Цыганочка с выходом или восьмая проблема Гильберта и базис гильбертова пространства
(Математическая соната)
Ваше благородие, госпожа Чужбина,
Крепко обнимала ты, да только не любила.
В ласковые сети постой не зови,
Не везет мне в смерти, повезет в любви.
Вступление
Много ли математиков понимают, гипотезу Римана?
В 2018 году Питер Сарнак (один из крупнейших специалистов по Дзета функции Римана) в докладе, посвященном обзору направлений, в которых предпринимаются попытки доказать гипотезу Римана, указал, что каждую неделю поступает три доказательства гипотезы Римана.
Много это или мало?
Давайте сравним с теоремой Пифагора, которую помнит скажем каждый второй житель на Земле, который доучился до восьмого класса (скажем это еще половина населения земли).
Даже если предположить, что текущее население Земли восемь миллиардов, то, по нашей оценке, два миллиарда человек на Земле знает теорему Пифагора, которая надо сказать играет не последнюю роль (является отправной точкой) в доказательстве гипотезы Римана.
Другими словами, теорему Пифагора знает каждый четвертый житель Земли.
Теперь давайте предположим, что каждый четвертый, кто разобрался более или менее в задаче, которую необходимо решить, чтобы доказать гипотезу Римана, решил, что он ее доказал и написал статью, о которой говорил Питер Сарнак.
Тогда за последние сто лет (100*50*3*4 = 60000) всего шестьдесят тысяч человек на Земле считает, что они знают, какую задачу необходимо решить, чтобы доказать гипотезу Римана.
Конечно просмотреть 15 тысяч работ – это непосильный труд, для небольшого количества специалистов, которые занимаются этой задачей.
Поэтому каждому, кто осмелится утверждать, что он доказал гипотезу Римана в первую очередь говорится, скорее всего у вас есть ошибка, т.к. остальные 600 человек не смогли за 160 лет получить результат.
Мало того не просто не смогли, а даже не могут утверждать, что конкретный метод может привести к результату.
Приведу мнение одного из математиков на mathoverflow.net
"Насколько я знаю, не существует подхода к гипотезе Римана, который был бы достаточно конкретизирован, чтобы заставить даже умеренно скептически настроенного эксперта поддержать его, несмотря ни на какие разногласия. Я думаю, что эту ситуацию следует сравнить с ситуацией с Последней теоремой Ферма [FLT]: многие теоретики чисел, если бы они знали, скажем, в 1990 году, что Уайлс работает над FLT через Танияму-Шимуру, сочли бы это правдоподобным и обнадеживающим.
Напротив, несмотря на существование нескольких "программ" ведущих математиков по доказательству RH, если бы это было действительно доказано, скажем, в 2012 году, произошел бы математический эквивалент всемирных беспорядков. Просто совсем не ясно, что мы можем сделать отсюда: большая часть работы, проделанной над RH за последние 150 лет, привела (только) к тому, что у нас появилось достаточно здоровое уважение к этой проблеме и ее важности в математике в целом."
Часть первая (что это за функция такая)
Кому интересно, что гипотеза Римана доказана или не доказана?
Следует заметить, что до декабря 2019 года, я ничего не слышал об этой гипотезе. Возможно, что-то слышал о Дзета функции Римана, но это было так далеко и непонятно.
Какая-то функция комплексного переменного имеет нули на критической полосе.
Ну и что? Пусть имеет, мне какое до этого дело?
И вот любопытство берет верх, как функция комплексного переменного обращается в ноль?
С функцией вещественной переменной все ясно, если на концах промежутка функция имеет разные знаки, то она нечетное количество раз меняет знак на этом промежутке, значит имеет нечетное количество нулей.
С нулями функции вещественной переменной все ясно, т.к. если график функции пересекает ось x, значит в этих точках функция обращается в ноль.
Существует несколько способов поиска точных значений этих самых нулей, например, метод касательных – все ясно и понятно.
А что делать с функцией комплексного переменного не ясно, ведь у нее графика нет, это отображение плоскости на плоскость, где здесь нули? Все нули в одном месте собрались в центре комплексной плоскости, как это так?
Как вообще, какие-то точки на плоскости вдруг собираются в одну точку, непонятно.
И тут к любопытству добавляется честолюбие. Надо разобраться, что это за функция такая и почему у нее вдруг все нули расположены на одной прямой? Да, как туда попадает хотя бы один нуль, не то чтобы все?
Делать не чего, надо вычислять значение и смотреть, как они попадают в этот самый центp комплексной плоскости, где находится тот самый один ноль.
Что я вычислять не умею? Подать сюда формулу для вычисления Дзета функции Римана!
Я даже не буду записывать формулу, чтобы не вгонять никого в уныние, просто скажу, что формулы как мы привыкли для функции вещественной переменной нет.
Оказалось, что Дзета функция Римана задается бесконечной суммой, которая и суммы то не имеет, там, где у этой функции, оказывается, есть-таки нули.
Как это так нули есть, а суммы нет? Здесь клинит по-настоящему!
Если суммы нет, а нули есть, то что происходит с этой самой суммой? От куда берутся нули и другие значения, если суммы нет?
Хорошо, давайте сравним шаг за шагом, что происходит с суммой там, где ее нет, чем она отличается от той, где она есть (формул не будет, они есть в другом месте, здесь только слова и картинки)?
Функция комплексного переменного, значит числа тоже комплексные, значит будем рисовать отрезки, которые соответствуют комплексным числам. Первый отрезок отложим от нуля, второй от первого, третий от второго и т.д. пока они куда-нибудь не придут, т.е. к какой-то конкретной точки, которая и будет значением Дзета функции Римана.
Не тут-то было, отрезки никуда не приходят, они начинают «крутиться» вокруг некоторой точки, которая как говорит «калькулятор» этой функции, является ее значением.
Получается суммы то нет ни там, где она вроде бы есть, ни там, где ее нет, а значение все равно есть.
Как же так?
Сколько надо «крутится» вокруг одной точки, чтобы узнать ее точные координаты?
Бесконечно!
Но, оказывается есть такая теорема, что если средние точки отрезков сходятся, то они сходятся к тому же значению, что и сами отрезки, т.е. крайние точки отрезков (для вещественных последовательностей вместо отрезков рассматриваются вещественные числа).
Так вот оказывается, что для Дзета функции Римана средние значения отрезков сходятся к определенным точкам достаточно быстро в обоих случаях и когда сумма отрезков есть и когда суммы отрезков нет.
Правило средних точек отрезков можно использовать любое количество раз, т.к. вторые средние точки, т.е. точки между первыми средними точками отрезков будут сходиться туда же, куда сходятся первые средние точки отрезков, т.е. туда куда сходится сумма отрезков, причем предел средних точек отрезков существует даже если не существует предела суммы отрезков.
Чем больше раз мы применим правило средних точек отрезков, тем быстрее (с заданной точностью) мы найдем координаты точки, которые являются значением Дзета функции Римана.
Хорошо со значениями более-менее разобрались. Но как искать нули?
Что с чем должно пересекаться?
Это сколько же отрезков надо построить, чтобы найти хотя бы одно значение Дзета функции Римана?
Конечно, отрезки никто не строит, но смысл от этого не меняется, потому что необходимо вычислять координаты концов отрезков и координаты середин отрезков.
Если мы не знаем, как вычислять нули функции, как можно говорить, что все они лежат на одной прямой?
Очевидно, одних правил вычисления значений функции недостаточно, нужно что-то еще.
Часть вторая (ай да Риман, ай да сукин сын)
Когда Риман предложил использовать эту функцию для определения количества простых чисел меньше заданного (да, так называется его доклад в Берлинской академии наук), он уже, конечно, знал о сложностях с бесконечными суммами и поэтому решил обойти их незамысловатым маневром.
Риман выразил каждый отрезок суммы, с которой мы только что кое-как научились ладить, через значение другой функции комплексного переменного. Ну, а с интегралом (сказал Риман) мы как-нибудь разберемся!
И разобрался.
Оказалось, что под знаком интеграла в этом случае образуется сходящаяся геометрическая прогрессия, которая выражается простой дробью.
Действительно, теперь достаточно вычислить значение другой функции, значение которой мы уже хорошо умеем вычислять, и вычислить интеграл, который в комплексном анализе часто вычисляется проще, чем в вещественном.
И заметьте, никаких бесконечных сумм, просто значение одного комплексного интеграла делим на значение другого комплексного интеграла и получаем точное значение суммы (даже там, где ее нет).
Вот вам и «калькулятор» Дзета функции Римана.
Но мы снова не приблизились к нулям Дзета функции Римана, а Риман не просто приблизился, а сказал, что в общем-то скорее всего они все находятся на этой прямой.
С тех пор более 160 лет математики сходят с ума по этим нулям.
И снова задаю вопрос, а кому-то интересно, что гипотеза Римана доказана или не доказана?
Почему ни Риман, никто после него не смог доказать, что все нули этой функции лежат на одной прямой?
Мы до сих пор не вычислили ни одного нуля Дзета функции Римана.
Одлыжко разработал эффективный алгоритм для вычисления значений Дзета функции Римана на критической прямой, а Гордон вычислил более 10^13 нулей и все они находятся на одной прямой, кроме того в целом, было вычислено почти 175 миллионов нулей вблизи 10^20-го нуля
И все равно математики не уверены, что все они находятся на критической прямой, потому что нулей бесконечно много.
Можно ли вообще доказать это утверждение?
Что позволило Риману сделать предположение, что все нули Дзета функции Римана находятся на одной прямой?
Для вычисления комплексного интеграла используются особые точки, функции под знаком интеграла. Для Дзета функции Римана такими особыми точками являются нули функции, которая находится в знаменателе дроби для вычисления геометрической прогрессии.
Достаточно вычислить специальные значения в этих точках и значение комплексного интеграла готово.
В единственном докладе (больше у Римана не было опубликованных исследований этой функции) Риман показал, что специальные значения, которые используются для вычисления комплексного интеграла, находятся в функциональной зависимости от исходных отрезков, которые мы изучали в первой части.
Другими словами, Риман показал, что значения Дзета функции Римана на одной прямой находятся в линейной зависимости от соответствующих значений на другой прямой.
Таким образом, существует единственная прямая, для которой такая зависимость взаимная, т.е. не существует других прямых, на которых значения Дзета функции Римана находятся в линейной зависимости со значениями на этой прямой.
Это та самая прямая, на которой находятся нули Дзета функции Римана.
Риман показал, что существует функция вещественной переменной, нули которой совпадают с нулями Дзета функции Римана.
Мы все еще не вычислили ни одного нуля Дзета функции Римана, но уже знаем, что еще Риман знал и предложил перейти от функции комплексного переменного к функции вещественной переменной.
Собственно, Риман то нули тоже не вычислял, он просто сказал, что эта функция вещественной переменной бесконечно много раз меняет знак, а значит Дзета функция Римана имеет бесконечно много нулей на критической прямой.
Но Риман и никто после него не смог показать, что все нули Дзета функции Римана лежат на критической прямой.
Все дело в том, что функция вещественной переменно, которая бесконечно много раз меняет знак, может иметь комплексные нули, а это значит, что Дзета функция Римана будет иметь нули симметричные относительно критической прямой.
Это предположение и не дает математикам возможности утверждать, что все нули Дзета функции Римана лежат на критической прямой.
Хотя Харди еще в 1914 году доказал, что на критической прямой находится бесконечное число нулей Дзета функции Римана.
Бесконечно много, но не все!
Позже для вычисления нулей Дзета функции Римана была предложена функция, незначительно отличающаяся от той, которую предложил Риман.
В разных источниках эта новая функция называется просто Z функция, Z функция Римана-Зигеля, наш известный специалист по Дзета функции Римана Анатолий Алексеевич Карацуба назвал эту функцию – функция Харди.
Таким образом, математики не могут доказать, что все нули функции Харди являются простыми и вещественными.
Теперь мы по крайней мере разобрались, что несмотря на то, что существует два тома различных эквивалентных формулировок гипотезы Римана, что доказывать надо не совсем то, что записано в официальной формулировке гипотезы Римана:
Все нули Дзета функции Римана лежат на критической прямой.
Гипотезу Римана следует записать в следующем виде:
Все нули функции Харди являются простыми и вещественными.
Часть третья (заключительная)
Надо сказать, что действительно не существует универсального способа сказать имеет функция вещественной переменной комплексные нули или не имеет.
Так все-таки можно доказать гипотезу Римана или нет?
Давайте попробуем доказать, что все нули функции Харди являются простыми и вещественными.
Напомню еще раз, что функция Харди — это аналитическая функция вещественной переменной, простые вещественные нули которой совпадают с мнимой частью комплексной переменной, при которой на критической прямой, т.е. при значении вещественной части комплексной переменной равной 1/2, значения Дзета функции Римана обращаются в ноль.
Здесь очень важно, что функция Харди – аналитическая функция, т.е. функция, которая имеет бесконечное количество производных и, таким образом, определяется в каждой точке ее рядом Тейлора.
Это означает, что у нас есть бесконечный ряд, который сходится в каждой точке, следовательно, мы имеем дело с особым видом функций, для которых действуют свои особые правила.
Собственно, этот факт и определяет всю дальнейшую историю гипотезы Римана.
А начинается эта история с теории приближения аналитических функций (т.е. функций с бесконечным рядом Тейлора) конечными рядами Тейлора, т.е. полиномами.
Как раз здесь и начинается самое интересное.
Конечный ряд Тейлора – это полином, т.е. конечная линейная комбинация целых степенных функций.
Конечная, потому что степень полинома ограничена каким-то числом N.
Линейная, потому что у этой комбинации постоянные вещественные коэффициенты.
Но самым главным здесь является, то что и в бесконечном и в конечном ряде Тейлора используются целые степенные функции, т.е. степенные функции с целыми показателями.
Это говорит о том, что любой бесконечный ряд Тейлора содержит вполне определенное, т.е. счетное количество членов.
Счетное означает, что каждому элементу из этого множества можно поставить в соответствие натуральное число.
Пожалуй, во все этой истории это самый важный факт. Потому что прямых, параллельных критической прямой, на комплексной плоскости более чем счетное количество, т.е. среди них всегда можно выбрать счетное количество, так чтобы в каждый набор не попали такие прямые, на которых значения Дзета функции Римана находятся в линейной зависимости.
Таким образом, мы можем составить из всех таких прямых, которых более чем счетное количество, более чем счетное количество счетных количеств, таких что значения Дзета функции Римана на этих прямых будут линейно независимы.
Вы не представляете себе, как это важно!
Ну и что скажете вы, что пусть у нас есть счетное количество линейно независимых рядов Тейлора и что из этого?
Из этого вытекает, что у нас есть счетное количество аналитических функций вещественной переменной, которые в гильбертовом пространстве аналитических функций вещественной переменной, суммируемых с квадратом (т.е. во второй степени) на отрезке (a, b), составляют базис.
Мы конечно ограничимся любым отрезком (a, b), но это значит, что все что мы будем обсуждать далее, подходит для любого, а значит для всех таких отрезков, как бы близко мы не подходили к конечной точке – бесконечности.
Другими словами, наши рассуждения подходят для всех отрезков (a, b), как бы далеко мы не продвинулись в сторону бесконечности, т.е. мы рассматриваем не всю числовую прямую сразу, а кусочками, которые ее составляют в целом (а таких кусочков на прямой, как вы понимаете счетное количество, потому, что каждому можно поставить в соответствие натуральное число).
Назовем эти функции – расширенными функциями Харди, по аналогии с функцией Харди, которая определяет значения модуля Дзета функции Римана на критической прямой.
В отличии от функции Харди, расширенные функции Харди определяют только некоторую проекцию Дзета функции Римана, для значений на разных прямых параллельной критической прямой.
Далее нам важно только, что это аналитические функции вещественной переменной и что из них можно составить базис в гильбертовом пространстве аналитических функций вещественной переменной, суммируемых с квадратом на отрезке (a, b).
Самое главное, конечно, что функция Харди входит в их число, т.е. все расширенные функции Харди, включая функцию Харди обладают этим важным свойством.
А это означает, что эти функции можно использовать для приближения других функций из этого множества вместо конечных рядов Тейлора.
Такие ряды называются общие ряды Фурье.
Ряды Фурье чаще всего используются в смысле тригонометрических рядов Фурье. В этом случае базисом является счетный набор косинусов и синусов. Конечные тригонометрические ряды Фурье используются для аппроксимации периодических функций, а для аппроксимации произвольных функций используются полиномы.
Фактически аппроксимация ортогональными полиномами это и есть аппроксимация ортогональными общими рядами Фурье.
Таким образом, между полиномами и рядами Тейлора, которые определяю аналитические функции, в том числе расширенные функциями Харди, существует тесная связь.
Сами ряды Тейлора не являются полиномами, но говорят о предельном переходе, который определяется непрерывностью нормы гильбертова пространства аналитических функций вещественной переменной, суммируемых с квадратом на отрезке (a, b), т.е. полиномы в пределе переходят в ряды Тейлора и, следовательно, ряды Тейлора обладают некоторыми общими с полиномами свойствами.
Нас будут интересовать только одно свойство – нули.
Как было сказано ранее, не существует универсального способа сказать имеет функция вещественной переменной комплексные нули или не имеет.
Но про нули полиномов, которые составляют ортонормированный базис на отрезке (a, b), это можно сказать с полной уверенностью.
Все нули ортогональных полиномов на отрезке (a, b) простые и вещественные (это доказано теоремой).
В следствии предельного перехода (как мы предполагаем) от полиномов к рядам Тейлора в гильбертовом пространстве аналитических функций вещественной переменной, суммируемых с квадратом на отрезке (a, b), мы можем утверждать, что нули ортогональных рядов Тейлора на отрезке (a, b) все простые и вещественные.
Как вы понимаете нам остался один шаг.
Показать, что каждая аналитическая функция, входящая в счетный набор аналитических функций, составляющих базис гильбертова пространства аналитических функций вещественной переменной, суммируемых с квадратом на отрезке (a, b), имеет все простые и вещественные нули.
Рассмотрим процесс ортогонализации базиса. Этот процесс называется процедура Грама-Шмидта.
Хотя довести процедуру до конца не получится, т.к. мы имеем дело с счетным, т.е. бесконечным количеством функций, но наличие такой процедуры доказывает, что такой ортогональный базис существует.
Для построения ортогонального базиса в гильбертовом пространстве необходимо взять счетный набор линейно независимых рядов Тейлора, суммируемых с квадратом на отрезке (a, b).
Сначала необходимо выбрать любой ряд и оставить его без изменения, затем по порядку из каждого из остальных рядов вычесть его проекцию на каждый предыдущий ряд.
Другими словами, построением найти второй катет прямоугольного треугольника, отложив гипотенузу и первый катет.
Таким образом, из второго ряды мы будем вычитать его проекцию на первый ряд, из третьего – его проекцию на первый ряд и его проекцию на второй ряд, полученный в результате ортогонализации и т.д.
Для нас в этой процедуре важно, что первый ряд остался без изменений, то так как он в результате процедуры ортогонализации является ортогональным рядом, то в соответствии со свойствами ортогональных рядов (как мы предполагаем), суммируемых с квадратом на отрезке (a, b), будет иметь все простые и вещественные нули.
Так как мы взяли в качестве первого ряда любой, то получается, что все аналитические функции, которые входят в счетный набор аналитических функций, составляющих базис гильбертова пространства аналитических функций вещественной переменной, суммируемых с квадратом на отрезке (a, b), имеет все простые и вещественные нули.
Следовательно, утверждение доказано (как мы предполагаем).
Из этого автоматически следует, что все расширенные функции Харди, в том числе функция Харди, имеют все простые и вещественные нули на любом отрезке (a, b), т.к. из них можно составить базис гильбертова пространства аналитических функций вещественной переменной, суммируемых с квадратом на отрезке (a, b).
Кому вообще интересно, что гипотеза Римана доказана (как мы предполагаем) или не доказана?
Ну, и что? Mне какое до этого дело?
Заключение
Я забрался на самый верх математической пирамиды, но даже там специалисты по Дзета функции Римана ничего не знают про гильбертовы пространства над полем вещественных чисел, а специалисты по вещественному анализу не разбираются в теории Дзета функции Римана.
Думаю, такая же ситуация будет в любом журнале. Не хочется стать хранителем тайны Дзета функции Римана. Надежда умирает последней.