in any
563
00:35:24,400 --> 00:35:31,599
пространстве, и на самом деле тип инварианта, который более
space and really the sort of invariant that more
564
00:35:31,599 --> 00:35:36,000
точно описывает алгебру, скрытую в геометрии,
exactly describes the algebra that's hidden in the geometry
565
00:35:36,000 --> 00:35:39,520
называется фундаментальным группоидом или фундаментальным группоидом бесконечности,
is something called the fundamental groupoid or the fundamental infinity
566
00:35:39,520 --> 00:35:42,880
который не является группой, а это тип
groupoid which is not a a group which is a type of
567
00:35:42,880 --> 00:35:47,040
математического объекта, которому мы учим студентов хм, но своего рода
mathematical object we teach undergraduates um but an sort of
568
00:35:47,040 --> 00:35:50,720
бесконечномерный аналог группы бесконечный группоид, который является своего
infinite dimensional analog of a group an infiniti groupoid which is a
569
00:35:50,720 --> 00:35:54,000
рода границей математического уровня исследовательского уровня, верно,
you know sort of frontier of research level mathematics right
570
00:35:54,000 --> 00:35:57,680
я думаю, что это выглядит, если люди собираются слушать это весь эпизод подкаста,
i think that it look if if people are going to listen to this entire podcast
571
00:35:57,680 --> 00:36:00,880
я хочу, чтобы они ушли, зная, что такое
episode i want them to come away knowing what an
572
00:36:00,880 --> 00:36:03,599
бесконечный группоид, я думаю, что это будет чем-то, чем они
infinity groupoid is i think that's going to be something that they'll be
573
00:36:03,599 --> 00:36:06,640
смогут произвести впечатление на своих друзей на коктейльных вечеринках и так далее, так что
able to impress their friends with at cocktail parties and so forth so
574
00:36:06,640 --> 00:36:09,920
вы, но идти очень медленно, чтобы добраться туда, вы знаете, вы упомянули фундаментальную
you but to go very slowly to get there you know you mentioned the fundamental
575
00:36:09,920 --> 00:36:12,560
группу, которая представляет собой набор кругов, с которых
group which is the collection of the circles
576
00:36:12,560 --> 00:36:19,520
мы начали, так что же такое группа, так что группа, э-э-
we started with so what's a group right so a group is uh
577
00:36:19,520 --> 00:36:28,000
э, я имею в виду способ, я имею в виду вот это, вот это, э-
um i mean a way to i mean this like it there's there's this um
578
00:36:28,160 --> 00:36:31,760
э, это метафора слепых и слон, и
uh there's this metaphor of the blind men and the elephant and
579
00:36:31,760 --> 00:36:34,800
вы знаете, кто-то держит кого-то, кто-то касается
you know somebody's holding somebody's touching the uh
580
00:36:34,800 --> 00:36:37,280
хобота, кто-то касается одной из ног, кто-то касается хвоста, и у
trunk somebody's touching one of the legs somebody's touching the tail and
581
00:36:37,280 --> 00:36:40,000
меня совершенно другая точка зрения, и именно так я думаю
have a completely different perspective of it and that's that's how i'm thinking
582
00:36:40,000 --> 00:36:44,000
о группах, так что действительно трудно понять, как начните,
about groups so it's like really hard to know know how to start
583
00:36:44,000 --> 00:36:49,760
но вы знаете, что группа в этом контексте - это набор, это
but um you know a group in this context is a set here it's the
584
00:36:49,760 --> 00:36:53,760
набор всех различных циклов, которые муравей может пройти
collection of all different loops that uh ant could take walking
585
00:36:53,760 --> 00:36:56,560
через какое-то пространство вместе с
through some space um together with a
586
00:36:56,560 --> 00:36:59,839
композицией. операция, поэтому он выполняет один цикл,
composition operation so it's performing one loop
587
00:36:59,839 --> 00:37:03,440
а затем следует другой цикл, который можно понимать как цикл, даже
and then following it by another loop that can be understood as a loop even
588
00:37:03,440 --> 00:37:07,920
если вы возвращаетесь через центр, это все еще цикл, гм,
though you come back through the center it's still a loop um
589
00:37:07,920 --> 00:37:11,119
а затем удовлетворяет некоторым вы знаете очень естественные
and then satisfying some you know sort of very natural
590
00:37:11,119 --> 00:37:16,320
аксиомы, поэтому, если вы идете вдоль петли вы всегда можете изменить свою траекторию
axioms so if you're walking along a loop you could always reverse your trajectory
591
00:37:16,320 --> 00:37:18,400
и вернуться в другом направлении, и
and walk back in the other direction and
592
00:37:18,400 --> 00:37:22,640
это каким-то образом отменяет процесс, поэтому каждый элемент в группе имеет
that's an undoing somehow of the process so every element in a group has an
593
00:37:22,640 --> 00:37:26,079
обратную сторону, и если вы скомпонуете ее, он вернется к тому,
inverse that if you compose with it it gets back to
594
00:37:26,079 --> 00:37:30,800
с чего вы начали, и несколько таких простых аксиом, так что
sort of where you started and a few sort of simple axioms like that
595
00:37:30,800 --> 00:37:34,160
это своего рода урезанная версия
so it's kind of a it's a stripped-down version
596
00:37:34,160 --> 00:37:37,280
того, что вы знаете целые числа или что-то в этом роде, где целые числа вы
of you know the integers or something like that right where the integers you
597
00:37:37,280 --> 00:37:40,640
можете сложить их вместе, чтобы целые числа были примером группы
can add them together so the integers are an example of a group
598
00:37:40,640 --> 00:37:43,280
правильных целых чисел с добавлением это пример
right right integers with addition is an example
599
00:37:43,280 --> 00:37:46,480
с другой группой абсолютно правильно матрицы с
with a different group absolutely that's right matrices with
600
00:37:46,480 --> 00:37:51,520
умножением это пример группы матрицы со сложением это
multiplication is an example of a group matrices with addition is an example of
601
00:37:51,520 --> 00:37:54,480
пример группы так что я должен сказать кое-что о
a group so i have to say something about the
602
00:37:54,480 --> 00:37:57,040
Чтобы заставить эти примеры работать,
dimensions to make those examples work but
603
00:37:57,040 --> 00:38:00,800
хорошо, и физики любят теорию групп,
okay and the physicists love group theory
604
00:38:00,800 --> 00:38:04,720
потому что симметрии — это группа, такая же, как повороты, переносы и
because symmetries are a group right like rotations and translations and
605
00:38:04,720 --> 00:38:07,599
тому подобное, да, абсолютно, так что другой взгляд
things like that yeah absolutely so another perspective
606
00:38:07,599 --> 00:38:10,079
на группы, если мы как бы двигаемся вокруг слона,
on groups if we sort of move around the elephant
607
00:38:10,079 --> 00:38:18,400
— это группа — это астматизация э-э-э симметрии объекта так-то
is uh a group is an asthmaticization of uh the symmetries of an object so um
608
00:38:18,400 --> 00:38:21,520
так или различных конфигураций, которые может иметь объект, поэтому позвольте мне
so or the different configurations that an object might be so let me let me
609
00:38:21,520 --> 00:38:26,320
объяснить, что такое симметрия, так что представьте, что у вас есть двойной матрас,
explain what a symmetry is so um so imagine you have a twin mattress
610
00:38:26,320 --> 00:38:29,280
и вы знаете, что вы должны как бы время от времени переворачивайте свой матрас,
and you know that you're supposed to kind of flip your your mattress
611
00:38:29,280 --> 00:38:32,000
потому что я думаю, что это хорошо для срока службы матраса,
occasionally because i guess it's good for the life of the mattress
612
00:38:32,000 --> 00:38:35,520
и поэтому вы можете задаться вопросом, сколько разных способов существует, чтобы перевернуть
and so you might wonder like how many different ways are there to flip the
613
00:38:35,520 --> 00:38:39,119
матрас, сколько различных конфигураций может быть в матрасе,
mattress how many different configurations could the mattress be in
614
00:38:39,119 --> 00:38:42,400
и, хм , один из вариантов матраса
and um well it's the mattress one option is
615
00:38:42,400 --> 00:38:44,160
каким бы ни был матрас, когда вы его
whatever the mattress is when you start it
616
00:38:44,160 --> 00:38:49,839
запускаете, тогда вы можете как бы повернуть его с головы до ног, так что вы как бы
um then you could uh sort of rotate it head to toe so you're sort of
617
00:38:49,839 --> 00:38:52,880
переключаете голову и носок, но верхнюю часть да, то же самое, это
switching the head and the toe but the top stays the same that's
618
00:38:52,880 --> 00:38:59,040
одно движение, вы также можете перевернуть его, э-э,
one move uh you could also um flip it uh
619
00:38:59,040 --> 00:39:02,240
из стороны в сторону, так что я держу голову у головы, а носок у носка,
sort of side to side so i'm keeping the head at the head and the toe at the toe
620
00:39:02,240 --> 00:39:06,960
но я переключаю верх и низ, да, или вы могли бы объедините эти две
but i'm switching the top and the bottom yep um or you could combine those two
621
00:39:06,960 --> 00:39:09,920
операции, и в результате голова окажется там, где был носок, а
operations and the effect of this is the head is now where the toe was and the
622
00:39:09,920 --> 00:39:14,800
пальцы ног были головой, а верхняя и нижняя поверхности также перевернуты,
toes were the head and the the top and bottom surfaces has also flipped
623
00:39:14,800 --> 00:39:18,880
поэтому группа записывает, с одной стороны, четыре разных
so a group is recording on the one hand the four different
624
00:39:18,880 --> 00:39:23,280
положения, в которых находился матрас. может быть, но также и то, как эти различные операции переворота,
positions that the mattress could be in but also how these different flipping
625
00:39:23,280 --> 00:39:25,680
которые я описал, складываются друг с другом,
operations that i described composed to each other
626
00:39:25,680 --> 00:39:30,880
поэтому каждый из этих переворотов является элементом второго порядка группы, что
so each of those flips is an order two element of the group
627
00:39:30,880 --> 00:39:34,160
означает, что если вы выполните одно и то же движение дважды, вы вернете матрас туда
meaning if you perform the same move twice you get the mattress back
628
00:39:34,160 --> 00:39:38,320
, где вы начали, если вы это сделаете. любые два
to where you started if you do any two different
629
00:39:38,320 --> 00:39:42,240
разных флипа вы получите третий, который не является типичным свойством
of the flips you'll get the third one which is not a typical property of a
630
00:39:42,240 --> 00:39:44,320
группы, но он является особенным для этого, который
group but it's special to this one which is
631
00:39:44,320 --> 00:39:49,280
носит название группа klein 4 эта группа не имеет генератора,
goes by the name the klein 4 group this group does not have a generator
632
00:39:49,280 --> 00:39:52,640
что означает, что нет ни одного операция вы можете делать
meaning that there's not one operation you can do
633
00:39:52,640 --> 00:39:55,040
снова и снова, это проведет вас
over and over again that will take you all the way
634
00:39:55,040 --> 00:39:58,000
через всю группу, и именно поэтому трудно вспомнить, как переворачивать
through the group and this is why it's hard to remember how to flip your
635
00:39:58,000 --> 00:40:00,800
матрас, потому что вы должны помнить, как вы
mattress because you have to remember sort of how you
636
00:40:00,800 --> 00:40:04,800
переворачивали его в прошлом месяце, поэтому вы просто не делаете ту же операцию и снова и
flipped it last month so you don't uh just do the same operation and again and
637
00:40:04,800 --> 00:40:06,560
вернуться к тому, где вы были месяцем ранее,
get back to where you were the month before
638
00:40:06,560 --> 00:40:10,880
да, так что целые числа имеют генератор, вы просто добавляете один, а затем вы можете получить
yeah so the integers do have a generator you just add one and then you can get
639
00:40:10,880 --> 00:40:13,040
все целые числа, либо делая это, либо отменяя это,
all the integers either by doing that or undoing it
640
00:40:13,040 --> 00:40:15,760
либо добавляя один или отрицательный, который вы получаете полностью через все, так что да,
or add one or negative one you get all the way through everything so yes the
641
00:40:15,760 --> 00:40:18,800
целые числа представляют собой циклическую группу, у которой есть один генератор
integers are cyclic group um which have a single generator
642
00:40:18,800 --> 00:40:24,640
абсолютно, но группа четырех клейнов не является правильной, так что целые числа, возможно, для людей
absolutely but klein four group is not uh right so the integers maybe to people
643
00:40:24,640 --> 00:40:28,880
, которые не являются поклонниками теории групп, являются хорошей маленькой парадигмой,
who are not group theory aficionados are a nice little paradigm
644
00:40:28,880 --> 00:40:32,560
но важно, чтобы группы могли быть очень разными, так что это конечная группа,
but it's important that groups can be very different so this is a finite group
645
00:40:32,560 --> 00:40:36,319
эта группа, переворачивающая матрас, правильно, это только то, сколько
the this uh mattress flipping group right it's only how many elements are
646
00:40:36,319 --> 00:40:38,880
элементов в матрасе, да, четыре элемента, хорошо,
there in the mattress yeah four elements okay
647
00:40:38,880 --> 00:40:43,119
да, хорошо, и есть гм, так что я имею в виду эти эти группы очень крутые,
yeah yeah all right and there's um so i mean these these groups are super cool
648
00:40:43,119 --> 00:40:45,280
и вы знаете, действительно расскажете вам что-то
and uh you know really tell you something
649
00:40:45,280 --> 00:40:48,880
глубокое о геометрии, так что вы, возможно, слышали о платоновых
profound about geometry so uh you might have heard of the platonic
650
00:40:48,880 --> 00:40:52,480
телах, которые являются трехмерными фигурами, которые
solids which are the um the three-dimensional figures that
651
00:40:52,480 --> 00:40:56,240
вы можете получить, склеивая вместе обычные
you can get by gluing together regular uh
652
00:40:56,240 --> 00:40:59,599
двумерные фигуры, так что Правильная двухмерная фигура
two-dimensional figures so a regular two-dimensional figure is
653
00:40:59,599 --> 00:41:03,680
подобна треугольнику, или квадрату, или пятиугольнику, или шестиугольнику,
like a triangle or a square or a pentagon or a hexagon
654
00:41:03,680 --> 00:41:06,079
где все стороны имеют одинаковую длину, все
where all the sides have the same length all the
655
00:41:06,079 --> 00:41:08,319
углы одинаковы и так далее и тому подобное,
angles are the same and so on and so forth
656
00:41:08,319 --> 00:41:11,920
и вы знаете, что их бесконечно много, потому что существует семиугольник,
and you know there are infinitely many of these because there's a heptagon and
657
00:41:11,920 --> 00:41:14,720
восьмиугольник и девятиугольник, которые вы знаете для любого
an octagon and a nonagon you know for any
658
00:41:14,720 --> 00:41:17,839
натурального числа n, вы можете получить плоскую фигуру с n
natural number n you can get a plane figure with n
659
00:41:17,839 --> 00:41:21,119
сторонами, поэтому вам может быть интересно, сколько из этих правильных
sides so you might wonder how many of these regular
660
00:41:21,119 --> 00:41:25,200
платоновых тел вы знаете, сколько различных
platonic solids are you know how many different
661
00:41:25,200 --> 00:41:30,960
фигур можно получить, склеив вместе, скажем, треугольники или склеивая квадраты
shapes you can get by gluing together say triangles or gluing together squares
662
00:41:30,960 --> 00:41:33,839
или склеивая пятиугольники или вы знаете, склеивая
or gluing together pentagons or you know gluing together
663
00:41:33,839 --> 00:41:38,160
шестиугольники, может быть, и гм, вы можете доказать на самом деле, что
hexagons maybe and um you can prove in fact that there
664
00:41:38,160 --> 00:41:40,720
их только конечное количество на самом деле их пять
are only finitely many in fact there are five of
665
00:41:40,720 --> 00:41:45,359
гм, используя теорию групп, изучая симметрии,
them um using group theory by studying the symmetries
666
00:41:45,359 --> 00:41:49,119
своего рода ортогональные группы, Смит или специальные ортогональные группы, которые
the sort of orthogonal groups the smit or the special orthogonal groups that
667
00:41:49,119 --> 00:41:52,720
описывают различные конфигурации этих гипотетических форм, даже не
describe the different configurations of these hypothetical shapes before even
668
00:41:52,720 --> 00:41:57,440
зная об их существовании, вы можете ограничить возможные конфигурации гм, но
knowing they exist you can limit the possible configurations um but
669
00:41:57,440 --> 00:42:00,960
ясно, что это не то, что сделал
clearly that's not what plato did
670
00:42:01,440 --> 00:42:04,720
Платон. не знаю, может быть, кто-то где-то похоронен в платоновской
i don't know maybe some somewhere like buried in plato's
671
00:42:04,720 --> 00:42:08,720
интуиции, но еще один забавный факт заключается в том, что пять
intuition but another fun fact is so the five
672
00:42:08,720 --> 00:42:12,160
есть то, что называется тетраэдром, который построен из треугольников, а затем
there's something called the tetrahedron which is built from triangles and then
673
00:42:12,160 --> 00:42:14,960
есть куб, который является самым знакомым, построенным из
there's the cube which is that's the most familiar one built from
674
00:42:14,960 --> 00:42:19,040
квадратов, а также есть октаэдр, построенный из треугольников. из треугольников,
squares then there's the octahedron also built from triangles
675
00:42:19,040 --> 00:42:22,560
а затем додекаэдра и икосаэдра,
and then the dodecahedron and the icosahedron
676
00:42:22,560 --> 00:42:26,880
и хотя я назвал пять вещей, в некотором смысле их всего три,
and even though i named five things in a sense there's kind of only three of them
677
00:42:26,880 --> 00:42:30,000
потому что между платоновыми телами существует отношение двойственности,
because there's this duality relationship
678
00:42:30,000 --> 00:42:33,359
которое вы могли бы увидеть, если
between the platonic solids which you might have seen if you take
679
00:42:33,359 --> 00:42:39,440
возьмете куб, так что у него есть четыре Так что извините, это пробелы, мм, квадраты,
a cube so it's got uh four so it's sorry it's spaces are uh squares
680
00:42:39,440 --> 00:42:42,960
их шесть, и они склеены r вдоль двенадцати
there are six of them and they are glued together along twelve
681
00:42:42,960 --> 00:42:46,560
различных ребер и есть восемь углов, и что я собираюсь сделать, так это
different edges and there are eight corners and what i'm going to do is i'm
682
00:42:46,560 --> 00:42:50,720
построить новое платоническое тело, заменив каждый из
going to build a new platonic solid by replacing each of the
683
00:42:50,720 --> 00:42:55,040
углов гранью и каждую грань углом, и что вы
corners by a face and each face by a corner and what you
684
00:42:55,040 --> 00:42:58,240
получите в этом просто соединяя все вместе,
get in that just by kind of connecting everything up
685
00:42:58,240 --> 00:43:03,119
мы получаем октаэдр, то есть одно из других платоновых тел, и
is an octahedron so one of the other platonic solids and
686
00:43:03,119 --> 00:43:06,400
поэтому между кубом и октаэдром, а
so there's a duality relationship between the cube and the octahedron and
687
00:43:06,400 --> 00:43:10,000
также между додекаэдром и икосаэдром, а также между
also between the dodecahedron and the icosahedron and be that between the
688
00:43:10,000 --> 00:43:12,720
тетраэдром и самим собой, и они отражаются двойственными отношениями. их
tetrahedron and itself and those are reflected by their
689
00:43:12,720 --> 00:43:15,599
группы симметрии, поэтому из-за этого отношения двойственности
symmetry groups so because of this duality relationship
690
00:43:15,599 --> 00:43:19,040
группа симметрии, которая описывает конфигурации куба,
the symmetry group that describes the configurations of the cube
691
00:43:19,040 --> 00:43:22,720
является той же изоморфной, что и
is the same isomorphic two the same shape as this
692
00:43:22,720 --> 00:43:26,079
группа симметрии октаэдра, и так далее.
symmetry group of the octahedron and so on
693
00:43:26,079 --> 00:43:29,280
Любой, кто играл в подземелья и драконы, знает о платоновых телах, потому что
anyone who played dungeons and dragons knows about the platonic solids because
694
00:43:29,280 --> 00:43:31,760
они есть кости, но они не знают об отношениях двойственности, так
they have the dice but they don't know about the duality relations so now
695
00:43:31,760 --> 00:43:34,160
что теперь это хорошо, это что-то еще , что у них
that's that's good that's something else that they that they'll
696
00:43:34,160 --> 00:43:39,760
будет в их б да, я собираюсь сделать это только с большим риском, но я думаю, что
have in their bag now i'm only going to do this at great risk but i figure like
697
00:43:39,760 --> 00:43:42,400
все в порядке, почему, пока мы говорили о группах,
all right why while we've talked about groups why
698
00:43:42,400 --> 00:43:45,599
почему бы нам также не объяснить аудитории кольца и поля, поскольку
don't we also explain rings and fields to the audience since
699
00:43:45,599 --> 00:43:48,800
это другой вид алгебраических структур, которые математики любят
these are the other sort of algebraic structures that mathematicians love to
700
00:43:48,800 --> 00:43:52,880
разбрасываться, да, абсолютно, так что я имею в виду, что
throw around yeah absolutely so uh i mean what's
701
00:43:52,880 --> 00:43:54,400
забавно , что через некоторое время вы как бы
funny is you know after a while you kind of
702
00:43:54,400 --> 00:43:56,800
забываете, что эти термины относятся к другим вещам, поэтому я имею в виду, что
forget that these terms refer to other things so i mean
703
00:43:56,800 --> 00:43:59,440
вы знаете, когда я говорю поле, я имею в виду, что я определенно думаю о математическом
you know when i say field i mean i definitely think about the mathematical
704
00:43:59,440 --> 00:44:02,960
поле, прежде чем я помните, что это тоже то, что за окном, но
field before i remember that's like also the thing that's out the window but
705
00:44:02,960 --> 00:44:08,880
правильно, так что группа описывает настройку, в которой у вас есть
right so uh a group um is describing a setting where you have you
706
00:44:08,880 --> 00:44:13,040
известная вам коллекция объектов, и у вас есть одна операция композиции, чтобы объединить
know collection of objects and you have one composition operation to combine
707
00:44:13,040 --> 00:44:16,640
их вместе, поэтому, если у нас есть целые числа, мы можем подумать о сложении если вы добавите
them together so if we have the integers we can think about addition if you add
708
00:44:16,640 --> 00:44:21,280
два целых числа, вы получите другое целое число, но
two integers you get another integer but
709
00:44:21,280 --> 00:44:25,359
вы знаете, что есть и другие бинарные операции над целыми числами, которые появляются,
you know we there are other binary operations on the integers that come up
710
00:44:25,359 --> 00:44:29,599
вы знаете, например, умножение, а кольцо — это настройка, в которой у вас есть
you know multiplication for instance and a ring is a setting where you have
711
00:44:29,599 --> 00:44:33,920
t две операции: операция сложения или операция, подобная сложению, и операция, подобная операции
two operations an addition operation or an addition-like operation and a
712
00:44:33,920 --> 00:44:38,880
умножения, и они
multiplication like operation and they
713
00:44:38,880 --> 00:44:42,560
взаимодействуют способами, которые в некотором роде знакомы
interact in ways that are sort of familiar
714
00:44:42,560 --> 00:44:47,119
для целых чисел, поэтому, если вы понимаете,
for the integers so if i you can understand
715
00:44:47,119 --> 00:44:50,400
существует свойство дистрибутивности, которое говорит, что если я сложу
there's a distributivity property that says if i add
716
00:44:50,400 --> 00:44:53,440
два целых числа вместе, а затем я умножить на что-то это то же самое, что
two integers together and then i multiply by something it's the same as
717
00:44:53,440 --> 00:44:57,359
сначала умножить, а затем сложить, и есть несколько подобных аксиом
multiplying first and then adding and there are a few axioms like
718
00:44:57,359 --> 00:45:00,560
, так что в этом крутого, я имею в виду, вы можете
that so what's cool about i mean you might
719
00:45:00,560 --> 00:45:03,359
спросить, например, почему мы беспокоимся, мы вроде все знаем, что такое целые числа,
ask like why do we bother we like everybody knows what the integers are
720
00:45:03,359 --> 00:45:07,119
зачем мне это абстрактное понятие кольцо, и
why do i need this abstract concept of a ring and
721
00:45:07,119 --> 00:45:10,480
это совершенно справедливый вопрос, но действительно забавный
that's a totally fair question but a really fun
722
00:45:10,480 --> 00:45:16,880
или довольно интересный факт, что существует очень глубокая аналогия между
or it's kind of interesting fact is there's a very deep analogy between the
723
00:45:16,880 --> 00:45:20,800
целыми числами и многочленами,
integers and polynomials um so
724
00:45:20,800 --> 00:45:24,319
так что многочлен такой, это что- то вроде того, что вы
so a polynomial is like this this is sort of the thing that you would
725
00:45:24,319 --> 00:45:27,920
встретите в высоком школьный класс алгебры, поэтому у вас
meet in a high school algebra class so you have a
726
00:45:27,920 --> 00:45:32,000
есть переменная x неопределенная переменная x, а затем вы
a variable x an indeterminate variable x and then you
727
00:45:32,000 --> 00:45:36,720
можете сформировать многочлен, как бы сложив x и умножив x, а затем
can form a polynomial by sort of adding up x's and multiplying x's and then
728
00:45:36,720 --> 00:45:41,119
бросив г в действительных числах в качестве коэффициентов, так что полином
throwing in real numbers as the coefficients so a polynomial
729
00:45:41,119 --> 00:45:44,800
может быть как 5x минус
might be like 5x minus
730
00:45:44,800 --> 00:45:50,880
5x плюс я не знаю 17 х в квадрате плюс пи х в кубе, потому что мы можем иметь действительные
5x plus i don't know 17 x squared plus pi x cubed because we can have real
731
00:45:50,880 --> 00:45:55,760
числа в качестве коэффициентов минус 3. вы знаете, что это
numbers as coefficients minus 3. you know so that's that's a
732
00:45:55,760 --> 00:45:59,680
многочлен в одном переменная x и
polynomial in a single variable x and
733
00:45:59,680 --> 00:46:03,040
многочлены также образуют кольцо, если у вас есть два многочлена, вы можете сложить их
polynomials also form a ring if you have two polynomials you can add them
734
00:46:03,040 --> 00:46:06,480
вместе, вы можете их перемножить, для этого есть своего рода
together you can multiply them there's sort of
735
00:46:06,480 --> 00:46:09,040
правила, которые вы, возможно, выучили на
rules for doing this that you might have learned in a
736
00:46:09,040 --> 00:46:13,359
уроках алгебры в старшей школе, и эти кольца образуют кольцо
high school algebra class and those ring the ring of polynomials
737
00:46:13,359 --> 00:46:16,720
многочленов с коэффициентами. в поле, о котором мы поговорим позже,
uh with coefficients in a field which we'll get to what a field is later on
738
00:46:16,720 --> 00:46:19,760
коэффициенты в действительных числах и кольцо целых чисел
coefficients in the real numbers and the ring of integers
739
00:46:19,760 --> 00:46:22,960
очень очень похожи на кольца, они оба
are very are very quite similar as rings they're both
740
00:46:22,960 --> 00:46:26,880
э-э, у них есть алгоритм деления, вы можете сделать что-то длинное деление с помощью
uh they have a division algorithm um you can do sort of long division with
741
00:46:26,880 --> 00:46:31,680
многочленов, как с кольцами, все идеальные элементы являются принципами,
polynomials like with rings all the ideal elements are principles
742
00:46:31,680 --> 00:46:35,040
и я имею в виду, что это то, что
and um so i mean that's the sort of thing that's
743
00:46:35,040 --> 00:46:38,079
представляет интерес для математиков, или такие глубокие аналогии между
of interest to mathematicians or these kind of deep analogies between
744
00:46:38,079 --> 00:46:40,800
поверхностными структурами.
structures that are superficially quite different
745
00:46:40,800 --> 00:46:43,200
ну, и в чем разница между кольцом и полем, потому что они
well and what's the difference between a ring and a field because they're kind of
746
00:46:43,200 --> 00:46:47,040
похожи, так что поле похоже на кольцо, оно
similar right so a field is uh like a ring it
747
00:46:47,040 --> 00:46:50,720
имеет две бинарные операции, но
has two binary operations um but
748
00:46:50,720 --> 00:46:54,319
если мы вернемся к кольцу целых чисел, там будет довольно большая разница между
uh if we go back to the ring of integers there's a pretty big difference between
749
00:46:54,319 --> 00:46:59,680
правилом сложения и правилом умножения, так что если я ух
the addition rule and the multiplication rule so if i uh
750
00:46:59,680 --> 00:47:03,760
в том, что каждое сложение каждого элемента имеет добавочный
in in that every addition every element has an additive
751
00:47:03,760 --> 00:47:08,079
обратный, поэтому, если я выберу свое любимое целое число, которое вы знаете, 17,
inverse so if i pick my favorite integer you know 17
752
00:47:08,079 --> 00:47:12,560
есть другое целое отрицательное число 17, и когда я сложу их вместе, я получу 0,
there's another integer negative 17 that when i add them together i get 0
753
00:47:12,560 --> 00:47:15,680
который является идентичностью для операции сложения,
which is the identity for the addition operation
754
00:47:15,680 --> 00:47:19,920
но это не работает для умножения, если я снова выберу свое любимое целое число 17
but that doesn't work for multiplication if i pick my favorite integer again 17
755
00:47:19,920 --> 00:47:26,480
, нет целого числа, на которое я мог бы умножить 17, чтобы вернуться к единице, которая является
there's no integer i can multiply uh 17 by to get back to one which is the
756
00:47:26,480 --> 00:47:29,599
мультипликативной идентичностью, так что это то, что отличает
multiplicative identity right so that's what distinguishes a
757
00:47:29,599 --> 00:47:33,760
кольцо, где у вас не обязательно есть мультипликативные инверсии из поля
ring where you don't necessarily have multiplicative inverses from a field in
758
00:47:33,760 --> 00:47:36,640
в поле у вас ес ь инверсия как к оп
a field you do have an inverse to both the
759
00:47:36,640 --> 00:47:38,800
рации умножения, так и к операции сложения, ко�
multiplication and the addition operation
760
00:47:38,800 --> 00:47:41,440
орую вы как бы предполагаете, что вы не попытка разделить на ноль, которая никогда
you're sort of assuming you're not trying to divide by zero that never
761
00:47:41,440 --> 00:47:44,319
не работает, поэтому такие вещи, как рациональные числа,
quite works so things like the rational numbers
762
00:47:44,319 --> 00:47:47,760
которые добавляют эти мультипликативные обратные или действительные числа,
which throw in these multiplicative inverses or the real numbers
763
00:47:47,760 --> 00:47:51,119
являются полями в дополнение к бобовым кольцам, и
are uh fields in addition to bean rings and
764
00:47:51,119 --> 00:47:55,520
существование числа ноль создает вам проблемы, потому что
does the existence of the number zero get you in trouble because uh
765
00:47:55,520 --> 00:47:59,680
это не так. да, так что в поле вы должны
it doesn't have yeah so in a field you have to
766
00:47:59,680 --> 00:48:04,559
рассматривать ноль как своего рода особый случай, поэтому в поле вы должны иметь свой ноль, а
treat zero as a kind of special case so in a field you have to your zero and
767
00:48:04,559 --> 00:48:08,000
ваша единица не может быть такой же, иначе все это как бы
your one can't be the same otherwise uh the whole thing kind of
768
00:48:08,000 --> 00:48:10,960
рушится, и у нуля не будет мультипликативное
collapses and zero will not have a multiplicative
769
00:48:10,960 --> 00:48:15,040
обратное, но все остальные элементы должны быть в порядке, и поэтому то, что мы начали, мы
inverse but every other element has to got it okay and so what we started we
770
00:48:15,040 --> 00:48:17,760
начали это маленькое путешествие, этот маленький боковой путь, потому что
started this little journey this little side track because
771
00:48:17,760 --> 00:48:20,880
мы думали о тельце и его топологии,
we were thinking about the taurus and its topology
772
00:48:20,880 --> 00:48:26,079
и мы обнаружили, что пространство всех маленьких петель, по которым может пройти муравей при
and we found that the space of all the little loops the ant could walk on
773
00:48:26,079 --> 00:48:29,359
формировании группы, есть ли примеры, когда
formed a group uh are there examples where
774
00:48:29,359 --> 00:48:34,000
мы связываем кольца или поля с топологическими
we associate rings or fields with topological invariants
775
00:48:34,000 --> 00:48:39,359
инвариантами, это хороший вопрос, я не знаю, что это обычно делается,
uh that's a good question i don't know that that's commonly done
776
00:48:39,359 --> 00:48:42,079
и я думаю, что причина в том, что группы ju вы так богаты,
and i think the reason is that groups are just so rich
777
00:48:42,079 --> 00:48:47,680
вы знаете, э-э, но вы знаете, что одна группа не будет
you know um but uh you know a single group will not capture
778
00:48:47,680 --> 00:48:50,640
охватывать полные данные топологического пространства, я имею в виду,
the full data of a topological space i mean
779
00:48:50,640 --> 00:48:53,760
что на самом деле вам нужно ввести множество разных групп,
really what you have to do is have introduce lots of different groups that
780
00:48:53,760 --> 00:48:57,920
которые измеряют множество разных вещей, поэтому фундаментальная группа рассказывает вам
are measuring lots of different things so the the fundamental group tells you
781
00:48:57,920 --> 00:49:01,920
о своего рода петлях в пространстве и можете ли вы,
about uh sort of loops in the space and whether you can
782
00:49:01,920 --> 00:49:04,319
э-э, если вы идете по круговому
uh if you sort of walk along a circular
783
00:49:04,319 --> 00:49:08,400
пути в пространстве, вы можете заполнить это диском, вы знаете,
path in the space can you fill that in with a disk um you know
784
00:49:08,400 --> 00:49:12,800
вы могли бы, э-э, я думаю, я не знаю, как скажите
could you uh i guess i don't know how to say it
785
00:49:12,800 --> 00:49:16,160
это лучше, чем это, потому что вы знаете, можете ли вы сокращаться, вы знаете, если
any better than that because you know can you contract you know if
786
00:49:16,160 --> 00:49:18,079
да, если у вас есть что-то вроде проволочного кольца,
yeah if you have sort of a wire ring is there
787
00:49:18,079 --> 00:49:21,520
вы можете как-то надеть на него что-то вроде мыльного пузыря, чтобы поверхность
could you put sort of a soap bubble on it somehow so that the surface of the
788
00:49:21,520 --> 00:49:24,880
мыльного пузыря жила в пространстве, которое вы
soap bubble lives within the space that you were
789
00:49:24,880 --> 00:49:28,319
говорили о том, что это невозможно, если вы идете коротким путем
talking about so that's that's not possible if you're walking the short way
790
00:49:28,319 --> 00:49:31,200
на телец, потому что мыльный пузырь должен был бы как бы
around on a taurus because the soap bubble would have to kind of cut through
791
00:49:31,200 --> 00:49:34,480
прорезать тесто, и это не на поверхности, а
the dough and that's that's not on the surface but it is on
792
00:49:34,480 --> 00:49:36,640
на поверхности сферы ты мог бы просто ки
the surface of a sphere you could just kind of
793
00:49:36,640 --> 00:49:43,119
Вы знаете, закрасьте диск , чтобы измерить
you know paint uh paint over the disc so that's measuring this kind of
794
00:49:43,119 --> 00:49:49,040
одномерные отверстия, я думаю, это область, ограниченная
one-dimensional holes i guess is the the area that's bounded by a
795
00:49:49,040 --> 00:49:51,760
одномерной сферой, но, как мы упоминали, есть сферы в
one-dimensional sphere but as we mentioned there are kind of spheres in
796
00:49:51,760 --> 00:49:55,040
более высоких измерениях, так что вы можете спросить если у вас есть
higher dimensions so you could ask if you have
797
00:49:55,040 --> 00:49:58,160
воздушный шар внутри вашей поверхности, может ли он быть
a balloon inside your surface can that be filled
798
00:49:58,160 --> 00:50:01,280
заполнен песком, как бы оставаясь прямо на
in with sand sort of staying within right right the
799
00:50:01,280 --> 00:50:04,240
поверхности, и это двумерный аналог того же вопроса, и есть
surface and that's a two-dimensional analog of the same question and there's
800
00:50:04,240 --> 00:50:06,960
такой вопрос во всех положительных
a question like that in all positive
801
00:50:06,960 --> 00:50:11,760
целочисленных измерениях, и гм, это семейство групп
integer dimensions and um that family of groups
802
00:50:11,760 --> 00:50:16,400
описывает полный гомотопический тип пространства, которого нет у отдельной группы, но если у вас
describes the full homotopy type of a space a single group does not but if you
803
00:50:16,400 --> 00:50:19,599
есть такого рода бесконечное множество групп, это делает
have this sort of infinitely many groups it does
804
00:50:19,599 --> 00:50:21,760
одну из вещей, которые я очень
one of the things that i say just very casually
805
00:50:21,760 --> 00:50:26,800
небрежно говорю людям, не являющимся математиками, заключается в том, что вы можете подумать, что математики
to people who are not mathematicians is that you might think that mathematicians
806
00:50:26,800 --> 00:50:29,760
тратят все свое время думают о математических объектах, таких как сферы или
spend all their time thinking about mathematical objects like spheres or
807
00:50:29,760 --> 00:50:32,720
тельцы или что-то еще, но на самом деле они думают о картах
tauruses or whatever but really they're thinking about maps
808
00:50:32,720 --> 00:50:37,680
между различными объектами, так что я думаю, это справедливо сказать, что в первую очередь
between the different objects so i guess uh it's fair to say that first thing the
809
00:50:37,680 --> 00:50:42,800
фундаментальная группа - это карты из кругов в пространство, которое вас интересует,
fundamental group is maps from circles into the space you care about
810
00:50:42,800 --> 00:50:46,960
а затем есть карта, набор карт из сфер, а
and then there's the map the set of maps from spheres and then
811
00:50:46,960 --> 00:50:49,920
затем набор карт из трех сфер, и он явно
the set of maps from three spheres and it clearly
812
00:50:49,920 --> 00:50:54,079
обобщается до бесконечных чисел, да, абсолютно, но есть
generalizes to infinite numbers yeah absolutely absolutely but there's
813
00:50:54,079 --> 00:50:58,240
что-то особенное в группах, вы не получаете поля или кольца, которые
something special about the groups uh you don't get fields or rings which
814
00:50:58,240 --> 00:51:01,440
имеют две разные бинарные операции над ними, я думаю,
have two different binary operations on them i guess the
815
00:51:01,440 --> 00:51:03,760
последнее, что у меня есть в этом ракурсе,
last thing that i have in that in that angle is
816
00:51:03,760 --> 00:51:07,280
это что-то особенное в полях и кольцах, которые имеют две бинарные
is there something special about fields and rings that have two binary
817
00:51:07,280 --> 00:51:10,000
операции, которые на этом стоит остановиться, можем ли мы определить
operations that it's worth stopping there can we define
818
00:51:10,000 --> 00:51:15,920
три бинарные операции над множеством и сделать гиперкольца или что-то в этом роде,
three binary operations on a set and make hyper rings or something like that
819
00:51:15,920 --> 00:51:18,640
ну , я имею в виду, что вы знаете, что алгебра - очень
uh sure i mean you know algebra is a very
820
00:51:18,640 --> 00:51:22,559
гибкий предмет, и вы знаете, чтобы определить, что такое
flexible subject and um you know to define what an
821
00:51:22,559 --> 00:51:26,160
алгебра в полной общности, вам нужно, чтобы вы знали вид набора
algebra is in full generality you need you know kind of the collection of
822
00:51:26,160 --> 00:51:28,960
элементов, который вы рассматриваете, а затем вы можете указать
elements that you're considering and then you can specify
823
00:51:28,960 --> 00:51:32,960
произвольное количество операций с произвольными значениями, и вы можете указать
arbitrarily many operations with arbitrary arities and you can specify
824
00:51:32,960 --> 00:51:36,000
произвольный Между ними много правил, и вы знаете, что
arbitrarily many rules between them and you know the subject
825
00:51:36,000 --> 00:51:39,839
предмет универсальной алгебры предлагает вам рассмотреть такие примеры,
of universal algebra invites you to consider um examples like that
826
00:51:39,839 --> 00:51:42,960
давайте пригласим слушателей в аудитории, которые
let's invite uh listeners in the audience who are
827
00:51:42,960 --> 00:51:47,280
склонны в этом направлении, изучать универсальные алгебры, но мы собираемся
inclined in that direction to follow study universal algebras but we're going
828
00:51:47,280 --> 00:51:50,319
вернуться к топологии. и группы, которые,
to go back to the topology and the groups the the
829
00:51:50,319 --> 00:51:53,839
э-э, вы видите, сделали заявление, я просто хочу убедиться, что я понял,
uh you see made a statement there i just want to make sure that i get it clear
830
00:51:53,839 --> 00:52:00,720
гм, если я, если я выясню набор всех способов, которыми я могу отображать э-э
um if i if i figure out the set of all ways that i can map uh
831
00:52:00,720 --> 00:52:04,319
круги и сферы и трехмерные сферы и т. д. в
circles and spheres and three-dimensional spheres etc into a
832
00:52:04,319 --> 00:52:09,040
пространство, которое у меня есть, я не указал его
space i have i've not specified its
833
00:52:09,040 --> 00:52:13,200
топологию полностью, но я полностью указал его топологию гомотопического
topology completely but i've specified its homotopy
834
00:52:13,200 --> 00:52:16,720
типа, которая немного слабее, это правильно
type topology completely which is a slightly weaker thing is that right
835
00:52:16,720 --> 00:52:21,280
, это правильно да, хорошо, так что мы знаем ответ на общий вопрос
that's that's right yeah okay so do we know the answer to the general question
836
00:52:21,280 --> 00:52:24,000
о том, как полностью укажите топологию
of how to completely specify the topology of a
837
00:52:24,000 --> 00:52:28,720
пространства прямо, так что классический классический
space right uh so a classical the classical
838
00:52:28,720 --> 00:52:30,880
подход к этому, и это своего рода тавтология,
approach to that and it's kind of a tautology
839
00:52:30,880 --> 00:52:34,319
но давайте представим, что это теорема, а не топология, которую я имею в виду,
but um let's imagine it's a theorem as opposed to a topology i mean for
840
00:52:34,319 --> 00:52:37,520
если вы ограничитесь s Для пространств с правильным поведением это теорема, а если вы
if you restrict to sort of well-behaved spaces it's a theorem and if you
841
00:52:37,520 --> 00:52:40,720
берете общие пространства, это своего рода тавтология, но, гм
take general spaces it's kind of a tautology but um so
842
00:52:40,720 --> 00:52:43,280
, классический подход к этому — это именно то, что вы говорите, поэтому вы
the classical approach to this is exactly what you're saying so you
843
00:52:43,280 --> 00:52:46,800
описываете то, что называется типом гм n-й
describe what's called the um sort of nth
844
00:52:46,800 --> 00:52:51,440
гомотопической группы, как совокупность карт из n-сферы
homotopic group as the collection of maps from the n sphere
845
00:52:51,440 --> 00:52:54,559
в ваше пространство, а затем, поскольку это группа,
into your space and then because it's a group
846
00:52:54,559 --> 00:53:00,160
вам нужна операция композиции, которая для двух сфер я могу
you need a composition operation which uh for two spheres i can describe
847
00:53:00,160 --> 00:53:06,880
описать композицию, поэтому, если у меня есть карта из двумерной сферы
the composition so if i have a map from a two-dimensional sphere
848
00:53:06,880 --> 00:53:09,680
в пространство и карта из другого двухмерную сферу в космос,
into a space and a map from another two-dimensional sphere into the space
849
00:53:09,680 --> 00:53:13,599
и эти эти карты основаны на том, что они э-э-э, есть что-то вроде северного
and these these maps are based so they uh there's the kind of north
850
00:53:13,599 --> 00:53:16,720
полюса, и они отправляют их в одну и ту же точку в пространстве,
pole and they send them to the same point in the space
851
00:53:16,720 --> 00:53:20,240
вы можете представить себе, что вы берете другую двумерную сферу,
um you can imagine taking another two-dimensional sphere
852
00:53:20,240 --> 00:53:24,960
а затем сжимаете экватор до единая точка, поэтому, если у вас есть воздушный шар,
and then collapsing the equator to a single point so if you had a balloon
853
00:53:24,960 --> 00:53:28,319
и вы сжимаете точки на экваторе, вы как бы осторожно сжимаете их,
and you collapse the points on the equator you sort of squeeze at them
854
00:53:28,319 --> 00:53:31,680
чтобы они не лопнули, и теперь у вас есть единая точка, теперь вы
carefully so it doesn't pop and so now you have a single point now what you
855
00:53:31,680 --> 00:53:34,240
выглядите чем-то калом. привел букет сфер, это как
look like is something that's called a bouquet of spheres it's
856
00:53:34,240 --> 00:53:37,599
бы две разные сферы, которые склеены вместе
sort of two different spheres that are glued together
857
00:53:37,599 --> 00:53:40,640
вдоль точки, где раньше был экватор, и вы можете как бы
along the point where the equator used to be and you could sort of
858
00:53:40,640 --> 00:53:44,160
отобразить ее в пространство, потому что у вас есть две разные карты в пространстве,
map from that into the space because you have two different maps into the space
859
00:53:44,160 --> 00:53:48,000
которые имеют общую точку и хм своего рода
that uh have a common point and um sort of
860
00:53:48,000 --> 00:53:49,760
комбинация этой операции - это то, как вы
the combination of that operation is how you
861
00:53:49,760 --> 00:53:53,599
определяете композицию здесь, хорошо, и поэтому есть аналог
define the composition here okay good and so there's an analog of
862
00:53:53,599 --> 00:53:57,119
этого во всех измерениях, так что это классический подход к тому, чтобы сказать,
that in all dimensions so this is the classical approach to saying
863
00:53:57,119 --> 00:54:02,240
что такое пространство алгебраически, что это за алгебраические вещи, которые говорят вам
what is a space algebraically what are some algebra stuff that tell you
864
00:54:02,240 --> 00:54:05,680
обо всем что вы хотели бы знать о гомотопическом типе пространства,
everything that you would want to know about the homotope type of the space
865
00:54:05,680 --> 00:54:10,640
но современный подход восходит к идее фундаментальной группы um
but a modern approach goes back to the idea of the fundamental group um
866
00:54:10,640 --> 00:54:14,480
и заменяет ее чем-то, называемым фундаментальным
and but replaces it by uh something called the fundamental
867
00:54:14,480 --> 00:54:18,079
бесконечным группоидом, и, поскольку я обещал, я расскажу вам, слушатели, что именно бесконечная
infinity groupoid and since i promised i would tell you exactly listeners what an
868
00:54:18,079 --> 00:54:21,839
группа позволяет мне сделать это сейчас,
infinity group is let me let me do it now so um
869
00:54:21,839 --> 00:54:25,359
так что мне это нравится, потому что это похоже на более естественный способ
so i i like this because this feels like a kind of much more natural way to
870
00:54:25,359 --> 00:54:30,720
описать пространство, и еще раз Фундаментальное групповое
describe the space and uh again the the fundamental group
871
00:54:30,720 --> 00:54:33,200
слово гм, в зависимости от вашей точки зрения,
word um depending on your point of view
872
00:54:33,200 --> 00:54:35,359
либо это теорема, либо тавтология,
either it's a theorem or it's a tautology
873
00:54:35,359 --> 00:54:38,640
действительно отражает полный гомотопический тип пространства, так что же
really does capture the full homotopic type of the space so what is it
874
00:54:38,640 --> 00:54:44,079
это такое гм, так что это некоторая алгебраическая структура, с которой я собираюсь начать
it's um so it's some algebraic structure where i'm going to start with the set
875
00:54:44,079 --> 00:54:47,839
множество всех точек в пространстве, поэтому я забыл топологию, я забыл
of all points in the space so i've forgotten the topology i've forgotten
876
00:54:47,839 --> 00:54:50,880
о расстояниях и прочем, я просто помню множество точек,
about distances and stuff i'm just remembering the set of points
877
00:54:50,880 --> 00:54:54,000
ладно, вы знаете, потому что в алгебре у меня есть наборы и
okay uh you know because in algebra i have sort of sets and
878
00:54:54,000 --> 00:54:58,160
прочее, которых у меня нет эээ, геометрия, так что я просто помню набор точек в
stuff i don't have uh geometry so i just remember the set of the points in the
879
00:54:58,160 --> 00:55:00,880
пространстве, то, что я собираюсь добавить, это
space then what i'm going to throw in is the
880
00:55:00,880 --> 00:55:04,960
данные каждого возможного пути между любыми точками в пространстве,
data of every possible path between any points in the space
881
00:55:04,960 --> 00:55:09,359
это будет очень большая вещь, между прочим, так что теперь мы восстанавливаем
this is going to be a very big thing by the way so so we re recover now
882
00:55:09,359 --> 00:55:12,799
каждый возможный путь, который муравей мог пройти между точками в пространстве,
every possible path that an ant could take between points in the space
883
00:55:12,799 --> 00:55:16,960
и, кстати, композиция, я имею в виду, я должен сказать, что математики используют слово
and by the way composition i mean i got to say that mathematicians use the word
884
00:55:16,960 --> 00:55:20,079
данные в другом смысле, чем физики используют его,
data in a different sense than physicists use it
885
00:55:20,079 --> 00:55:23,359
о да, я имею в виду все наши наборы бесконечны, это нормально и
oh yeah i mean all of our sets are infinite it's fine and
886
00:55:23,359 --> 00:55:27,599
никаких проблем, когда вы говорите, как данные пути, вы имеете в виду любую информацию
no problems when you say like the data of a path you mean whatever information
887
00:55:27,599 --> 00:55:31,440
, необходимую для указания этого пути среди пространства всех путей,
is required to specify that path among the space of all the paths
888
00:55:31,440 --> 00:55:34,400
так что у нас есть все точки в пространстве, у нас есть все пути в пространстве
right so we have all the points in the space we have all the paths in the space
889
00:55:34,400 --> 00:55:37,599
сейчас, когда мы были думая о путях раньше, когда
now when we were thinking about paths before when we were talking about
890
00:55:37,599 --> 00:55:41,040
мы говорили о Тельце, о котором мы говорили, вы хорошо знаете, что мы только хотим рассмотреть
the taurus we were talking about you know well we only want to consider
891
00:55:41,040 --> 00:55:44,319
пути до того, чтобы быть по существу одним и тем же видом
paths up to being essentially essentially the same sort of
892
00:55:44,319 --> 00:55:47,680
непрерывно деформируемого, мы не делаем этого здесь, мы буквально запоминаем
continuously deformable we're not doing that here we're literally remembering
893
00:55:47,680 --> 00:55:50,559
каждый отдельный путь у каждого пути есть свой путь
every single path every path has a distinct path
894
00:55:50,559 --> 00:55:54,400
хорошо, но мы также будем помнить данные об этих непрерывных
good but we are also going to remember data of these continuous
895
00:55:54,400 --> 00:55:58,240
деформациях, так что есть понятие пути между
deformations so there's a notion of path between
896
00:55:58,240 --> 00:56:02,160
путями, если путь является картой из интервала в пространство,
paths if a path is a map from an interval into the space
897
00:56:02,160 --> 00:56:05,680
это непрерывная карта из квадрата в пространство
this is a continuous map from a square into the space an
898
00:56:05,680 --> 00:56:09,040
интервал, умноженный на интервал, является квадратом, и
interval times an interval is a square and
899
00:56:09,040 --> 00:56:12,480
поэтому карту квадрата в пространство можно понимать как путь между путями,
so a map from a square into space can be understood as a path between paths sort
900
00:56:12,480 --> 00:56:16,400
где одно ребро проходит как один путь, где проходит другое ребро. другой путь,
of where one edge goes as one path where the other edge goes is the other path
901
00:56:16,400 --> 00:56:20,000
а затем какое-то другое направление, другое измерение дает
and then the sort of other direction the other dimension is giving the
902
00:56:20,000 --> 00:56:23,440
тип пути между путями, поэтому мы будем помнить все эти пути, а также
kind of path between paths so we're going to remember all of those as well
903
00:56:23,440 --> 00:56:25,680
все эти пути между путями, поэтому они называются
all of these paths between paths so these are called
904
00:56:25,680 --> 00:56:29,040
гомотопиями, и тогда нет причин остановиться на двух
homotopies and then there's no reason to stop at two
905
00:56:29,040 --> 00:56:32,160
измерениях, чтобы мы могли взять три интервала, произведенных вместе, это
dimensions so we could take three intervals producted together that's a
906
00:56:32,160 --> 00:56:34,720
куб, запомнить все эти карты в
cube remember all of those maps into the
907
00:56:34,720 --> 00:56:37,280
пространстве, это пути между путями между путями,
space these are paths between paths between paths
908
00:56:37,280 --> 00:56:40,319
и тогда мы могли бы выбрать пути между путями между путями между путями, пройти
and then we could take paths between paths between paths between paths pass
909
00:56:40,319 --> 00:56:42,880
между, пройти между, пройти между, пройти между. быстро и полностью вверх, и это
between pass between pass between pass between fast and all the way up and that
910
00:56:42,880 --> 00:56:45,359
уходит в бесконечность, это бесконечный группоид,
goes to infinity that's the infinity groupoid
911
00:56:45,359 --> 00:56:49,839
так что данные, я имею в виду, это кажется, что это может быть не улучшение, но почему-то
so that data i mean this feels like it's maybe not an improvement but somehow
912
00:56:49,839 --> 00:56:53,440
да, это что-то вроде того, что алгебраическая структура
yeah it's something somehow that algebraic structure
913
00:56:53,440 --> 00:56:59,280
э-э-э-э, вы знаете, что оба э-э-м описывают полный гомотопический тип
uh um you know both uh describes the full homotopic type of a
914
00:56:59,280 --> 00:57:03,040
пространство, которое является полезным способом думать об этом, но также
space which is a useful way to think about it but also
915
00:57:03,040 --> 00:57:07,839
предлагает вам представить обобщение для другого мира,
invites you to imagine a generalization to a different world
916
00:57:07,839 --> 00:57:12,720
который еще дальше удален от геометрия, в которой вы можете себе представить, что некоторые из этих
that's further removed from the geometry where you can imagine some of these
917
00:57:12,720 --> 00:57:16,640
путей больше необратимы, это своего рода пути с односторонним движением,
paths are no longer invertible anymore these are sort of one-way
918
00:57:16,640 --> 00:57:20,319
хорошо, вы знаете, вы не сможете вернуться назад по
paths okay you know you you might not be able to go backwards for
919
00:57:20,319 --> 00:57:23,760
какой-либо причине, и теперь это мир бесконечномерной
whatever reason and this is now the world of infinite dimensional category
920
00:57:23,760 --> 00:57:27,599
теории категорий и это действительно то место, где я так хорошо работаю, так что
theory and that's really where i work so well so which brings up a couple
921
00:57:27,599 --> 00:57:29,839
возникает пара вещей, которые я просто должен убрать там, где ты был в ударе, поэтому я
there's a couple things i just got to clean up there you were on a roll so i
922
00:57:29,839 --> 00:57:34,079
просто хотел, чтобы ты продолжал, поэтому одно дело - просто напомнить людям,
just wanted to let you keep going so one thing is just to remind folks
923
00:57:34,079 --> 00:57:39,119
когда ты говорил об этом путь между двумя путями
when you talked about the path between two paths right the
924
00:57:39,119 --> 00:57:42,799
прямо куб извините квадрат, который был картой в него
the cube sorry the square that was a map into it
925
00:57:42,799 --> 00:57:47,359
что этот путь между двумя путями может не существовать если два пути
that that path between two paths might not exist if the if the two paths are
926
00:57:47,359 --> 00:57:49,520
не гомотопически эквивалентны что между ними не будет
not homotopically equivalent that there won't be
927
00:57:49,520 --> 00:57:53,599
никакого пути так что есть какой-то структура в пространстве того, какие
any path between them so there's some structure in the space of what
928
00:57:53,599 --> 00:57:57,440
прокладки между путями существуют прямо по тому, что присутствует, а что отсутствует, это
pads between paths exist right by what's present and what's absent that's a
929
00:57:57,440 --> 00:58:00,799
прекрасный способ сказать, что это здорово, а другой был
beautiful way to say it great and the other one was this is a
930
00:58:00,799 --> 00:58:04,960
немного не по теме, но когда вы сделали гм объяснение ион
little bit off topic but when you did the um explanation of the
931
00:58:04,960 --> 00:58:07,839
сферы, и вы сжали его на экваторе,
sphere and you squeezed it down at the equator
932
00:58:07,839 --> 00:58:10,720
чтобы получить букет, не только очень красивый язык,
to get the bouquet not only is the language very beautiful but
933
00:58:10,720 --> 00:58:15,200
но и визуализация очень убедительна, и одна вещь, которую всегда спрашивают,
the visualization is very compelling and one one thing that always gets asked
934
00:58:15,200 --> 00:58:19,680
как вы визуализируете бесконечный группоид, это то, что что-то, э-э
how do you visualize the infinity groupoid is that something that uh
935
00:58:19,680 --> 00:58:23,599
, что вам нужно сделать, вы приближаете бесконечность к двум
is necessary for you to do do you approximate infinity by two
936
00:58:23,599 --> 00:58:27,599
или есть какой-то другой трюк, э-э, это сложно,
or is there some other trick uh it's hard
937
00:58:27,599 --> 00:58:31,359
я не знаю, я не знаю, я имею в виду, что вы как бы представляете себе маленький кусочек
i don't know i don't know i mean you you sort of imagine a little piece of it at
938
00:58:31,359 --> 00:58:35,440
за раз, а затем я не знаю не знаю, эм, да, это сложно, хорошо
a time and then i don't know um yeah it's hard okay
939
00:58:35,440 --> 00:58:38,559
, это честно, совершенно честно, я в основном даю тот
that's fair completely fair i i i basically give the
940
00:58:38,559 --> 00:58:41,520
же ответ, я говорю, вы не знаете, что вы делаете двухмерные или
same answer i say you don't you know you do the two-dimensional or
941
00:58:41,520 --> 00:58:43,920
трехмерные примеры, которые вы можете получить, но
three-dimensional examples you can get but
942
00:58:43,920 --> 00:58:47,200
в какой-то момент вы должны доверять уравнениям вы толкаетесь,
at some point you have to trust uh the equations you're pushing around
943
00:58:47,200 --> 00:58:51,440
и я не думаю, что мы достаточно подробно разобрали разницу между группой и
and i don't think we've quite elaborated the difference between a group and a
944
00:58:51,440 --> 00:58:55,440
группой, верно, так что разница между
group boyd right so the the difference between a
945
00:58:55,440 --> 00:59:00,240
группой в том, что пример фундаментальной
group is uh so the example of a fundamental group
946
00:59:00,240 --> 00:59:02,880
группы элементы группы на самом деле являются петли
the elements of the group are actually the loops
947
00:59:02,880 --> 00:59:08,160
й Сами по себе мы как бы зафиксировали исходную
themselves we've kind of fixed as priorly given data the
948
00:59:08,160 --> 00:59:11,520
базовую точку для муравья в качестве ранее предоставленных данных, а затем единственными
home base point for the ant and then the only
949
00:59:11,520 --> 00:59:15,839
дополнительными данными, которые мы записываем, являются петли в пространстве,
further data we record are the the loops in the space
950
00:59:15,839 --> 00:59:22,079
поэтому в группе void вы не фиксируете базовую точку, вы разрешаете другую базу
so in a group void you don't fix a base point you allow different base
951
00:59:22,079 --> 00:59:25,040
точки, то есть разные точки на поверхности
points so the different points on the surface of
952
00:59:25,040 --> 00:59:29,920
или в пространстве, и теперь у вас есть два уровня данных, у вас есть
or in the space and uh now so now you have kind of two levels of data you have
953
00:59:29,920 --> 00:59:32,559
коллекция разных точек, а затем у
the collection of different points and then
954
00:59:32,559 --> 00:59:35,920
вас также есть пути между разными точками,
you also have the paths between the different points
955
00:59:35,920 --> 00:59:40,640
хорошо, это то, что я значит за пределами мира топологии и гомо топи
okay is this is this i mean outside of the world of topology and homo topi
956
00:59:40,640 --> 00:59:43,839
это эээ есть группоиды я имею в виду группы
is is uh are there groupoids i mean groups
957
00:59:43,839 --> 00:59:48,240
физики используют группы все время правильно sg3 крест su-2 крест u1 это
physicists use groups all the time right sg3 cross su-2 cross u1 is the symmetry
958
00:59:48,240 --> 00:59:50,319
группа симметрии стандартной модели физики элементарных частиц
group of the standard model of particle physics
959
00:59:50,319 --> 00:59:53,119
которую мы никогда не использовали слово groupoid, если только мы не тайные
we've we never use the word groupoid unless like we're secretly
960
00:59:53,119 --> 00:59:56,480
математики, так что просто в абстрактном смысле есть ли
mathematicians so just in the abstract sense is there a
961
00:59:56,480 --> 01:00:01,280
разница, да, конечно, так что все ваши группы являются
difference yeah sure so your groups are all automorphism
962
01:00:01,280 --> 01:00:05,040
группами автоморфизмов некоторого объекта, верно, и это фиксированный объект, так что
groups of some object right and it's a fixed object so
963
01:00:05,040 --> 01:00:09,040
вы знаете, что думаете об автомо r3 или автоморфизмы
you know you're thinking about automorphisms of r3 or automorphisms of
964
01:00:09,040 --> 01:00:12,880
r4 или что-то вроде r3 с выбранной ориентацией или что-то в этом роде, чтобы
r4 or sort of r3 with a chosen orientation or something like that so
965
01:00:12,880 --> 01:00:16,160
все ваши группы были группами автоморфизмов фиксированного объекта
your groups were all automorphism groups of a fixed object
966
01:00:16,160 --> 01:00:19,760
в групповом слове, у вас есть разные объекты, так что это уже не один объект
in a group word you have different objects so there's not just one object
967
01:00:19,760 --> 01:00:23,200
, есть разные объекты и это точно многообъектный аналог
anymore there are different objects and it's exactly the many object analog of a
968
01:00:23,200 --> 01:00:25,280
группы хорошо, я вижу, что это не так уж плохо, и
group okay i see that's not so bad and
969
01:00:25,280 --> 01:00:28,079
автоморфизм - это просто отображение из пространства в себя
automorphism is just a map from a space to itself
970
01:00:28,079 --> 01:00:31,920
, это правильно да хорошо хорошо хорошо да да извините,
is that right yeah okay good good yeah yeah sorry
971
01:00:31,920 --> 01:00:36,720
так что мы все знаем, какие автоморфизмы среди наших друзей хорошо теперь конечно
so we all know what automorphisms are among our friends okay now of course
972
01:00:36,720 --> 01:00:40,319
, тогда ладно, хорошо, извините, есть много уточняющих вопросов, но тогда давайте
so then okay good sorry there's a lot of clarifying questions but then let's get
973
01:00:40,319 --> 01:00:45,359
вернемся к изюминке здесь, бесконечный группоид,
back to the punch line here the infinity groupoid uh
974
01:00:45,359 --> 01:00:48,640
своего рода топологический смысл всех различных путей,
the sort of topological sense of all the different paths
975
01:00:48,640 --> 01:00:53,040
которые мы можем отобразить в пространство и пути между путями. и пути
that we can map into um the space and the paths between the paths and paths
976
01:00:53,040 --> 01:00:56,319
между путями путей, поэтому, если бы мы знали вес бесконечной
between the paths of paths so if we knew the infinity group weight
977
01:00:56,319 --> 01:01:00,720
группы пространства, мы бы знали, что все, что я имею в виду, хорошо
of a space we would know what everything everything i mean well
978
01:01:00,720 --> 01:01:03,520
все, если вы заботитесь только о спа до гомотопии,
everything if you only care about the space up to homotopy
979
01:01:03,520 --> 01:01:07,520
я имею в виду, если вы хотите сказать, что n- мерное евклидово пространство такое же,
i mean if you're willing to say that n dimensional euclidean space is the same
980
01:01:07,520 --> 01:01:10,079
как точка, нет никакой разницы,
as a point there's no difference whatsoever
981
01:01:10,079 --> 01:01:12,880
тогда да, теперь вы знаете все о пространстве, я имею в виду, если вы заботитесь о
then yes you know everything about the space now i mean if you care about
982
01:01:12,880 --> 01:01:15,760
геометрии, измерениях или подобных вещах. тогда
geometry or dimension or things like that then
983
01:01:15,760 --> 01:01:19,280
вы знаете, что это неправильная точка зрения, но это нормально, но
you know this is not the right point of view but that's okay but for
984
01:01:19,280 --> 01:01:22,640
для тельца, когда вы сказали, что знаете, давайте вычислим фундаментальную
the taurus when you said you know let's calculate the fundamental
985
01:01:22,640 --> 01:01:26,400
группу, и мы заметили, что это выглядело так для сферы,
group and we noticed that it looked like so for the sphere the
986
01:01:26,400 --> 01:01:28,960
фундаментальная группа была просто тривиальной, всего один элемент,
fundamental group was just trivial just one element
987
01:01:28,960 --> 01:01:32,319
э-э, для Телец это две копии целых чисел,
uh for the taurus it's two copies of the integers
988
01:01:32,319 --> 01:01:35,359
так что это в основном два целых числа, которые вы только что мне дали, есть ли там,
so it's basically two integers you just give me is there
989
01:01:35,359 --> 01:01:39,680
как я вообще могу выразить, что такое бесконечный группоид пространства
how do i even express uh what the infinity groupoid of a space
990
01:01:39,680 --> 01:01:45,599
, э-э, так что позвольте мне вернуться к сфере
is uh right so let me move back to the sphere
991
01:01:45,599 --> 01:01:48,319
из-за двух сфер, потому что это немного проще описать здесь,
because of the two sphere because it's a little easier to describe here
992
01:01:48,319 --> 01:01:53,040
так что если мы думаем о петлях в двух сферах или о путях в
so um if we're thinking about the loops in the two sphere or the paths in the
993
01:01:53,040 --> 01:01:55,839
двух сферах, то нет ничего интересного, если у вас есть любые две
two sphere there's kind of nothing interesting to say if you have any two
994
01:01:55,839 --> 01:01:58,559
точки на так
points on the sorry the two sphere is the
995
01:01:58,559 --> 01:02:01,280
Если у вас есть две точки на сфере, вы можете соединить
ordinary sphere if you have any two points on a sphere you can connect
996
01:02:01,280 --> 01:02:04,640
их путем, и в некотором смысле все пути одинаковы, вы можете
them by a path and there's a sense in which all paths are the same you could
997
01:02:04,640 --> 01:02:07,520
непрерывно деформировать любой путь от x до y в любой
continuously deform any path from x to y into any
998
01:02:07,520 --> 01:02:12,880
другой путь из x к y, но теперь, если мы подумаем об этих
other path from x to y but now if we think about these
999
01:02:12,880 --> 01:02:15,520
двухмерных путях между путями, они будут
two-dimensional paths between paths there are
1000
01:02:15,520 --> 01:02:18,640
принципиально разными, и это действительно удивительно, так что
fundamentally different ones and this is really surprising so
1001
01:02:18,640 --> 01:02:21,920
в одном измерении все пути каким-то образом одинаковы на сфере, но в двух
in one dimension all paths are somehow the same on the sphere but in two
1002
01:02:21,920 --> 01:02:26,079
измерениях пути могут быть совершенно разными, поэтому хм,
dimensions uh paths can be quite different so um
1003
01:02:26,079 --> 01:02:29,440
так что, если я хочу подумать о путях между путями, и поэтому я должен
so if i want to think about paths between paths and so i should
1004
01:02:29,440 --> 01:02:34,720
сначала исправить два пути, так что
fix the two paths first so um let's start at the
1005
01:02:35,200 --> 01:02:38,480
давайте начнем с северного полюса и южного полюса, так что это будут пути
let's start at the north pole and the south pole so these will be paths from
1006
01:02:38,480 --> 01:02:41,280
от северного полюса к южному полюсу и один из путей, который я хочу пройти,
the north pole to the south pole and one of the paths i want to take
1007
01:02:41,280 --> 01:02:45,680
- это международная линия перемены дат, поэтому где-то через Тихий океан,
is the international date line so somewhere through the pacific ocean
1008
01:02:45,680 --> 01:02:49,119
а другой путь, который я хочу пройти, - это нулевой меридиан, который, я не знаю
and the other path i want to take is the prime meridian which is i don't know
1009
01:02:49,119 --> 01:02:51,839
, проходит через Англию или что-то в этом роде.
it's through england or something like that
1010
01:02:51,839 --> 01:02:55,200
где еще так правильно так там гринвич и тихий океан
okay somewhere else so right so there's the greenwich one and the pacific ocean
1011
01:02:55,200 --> 01:02:57,920
так что это оба пути от северного полюса к южному полюсу
so those are both paths from the north pole to the south pole
1012
01:02:57,920 --> 01:03:02,559
теперь путь между путями это непрерывная карта
now a path between paths is a continuous map from
1013
01:03:02,559 --> 01:03:05,839
из квадрата на поверхность земли которая отправляет
a square onto the surface of the earth that sends
1014
01:03:05,839 --> 01:03:09,520
один край к нулевой меридиан и другой край
one edge to the prime meridian and the other edge to the
1015
01:03:09,520 --> 01:03:13,520
международной линии перемены дат, и одна из них будет охватывать
international date line and one of them is the one that would cover
1016
01:03:13,520 --> 01:03:17,920
Азию, которая будет идти на восток от нулевой точки меридиана до международной линии перемены дат,
asia that would go east from the prime meridian to the international date line
1017
01:03:17,920 --> 01:03:19,599
а другая - та, которая будет
and the other one is the one that would cover
1018
01:03:19,599 --> 01:03:25,599
охватывать новый мир, так что вперед запад, э-э и гм, они принципиально отличаются
the new world so go west uh and um those are fundamentally different
1019
01:03:25,599 --> 01:03:29,599
в том смысле, что нет трехмерного пути, нет пути между
in the sense that there is no three-dimensional path no path between
1020
01:03:29,599 --> 01:03:33,760
путями, между путями, которые постоянно деформируют один
paths between paths that uh continuously deforms the one to
1021
01:03:33,760 --> 01:03:36,079
в другой, если бы вы могли пройти через
the other if you could pass through the core
1022
01:03:36,079 --> 01:03:40,079
ядро земли, вы могли бы это сделать, но мы Ес мы должны оставаться на поверхности, это не
of the earth you could do that but we're we have to stay in the surface it's not
1023
01:03:40,079 --> 01:03:43,520
разрешено, так что в этом смысле фундаментальная
allowed so um in this sense the fundamental
1024
01:03:43,520 --> 01:03:45,520
группа или фундаментальная группа или что-
group or the fundamental group or the sort of
1025
01:03:45,520 --> 01:03:48,880
то одномерное не описывает всего, что происходит на поверхности.
one-dimensional thing does not describe everything that's going on on the
1026
01:03:48,880 --> 01:03:52,079
поверхность сферы, но как только мы допускаем эти вещи из более высоких измерений,
surface of the sphere but once we allow these higher dimensional things
1027
01:03:52,079 --> 01:03:57,200
мы получаем все, и это ваша повседневная работа, в которой вы
um we do get everything and it's your is the kind of day job that you're
1028
01:03:57,200 --> 01:04:02,160
участвуете в более фактическом вычислении фундамента бесконечного группоида
involved in more actually calculating the fundament the infinity groupoid of
1029
01:04:02,160 --> 01:04:06,400
того или иного или это более доказательно теоремы о свойствах
this or that or is it more proving theorems about properties of
1030
01:04:06,400 --> 01:04:10,319
слов бесконечной группы , да, это отличный вопрос,
infinity group words right it's so that's a great question
1031
01:04:10,319 --> 01:04:13,599
потому что это очень активные области,
because those are both very active areas there are a lot of researchers working
1032
01:04:13,599 --> 01:04:15,839
над обеими проблемами работает много исследователей, я не делаю
on both both problems i don't do the
1033
01:04:15,839 --> 01:04:20,240
расчеты сам, они очень сложные, вы знаете, я делаю добро со
calculations myself they're very hard you know i do kind of the
1034
01:04:20,240 --> 01:04:24,240
стороны теории, но некоторые из моих коллег работают над вычислениями, я уверен, что
theory side but some of my colleagues work on the calculations i'm sure it
1035
01:04:24,240 --> 01:04:26,480
всем приятно, что вы на самом деле не делаете сложную часть, вы просто
makes everyone feel good that you don't really do the hard part you're just
1036
01:04:26,480 --> 01:04:29,760
делаете простую часть правильного перемещения теорем о бесконечных групповых точках,
doing the simple part of moving theorems about infinity group points
1037
01:04:29,760 --> 01:04:34,160
и это Кроме того, эта дискуссия замечательна, потому
right and it also this discussion is wonderful because
1038
01:04:34,160 --> 01:04:38,559
что вы знаете, что скрывается за языком, который вы используете в том, как вы
it does you know beneath the surface in the language that you use in the way you
1039
01:04:38,559 --> 01:04:42,799
говорите об этом. Роль карт между
talk about it uh the role of the maps between the
1040
01:04:42,799 --> 01:04:46,720
различными пространствами действительно сияет. Вы знаете, вы знаете, просто подумайте обо всех
different spaces really shines through you know you know just think of all the
1041
01:04:46,720 --> 01:04:49,359
пространствах, которые вы можете изобрести, и обо всех различных способах их отображения
spaces you can invent and all the different ways you can map them
1042
01:04:49,359 --> 01:04:54,480
в каком-то смысле, и это подводит нас к теме теории категорий, которая
in in some sense and that sneaks us up into the topic of category theory which
1043
01:04:54,480 --> 01:04:56,319
на самом деле не является нашей целью, но я не хочу,
is not really our focus here but i don't wanna
1044
01:04:56,319 --> 01:05:00,079
я не хочу оставлять аудиторию полностью лишенной теории категорий,
i don't wanna like leave the audience completely uh bereft of category theory
1045
01:05:00,079 --> 01:05:03,440
пока мы здесь, так как же нам перейти от топологии к
while we're here so how do we get from topology to
1046
01:05:03,440 --> 01:05:07,680
теории категорий?
category theory sure um i mean again there's lots of
1047
01:05:07,680 --> 01:05:10,160
different roots in but maybe the one that's most
1048
01:05:10,160 --> 01:05:15,599
этот разговор и это своего рода возвращение к этому, э-э,
relevant to this conversation and this is kind of back to this uh
1049
01:05:15,839 --> 01:05:19,200
назад к разговору и философии, с которой мы начали, это
back to the conversation and philosophy that we started off with is
1050
01:05:19,200 --> 01:05:23,760
гм, так что фундаментальная теорема и теория категорий
um so the fundamental theorem and category theory
1051
01:05:23,760 --> 01:05:27,039
или каким-то образом выражают основную философию теории категорий, эта
or somehow that that's expressing the core philosophy of category theory this
1052
01:05:27,039 --> 01:05:29,359
штука, называемая леммой унита, говорит, что если у вас есть
thing called the unita lemma says that if you have
1053
01:05:29,359 --> 01:05:33,359
какой-либо математический объект, это может быть топологическое пространство,
any sort of mathematical object it could be a topological space
1054
01:05:33,359 --> 01:05:36,799
или это может быть векторное пространство, или это может быть кольцо, или это может быть поле,
or it could be a vector space or it could be a ring or it could be a field
1055
01:05:36,799 --> 01:05:40,000
или любой другой математический объект, который вы можете
or whatever any sort of mathematical object you can
1056
01:05:40,000 --> 01:05:42,240
понять все, что вы хотите знать об
understand everything that you want to know about
1057
01:05:42,240 --> 01:05:46,480
этом, рассматривая другие объекты того же типа, такие как
it by considering the other objects of that same type so
1058
01:05:46,480 --> 01:05:49,119
другие пространства, или другие кольца, или другие поля,
other spaces or other rings or other fields
1059
01:05:49,119 --> 01:05:54,400
и карты между ними настолько правильно, что в
and the maps between them so right so what this is saying in the case
1060
01:05:54,400 --> 01:05:59,039
случае пространств это говорит о том, что если у вас есть э-э неизвестное пространство x, и вы пытаетесь
of spaces is that if you have uh unknown space x and you're trying to
1061
01:05:59,039 --> 01:06:03,680
понять это пространство, так что мы не знаем, каковы его измерения, каковы его
understand that space so we don't know sort of what its dimensions are what its
1062
01:06:03,680 --> 01:06:05,680
точки, мы ничего о нем не знаем ...
points are we don't know anything about it
1063
01:06:05,680 --> 01:06:10,000
теорема из теории категорий, джанета лама говорит, что вы можете полностью
um a theorem in category theory the janeta lama says that you can completely
1064
01:06:10,000 --> 01:06:14,160
охарактеризовать ваше неизвестное пространство , рассматривая другие пространства, то есть все
characterize your unknown space by considering the other spaces so all
1065
01:06:14,160 --> 01:06:17,520
эти сферы, торы и другие поверхности и все, что угодно во всех
these spheres and tori and other surfaces and whatever in all
1066
01:06:17,520 --> 01:06:20,880
измерениях, а затем непрерывные карты из этого в ваше пространство
dimensions and then the continuous maps from that into your space
1067
01:06:20,880 --> 01:06:24,480
х, хорошо, что в этом крутого результата, поэтому мы
x well okay what's cool about that result so we
1068
01:06:24,480 --> 01:06:28,480
уже использовали эту идею в топологии для понимания пространств,
were using this idea in topology already to understand spaces
1069
01:06:28,480 --> 01:06:32,160
но что круто, это совершенно не зависит от математического контекста,
but what's cool is it's completely independent of the mathematical context
1070
01:06:32,160 --> 01:06:35,839
поэтому та же теорема верна для колец, вы можете
so the same theorem is true for rings you can understand
1071
01:06:35,839 --> 01:06:40,640
понять кольцо, думая о других кольцах и кольцевые гомоморфизмы между ними, вы
a ring by thinking about other rings and the ring homomorphisms between them you
1072
01:06:40,640 --> 01:06:43,920
можете понять группу, думая о других группах и групповых гомоморфизмах
can understand a group by thinking about other groups and the group homomorphisms
1073
01:06:43,920 --> 01:06:47,359
между ними.
between them this works in any mathematical context
1074
01:06:47,359 --> 01:06:51,599
whatsoever it's again a little bit uh related to
1075
01:06:51,599 --> 01:06:55,039
some ideas in physics that we should always be talking about
1076
01:06:55,039 --> 01:06:58,880
разные вещи, а не внутренние сущности
relations between different things rather than intrinsic essences
1077
01:06:58,880 --> 01:07:04,319
самих вещей, так что да, абсолютно, и почему это называется
of things themselves so yeah absolutely absolutely and and why is this called
1078
01:07:04,319 --> 01:07:06,400
теорией категорий, например, давайте просто стиснем зубы и скажем
category theory like let's just bite the bullet and tell
1079
01:07:06,400 --> 01:07:10,799
людям, что категория, возможно, уверена, поэтому я имею в виду, что категория - это что-то вроде очень
people what a category is maybe sure so i mean a category is kind of like a very
1080
01:07:10,799 --> 01:07:13,440
общего шаблона для математическая теория, так что у
general template for a mathematical theory so
1081
01:07:13,440 --> 01:07:16,559
Барри Мазура есть эта метафора, это как что-то с
barry mazur has this metaphor it's like something with uh
1082
01:07:16,559 --> 01:07:21,359
существительными и глаголами, поэтому категория задается набором объектов, это
nouns and verbs so a category is given by a collection of objects these are the
1083
01:07:21,359 --> 01:07:23,440
существительные, и что вы должны думать здесь, это
nouns and what you should think of here are
1084
01:07:23,440 --> 01:07:27,359
как все кольца все возможные кольца, так что целые числа и рациональные числа,
like all the rings all the possible rings so the integers and the rationals
1085
01:07:27,359 --> 01:07:31,839
и многочлены, и матрицы, и бла-бла, так что все кольца
and the polynomials and matrices and blah blah so all the rings
1086
01:07:31,839 --> 01:07:36,400
гм, и тогда у вас также есть с орт
um and then you also have the sort of
1087
01:07:36,400 --> 01:07:40,319
функций между ними, поэтому в случае колец это будут функции, которые
functions between them so in the case of rings these would be functions that
1088
01:07:40,319 --> 01:07:42,799
соблюдают законы сложения и умножения, в
respect the addition and multiplication laws in the
1089
01:07:42,799 --> 01:07:45,760
случае пространств это будут непрерывные функции
case of spaces these would be continuous functions
1090
01:07:45,760 --> 01:07:50,799
и своего рода совокупность информации объекты, такие как пространства и
and sort of that totality of information the objects like the spaces and the
1091
01:07:50,799 --> 01:07:54,559
функции, непрерывные функции или карты между ними и их композицией
functions the continuous functions or maps between them and their composition
1092
01:07:54,559 --> 01:07:58,400
и т. д., это категория, и что в этом хорошего, так это то,
and so on that's a category and what's great about this
1093
01:07:58,400 --> 01:08:01,359
что каждое слово, которое вы говорите, имеет смысл,
is every word you say makes perfect sense
1094
01:08:01,359 --> 01:08:03,839
и в конце я не совсем понимаю,
and at the end i'm left not quite knowing
1095
01:08:03,839 --> 01:08:06,880
каковы последствия этих идей, я имею в виду, вот где
what the implications of these ideas are i mean that's where
1096
01:08:06,880 --> 01:08:10,960
это черт возьми, детали правы, ты вознесся в это платоническое
that's the devil being the details right you've ascended to this platonic realm
1097
01:08:10,960 --> 01:08:12,960
царство прекрасной абстракции, где есть
of of wonderful abstraction where there's
1098
01:08:12,960 --> 01:08:16,960
только вещи и карты между ними, так как же ты знаешь, в чем польза, в
just things and maps between them so how do you what's the usefulness
1099
01:08:16,960 --> 01:08:19,120
чем выгода от этого, какова
what's the cashing out of this what is the
1100
01:08:19,120 --> 01:08:22,560
свободная рыночная стоимость хорошей теории категорий? так
free market value of a good category theory right so
1101
01:08:22,560 --> 01:08:27,600
что я имею в виду одну приятную вещь в теории категорий: вы можете просто сказать, когда две
um i mean one nice thing about category theory is you can just say when two
1102
01:08:27,600 --> 01:08:31,600
категории одинаковы в существенном смысле, так что нет
categories are the same in a essential sense so there's a notion
1103
01:08:31,600 --> 01:08:34,719
Ион эквивалентности между категориями, и я приведу вам мой любимый пример,
of equivalence between categories and i'll give you my favorite example
1104
01:08:34,719 --> 01:08:41,600
так что есть категория, объекты которой являются векторными пространствами,
so um there's a category whose objects are vector spaces
1105
01:08:41,600 --> 01:08:43,600
которые являются чем-
which are um something that are kind of
1106
01:08:43,600 --> 01:08:46,640
то фундаментальным в современной квантовой физике,
fundamental in in sort of modern quantum physics so
1107
01:08:46,640 --> 01:08:49,920
поэтому векторное пространство похоже на коллекцию. векторов с векторным
a vector space is like a you know collection of vectors with vector
1108
01:08:49,920 --> 01:08:54,400
сложением и скалярным умножением, а затем преобразования
addition and scalar multiplication and then the the sort of transformations
1109
01:08:54,400 --> 01:08:58,400
между векторными пространствами называются линейными преобразованиями, так что это
between vector spaces are called linear transformations so there's so this is
1110
01:08:58,400 --> 01:09:01,839
своего рода объекты категории хлеба с маслом или векторные пространства, а
kind of a bread and butter category objects or vector spaces uh the
1111
01:09:01,839 --> 01:09:04,640
карты - это преобразования, которые являются своего рода функциями между эти векторные
maps are transformations which are some sort of functions between these vector
1112
01:09:04,640 --> 01:09:07,359
пространства теперь есть еще одна категория, которую
spaces now there's another category that's kind
1113
01:09:07,359 --> 01:09:11,839
намного проще определить, поэтому объекты в этой категории являются просто
of a lot simpler to define so the objects in this category are just
1114
01:09:11,839 --> 01:09:15,199
натуральными числами, поэтому я точно знаю, сколько
natural numbers so they're i know exactly how many
1115
01:09:15,199 --> 01:09:18,000
существует объектов, каждое натуральное число является объектом, других объектов нет
objects there are each natural number is an object there are no other objects
1116
01:09:18,000 --> 01:09:22,239
, вот и все а теперь мне нужно сказать, что такое
that's it and now i need to say sort of what an
1117
01:09:22,239 --> 01:09:25,199
преобразование натуральных чисел ноль один два
transformation natural numbers are zero one two three
1118
01:09:25,199 --> 01:09:28,640
три положительный ноль один отрицательный пять целых чисел, да, абсолютно нормально,
the positive zero one negative integers yeah absolutely okay
1119
01:09:28,640 --> 01:09:33,040
так что теперь мне нужно сказать, что это за преобразование или что такое
so so now i need to say what a sort of transformation or what an arrow
1120
01:09:33,040 --> 01:09:36,880
стрелка от одного числа, скажем, пяти до другого
is from one number let's say five to another
1121
01:09:36,880 --> 01:09:39,520
числа восемь, и что это будет, это будет
number eight and what it is is it's going to be an
1122
01:09:39,520 --> 01:09:44,239
матрица восемь на пять, хорошо, так что сделай что-нибудь категорией мне
eight by five matrix okay um so to make something a category i
1123
01:09:44,239 --> 01:09:46,000
нужно рассказать тебе об объектах и
need to tell you about the objects and the
1124
01:09:46,000 --> 01:09:49,040
елках между ними и это то, что я сд лал натуральные числа это об
arrows between them and that's what i've done the natural numbers are the objects
1125
01:09:49,040 --> 01:09:52,560
екты матрицы это стрелки но ебе также нужен закон композиции так что мне ну
the matrices are the arrows but you also need a composition law so i
1126
01:09:52,560 --> 01:09:55,920
ен способ вз ть матрица пять на восемь и матрица восемь на
need a way to take a five by eight matrix and an eight by
1127
01:09:55,920 --> 01:09:58,640
семь и получить матрицу пять на семь
seven matrix and produce a five by seven matrix
1128
01:09:58,640 --> 01:10:02,640
хм, но для этого есть вещь, которая называется умножением матриц
um but there's a thing for that it's called matrix multiplication
1129
01:10:02,640 --> 01:10:05,920
, это операция, которая удовлетворяет аксиомам категории,
it's an operation that's satisfies the axioms of category
1130
01:10:05,920 --> 01:10:09,360
так что это две очень разные по звучанию категории, с одной стороны я есть это
so those are two very different sounding categories on the one hand i have this
1131
01:10:09,360 --> 01:10:12,320
как очень абстрактный комп, вы знаете очень большую
like very abstract comp you know very large
1132
01:10:12,320 --> 01:10:15,920
вещь обо всех векторных пространствах и всех линейных преобразованиях между ними,
thing of all vector spaces and all linear transformations between them and
1133
01:10:15,920 --> 01:10:19,360
а с другой стороны, у меня есть такая игрушечная категория с натуральными числами и
then on the other hand i have this kind of toy category with natural numbers and
1134
01:10:19,360 --> 01:10:23,920
m матрицы и эти категории эквивалентны, поэтому
matrices and those categories are equivalent so
1135
01:10:23,920 --> 01:10:28,080
, другими словами, вы можете думать о натуральном числе как о
in other words you can think of the natural number as a stand-in for
1136
01:10:28,080 --> 01:10:32,560
замене векторного пространства, число пять соответствует пятимерному
a vector space the number five corresponds to five dimensional
1137
01:10:32,560 --> 01:10:35,840
евклидову пространству, я собирался предположить, что я обещаю, да, да,
euclidean space i was going to guess that i promise yes yeah
1138
01:10:35,840 --> 01:10:41,120
и вы можете думать о матрица в качестве замены для линейного преобразования, поэтому, если у
and you can think of uh matrix as a stand-in for linear transformation so if
1139
01:10:41,120 --> 01:10:43,600
вас есть векторные пространства и вы выбираете основу
you have vector spaces and you choose a basis
1140
01:10:43,600 --> 01:10:48,719
, вы можете использовать эти основы для получения матрицы чисел, которая
then you can use those bases to get a matrix of numbers that encodes the
1141
01:10:48,719 --> 01:10:52,719
кодирует полные данные линейного преобразования и гм, так что
the full data of the linear transformation and um so
1142
01:10:52,719 --> 01:10:55,679
в математическом отделе мы часто преподаем линейную алгебру в виде двух
in a mathematics department we often teach linear algebra in kind of two
1143
01:10:55,679 --> 01:10:59,280
разных направлений, есть что-то вроде вычислительной линейной алгебры, если вы
different tracks there's a sort of computational linear algebra if you're
1144
01:10:59,280 --> 01:11:01,840
собираетесь стать следующим основателем Google, вам
going to be you know the next founder of google you
1145
01:11:01,840 --> 01:11:04,960
нужно научиться использовать эти матричные операции, и вы возьмете этот вид
need to learn how to use do these matrix operations and you'll take that sort of
1146
01:11:04,960 --> 01:11:07,040
конечно, гм, или есть теоретическая линейная
course um or there's a theoretical linear
1147
01:11:07,040 --> 01:11:11,280
алгебра, которую вы знаете, возможно, больше математических специальностей,
algebra that's you know taken maybe by more math majors
1148
01:11:11,280 --> 01:11:14,560
и гм, это на том основании, что предметы кажутся
and um this on the ground the subjects feel
1149
01:11:14,560 --> 01:11:17,440
очень разными, потому что вы много изучаете мат рис,
very different because one you're learning a lot about matrices and
1150
01:11:17,440 --> 01:11:20,560
редукция и операции, а затем другое, вы изучаете эту теорию о
reduction and operations and then the other you're learning this theory about
1151
01:11:20,560 --> 01:11:24,800
линейной независимости и основаниях и т. д. и т. д., но это одна и та же тема,
linear independence and bases and so on and so forth but it's the same subject
1152
01:11:24,800 --> 01:11:29,040
потому что это эквивалентные категории, хорошо, это на самом
because they're these are equivalent categories okay that's that is actually
1153
01:11:29,040 --> 01:11:32,400
деле очень хороший пример того, как небольшое полезное понимание, которое вы получаете,
a very good example of like a little useful bit of insight that you get from
1154
01:11:32,400 --> 01:11:35,199
думая таким образом, так что я просто знаю, что это
thinking this way so just i know that this has sort of
1155
01:11:35,199 --> 01:11:38,719
уже было сказано вами, но позвольте мне попытаться сказать это еще раз, чтобы донести это
already been said by you but let me try to say it again to drive home this
1156
01:11:38,719 --> 01:11:41,840
понятие категории до людей, которые не используют это как хлеб
notion of a category to people who don't use it as a bread
1157
01:11:41,840 --> 01:11:44,000
с маслом, потому что, когда вы говорите векторное пространство,
and butter because when you say a vector space
1158
01:11:44,000 --> 01:11:46,800
давайте просто представим, давайте оптимистично представим, что все знают,
uh let's just imagine let's optimistically imagine everyone knows
1159
01:11:46,800 --> 01:11:48,880
что такое векторное пространство, правильно, они имеют в своем уме
what a vector space is right they have in their mind
1160
01:11:48,880 --> 01:11:51,920
оси x, y и маленькие векторы, так что векторное пространство
x y axes and little vectors so a vector space
1161
01:11:51,920 --> 01:11:55,600
само по себе является набором вещей прямо векторов существует бесконечное
is itself a collection of things right the vectors there's an infinite number
1162
01:11:55,600 --> 01:12:00,880
количество векторов в векторном пространстве, но категория состоит из векторных пространств,
of vectors in the vector space but the category is of vector spaces so
1163
01:12:00,880 --> 01:12:04,239
поэтому отдельные элементы категории представляют собой все
the individual elements of the category are the whole
1164
01:12:04,239 --> 01:12:07,280
векторное пространство двумерное векторное пространство a трехмерное векторное пространство
vector space a two-dimensional vector space a three-dimensional vector space
1165
01:12:07,280 --> 01:12:10,640
и так далее, и вы думаете о картах
et cetera and you're thinking about the maps
1166
01:12:10,640 --> 01:12:15,600
между векторными пространствами, а затем о дополнительных картах между набором
between vector spaces and then extra maps between the set of
1167
01:12:15,600 --> 01:12:19,360
всех векторных пространств и набором всех целых чисел и тому подобными вещами, так что это
all vector spaces and the set of all integers and things like that so it gets
1168
01:12:19,360 --> 01:12:22,719
довольно быстро становится довольно невизуализируемым, но именно
pretty unvisualizable pretty quickly but that's
1169
01:12:22,719 --> 01:12:26,000
поэтому вы получайте большие деньги, ну, визуальная часть, вы как бы уменьшаете
why you get paid the big bucks well the visual is you're you're sort of
1170
01:12:26,000 --> 01:12:28,320
масштаб, вы действительно смотрите на математику с высоты птичьего полета,
zooming out you're really taking a bird's-eye view of
1171
01:12:28,320 --> 01:12:31,760
вы знаете, что объекты, которые,
of mathematics you're um you know that the objects that
1172
01:12:31,760 --> 01:12:35,120
ну, вы знаете, изучали бы теоретики групп , на самом деле просто
uh you know group theorists would study are really just uh
1173
01:12:35,120 --> 01:12:39,280
маленькие атомы внутри категории всех групп, и что забавно, так это то, что если вы
little atoms inside of the category of all groups and what's fun is if you're a
1174
01:12:39,280 --> 01:12:42,000
теоретик категорий или теоретик категорий более высокого измерения, на самом деле
category theorist or a higher dimensional category theorist really the
1175
01:12:42,000 --> 01:12:44,560
категории сами по себе становятся очень маленькими, поэтому
categories of themselves become very small so
1176
01:12:44,560 --> 01:12:47,920
в моей работе я уменьшаю масштаб еще на один уровень, и я думаю о категориях,
in my work i zoom out one other level and i think about categories whose
1177
01:12:47,920 --> 01:12:51,440
объекты которых являются категориями внутри этих категорий, являются такие вещи, как
objects are categories inside those categories are things like the category
1178
01:12:51,440 --> 01:12:54,400
категория векторных пространств, а затем векторное пространство является фактическим векторным пространством,
of vector spaces and then the vector space is an actual vector space
1179
01:12:54,400 --> 01:12:58,960
которое имеет несчетно бесконечное множество векторов в i как вы указываете так и так,
which has uncountably infinitely many vectors in it as you point out so and so
1180
01:12:58,960 --> 01:13:01,760
в какой момент мы приходим к категориям бесконечности, есть группа бесконечности,
at what point do we get to the infinity categories there's an infinity group
1181
01:13:01,760 --> 01:13:04,960
должна быть категория бесконечности, да, да,
there must be an infinity category right uh yeah sure
1182
01:13:04,960 --> 01:13:11,600
я имею в виду, да, вы знаете, что
i mean um yeah uh you know as every
1183
01:13:11,600 --> 01:13:14,880
каждое десятилетие математики изобретают более сложные
every decade mathematicians invent more complicated
1184
01:13:14,880 --> 01:13:19,360
объекты для изучения. и вселенная - это место, где живут эти объекты, - это
objects to study and the universe is where those objects live are
1185
01:13:19,360 --> 01:13:22,800
категории с большим количеством измерений морфизмов между ними, и это
uh categories with more dimensions of morphisms between them and those are
1186
01:13:22,800 --> 01:13:26,080
эти категории бесконечности, я имею в виду, просто зная, что
these infinity categories i mean just knowing that can
1187
01:13:26,080 --> 01:13:28,560
вы можете предвидеть, что будет изобретено в следующем
you foresee what was going to be invented in the next
1188
01:13:28,560 --> 01:13:32,800
десятилетии, например, что очевидно, что нравится нарисуйте больше стрелок между
decade like what is the obvious thing to like draw more arrows between
1189
01:13:32,800 --> 01:13:36,480
да, я имею в виду, что я надеюсь, что в будущем произойдет то, что мы изменим нашу
yeah i mean what i'm hoping happens in the future is that we change our
1190
01:13:36,480 --> 01:13:39,520
базовую систему математики, чтобы она
foundation system of mathematics so it's kind of
1191
01:13:39,520 --> 01:13:43,760
больше подходила для этих сложных вплоть до гомотопических структур
more suitable to these complicated up to homotopy structures
1192
01:13:43,760 --> 01:13:46,719
, о которых мы думаем сегодня, ну, может быть,
that uh we're thinking about today well maybe
1193
01:13:46,719 --> 01:13:52,000
это хорошее место, чтобы закончить, потому что в каком-то смысле все
this is a good place to end up um because in some sense like this all
1194
01:13:52,000 --> 01:13:55,440
это весело, как я, ты и я, оба в небольшой группе людей, которые
it's kind of fun like i you and i are both in the small group of people who
1195
01:13:55,440 --> 01:13:59,280
просто думают, что это весело, думаю Я говорю об этом правильно, но
just think it's fun thinking about this stuff right but um
1196
01:13:59,280 --> 01:14:05,360
это также, возможно, изменение точки зрения на то, что математика является правильной, и на
it's also maybe a shift of perspective on what math is right and in
1197
01:14:05,360 --> 01:14:08,719
изменение того, что мы подразумеваем под равенством и эквивалентностью и
changing what we mean by equality and equivalence and
1198
01:14:08,719 --> 01:14:12,159
тому подобными вещами, и поэтому вы можете себе представить, что математика будет
things like that and so can you imagine that math is going to
1199
01:14:12,159 --> 01:14:16,080
выглядеть совсем по-другому в будущем, когда когда это действительно просачивается, это
look very different down the road when when this really seeps in is it kind of
1200
01:14:16,080 --> 01:14:18,880
похоже на переход от классической механики к квантовой механике
like a shift from classical mechanics to quantum mechanics
1201
01:14:18,880 --> 01:14:24,640
в каком-то смысле да, я так думаю, я думаю, хм, вы знаете, что мы, возможно, видим
in some sense yeah i think so i think um you know we maybe see
1202
01:14:24,640 --> 01:14:28,239
проблески этого сегодня, но я, вы знаете, я думаю, вы знаете, что каждый живущий
glimpses of it today but i you know i think you know every living
1203
01:14:28,239 --> 01:14:34,159
математик был бы очень удивлен тем, что вы знаете математику 22-го века, и
mathematician would be very surprised by you know 22nd century mathematics and um
1204
01:14:34,159 --> 01:14:37,840
я надеюсь быть рядом, чтобы увидеть некоторые из них.
i hope to be around to see some of it well i was very interested to read
1205
01:14:37,840 --> 01:14:41,120
uh there's a wonderful interview with you in quantum magazine and one of the
1206
01:14:41,120 --> 01:14:46,239
я имею в виду, может быть, вы считаете
interesting things you're doing is writing books i mean maybe you count
1207
01:14:46,239 --> 01:14:50,640
их учебниками, но в любом случае книги по технической математике
them as textbooks but anyway technical mathematical books where
1208
01:14:50,640 --> 01:14:53,920
поправьте меня, если я говорю это неправильно, но вы были так же
correct me if i'm saying this wrong but you were just as
1209
01:14:53,920 --> 01:14:57,199
заинтересованы в опровержении известных теорем
interested in reproving known theorems in
1210
01:14:57,199 --> 01:15:00,400
лучшими способами, как и в импровизации. разглагольствование о новых теоремах, что считается типичным занятием, за которое
better ways as improving new theorems which is supposed to be
1211
01:15:00,400 --> 01:15:04,400
математикам платят деньги,
the the typical thing mathematicians are paid to do
1212
01:15:04,400 --> 01:15:08,719
и вы знаете, что есть этот Билл Терстон, который является этим замечательным
right and you know there's this bill thurston who is this uh wonderful
1213
01:15:08,719 --> 01:15:13,040
геометром-топологом, э-э, привлек внимание,
topologist geometer um uh drew attention to
1214
01:15:13,040 --> 01:15:16,880
э-э, вы знаете, какую роль должны играть математики в сделать
uh you know kind of the role that mathematicians need to play in making
1215
01:15:16,880 --> 01:15:19,920
математику понятной для людей, которую вы знаете, чтобы
mathematics understandable to humans you know so
1216
01:15:19,920 --> 01:15:23,360
вы знали, потому что что-то было доказано, это означает, что это правда,
you know because something has been proven um that means it's true
1217
01:15:23,360 --> 01:15:26,400
что, э-э, вы знаете, хорошая вещь в математике - это теоремы, которые были
which uh you know nice thing about mathematics is the theorems that were
1218
01:15:26,400 --> 01:15:29,040
доказаны 2000 лет назад, одинаково верны и сегодня,
proven 2000 years ago are equally true today
1219
01:15:29,040 --> 01:15:32,000
но это не обязательно означает, что это понятным для тех, кто
but that doesn't necessarily mean that it's understandable by somebody who
1220
01:15:32,000 --> 01:15:34,640
хочет развить эти идеи и использовать их для чего-
wants to build on those ideas and use them to do
1221
01:15:34,640 --> 01:15:38,640
то еще, поэтому я думаю, что стоит немного, как
something else so i think it is worthwhile to do a bit of
1222
01:15:38,640 --> 01:15:45,120
вы знаете, привести в порядок и переупаковать рационализировать, вы знаете,
you know kind of tidying up um and repackaging streamlining um you know
1223
01:15:45,120 --> 01:15:48,239
замечательный успех в истории математики
a wonderful success in the history of mathematics is
1224
01:15:48,239 --> 01:15:51,440
вы знаете, что эти передовые открытия, которые были, как вы знаете,
you know the these cutting-edge discoveries that were you know kind of
1225
01:15:51,440 --> 01:15:54,880
очень спорными или немыслимыми для кого-то 100 лет назад
very controversial or inconceivable to somebody 100 years ago
1226
01:15:54,880 --> 01:15:58,000
, теперь Если мы учим студентов на первом и втором курсе,
are now stuff we teach undergraduates in their first and second year
1227
01:15:58,000 --> 01:16:01,120
я имею в виду, что было много споров по поводу исчисления,
right i mean there was a lot of controversy over calculus right that was
1228
01:16:01,120 --> 01:16:04,159
которое считалось сложным, да, верно, эти вершины человеческих
a that was considered hard yeah right these pinnacles of human
1229
01:16:04,159 --> 01:16:06,400
достижений теперь то, что вы знаете,
achievement are now something that you know
1230
01:16:06,400 --> 01:16:09,520
тысячи и сотни тысяч студентов учимся каждый год,
thousands and hundreds of thousands of students are learning every single year
1231
01:16:09,520 --> 01:16:13,520
и я надеюсь, что мы продолжим прогрессировать в этом направлении, мы должны вернуться через 30 лет
and i hope we continue to progress in that way we should check back 30 years
1232
01:16:13,520 --> 01:16:15,760
, мы вернем вас в подкаст, и мы проверим,
from now we'll have you back on the podcast and we'll check to see whether
1233
01:16:15,760 --> 01:16:19,120
преподается ли теория категорий, по крайней мере, студентам. по крайней мере,
or not category theory is taught to uh at least undergraduates at least
1234
01:16:19,120 --> 01:16:21,199
первокурсники на уроках математики,
first year students in the math classes so
1235
01:16:21,199 --> 01:16:23,840
так что это то, чего стоит ожидать, Эмили Реал, большое спасибо за
that's something to look forward to emily real thanks very much for being on
1236
01:16:23,840 --> 01:16:35,840
участие в подкасте Mindscape большое спасибо за то, что пригласил меня
the mindscape podcast great thanks for having me