Здравствуйте, Дорогие друзья! Пришло время Высшей математики. В этой статье мы с Вами поговорим о матрицах. Сразу предупреждаю: неинтересный кинематограф тут не при чём, тут при чём интересные математические операции. Матрицы – способ представления информации с большим количеством неизвестных для удобного их поиска. Не понимаете? И не удивительно. Сейчас поясню. Пусть у нас имеются, допустим такие уравнения:
Ну что, слабо найти все неизвестные? Думаю, на решение методом подстановки потребуется минут пятнадцать-тридцать, если не больше. Матрица нам в помощь. В матрицу записываются коэффициенты при неизвестных в уравнениях в порядке их следования. Ну, составляем матрицу…
Нравится? Думаю, Вы еще не решили. В первую матрицу мы записали «вопросы», во вторую матрицу запишем ответы:
Решение уравнений в матрицах производится следующим образом:
А в минус первой означает обращение матрицы А. В результате этой операции мы получаем обратную матрицу.
Что такое А в степени Т и что такое дельта? А в степени Т - это транспонированная матрица А, а дельта – это определитель матрицы А. Давайте оставим решение нашей большой системы уравнений «на закуску», а транспонировние и поиск обратной матрицы рассмотрим на более простом примере:
Запишем матрицы для системы уравнений (3):
Найдём неизвестные переменные. Вычислим значение определителя матрицы. Найти определитель можно несколькими способами в зависимости от размера матрицы. Ниже я расскажу об этих способах, а пока что используем один из них, тот, который применяется для матриц вида (4):
Применяем к нашей матрице:
Транспонирование – это процесс замены столбцов матрицы на строки:
Как видим, ничего сложного. Теперь разберемся, как составить обратную матрицу. Для этого составляется союзная матрица Ас, в которой все элементы заменяются в соответствии с формулой:
Здесь i – это номер строки, а j-номер столбца матрицы, М – минор матрицы (то есть определитель кусочка матрицы, с которым мы на данный момент работаем). Для нашего случая миноры равны элементам матрицы, которые не стоят в одной строке или столбце с заменяемым числом.
Транспонированная матрица находится именно для союзной матрицы.
Решаем систему уравнений (3) с помощью матриц (4):
Вот так «неспешно» мы подошли к одному из свойств матриц: при умножении матрицы на константу получается новая матрица, в который каждый коэффициент домножен на эту константу:
Находим, наконец-то обратную матрицу для нашего примера:
Теперь подставляем полученную обратную матрицу в формулу (1). Заранее расскажу о том как матрицы перемножаются между собой. Очень просто: строка умножается на столбец и получается новая строка, коэффициенты в этой строке суммируются и получается один элемент столбца.
Давайте теперь поймём почему мы действовали именно так. В матрицу мы внесли коэффициенты при неизвестных из уравнений. Затем, мы нашли союзную матрицу. Для чего? Что мы делали для этого: нашли определитель для каждого элемента матрицы и домножили на минус единицу в степени. Проводим аналогию для этих действий:
Для начала поймём что такое определитель. Представим нашу систему уравнений следующим образом:
Ничего не напоминает? Конечно же это полупериметры прямоугольников! А если уравнения дают нам полупериметры, то при перемножении их иксов и игреков мы можем получить площадь (имеется ввиду площадь параллелограмма, то есть произвеление основания на высоту). Отсюда следует вывод, что определитель – это площадь, которую занимает квадратная матрица 2х2. А вот насчет полупериметров… а что, если представить их следующим образом:
Чем выше порядок матрицы, тем сложнее система координат, для матрицы 3х3, определитель – это уже объем, так как добавляется третий вектор и т.д. Хорошо, что такое определитель мы смутно поняли. Теперь поймём смысл обратной матрицы. В произведении с обычной матрицей обратная даёт единичную матрицу (то есть все элементы матрицы - единицы).
О том, как мы получили E я расскажу Вам подробно в одной из следующих статей.
Зачем нам находить обратную матрицу? Элементарно, Ватьсон. Мы нашли векторы, направленные обратно нашим изначальным (посмотрите на рисунок 1 и всё поймёте), а точнее такие уравнения, при перемножении с которыми мы получим, что коэффициенты при неизвестных станут единицами… Мда, звучит, однако сложновато… Но, если посмотреть с другой стороны: у нас есть матрица, мы находим её площадь:
Ага… А минус откуда в площади? Площадь ведь отрицательной быть не может. Очень просто, про этот минус мы можем забыть (ну не в вычислениях, конечно), он появился потому что в системе уравнений такой порядок их следования. То есть, стоит нам поменять уравнения местами, как определитель станет положительным.
Далее, мы находим коэффициенты, показывающие сколько площади в одной неизвестной умноженной на коэффициент при ней, одновременно находим «длину» неизвестной:
И, вуа-ля, неизвестные найдены. Идём дальше. Как найти определитель матрицы третьего порядка? Разбираемся. Расписываю по действиям:
Такой способ применяется повсеместно и называется правилом треугольников. Рассмотрим его более понятно, чтобы понять как здесь из площади получился объем.
Прямыми скобками, как многие, наверное догадались я обозначил определитель матрицы. Итак, определитель матрицы 2х2 – площадь, её мы домножаем на высоту и получаем объём. Таким образом, мы не только нашли закономерность для площади и объема, но и вывели второй способ поиска определителя. Вернее, это правило треугольников является следствием этого способа. Этому способу подчиняется и матрица 2х2:
Здесь прямые скобки обозначают не модуль, а матрицу, состоящую из одного члена.
То есть, чем больше размер матрицы, тем больше операций мы будем проводить. Найдём определитель для матрицы 3х3, а затем для матрицы 4х4.
Ну что, нашу «сверхматрицу», пожалуй, мы решим в следующей статье, я устал писать эту статью и быть живым калькулятором, где рассмотрим еще некоторые способы решения систем уравнений с помощью матриц. А пока что, спасибо за внимание! Если я Вам чем-то помог, написав эту статью, поставьте лайк, а если Вы ещё не подписаны на мой канал, как можно скорее исправьте это, впереди ещё много интересного) Также Вы можете поделиться ссылкой на эту статью с друзьями: вдруг им тоже будет интересно. Спасибо, что читаете! Удачи!