Пусть мы имеем покоящуюся инерциальную система S, в которой находится покоящаяся точка (R), и удаляющуюся от неё со скоростью (v) такую же инерциальную систему S`.
Следуя логике Эйнштейна, допустим, что в начальный момент времени (t0) (по системе S) начало координат в обеих систем совпадают. Движущаяся система S`, как нам известно, всегда находится в области регистрации покоящейся системы S т.е. – внутри покоящейся системы S.
Тогда координаты точки (R`) системы S` будут переменными:
(R`) = (R - vt). (1)
Для пояснения хода мысли, составим графики (Рис. 8.1.1; 8.1.2; 8.1.3):
Поскольку наблюдатель находится в покоящейся системе, то все события и время их действия рассматриваются в покоящейся системы S. События будут развиваться следующим образом.
За время (t), в течение которого сигнал взаимосвязи, выйдя из начала отсчёта системы S, достигнет точку (R), начало координат системы S`, удалится от начала отсчёта системы S со скоростью (v) на расстояние (a) = (vt). При этом точка (R) покоящейся системы, приблизятся к началу координат системы S` со скоростью (-v) на расстояние (-a) = (-vt) и займёт в ней позицию (R`1).
Таким образом, поскольку начало координат системы S (точка А) равна нулю (А = 0), то в прямом направлении движения луча света (см. Рис. 8.1.2), мы будем иметь (в местных координатах):
(R/C) = {(R`1 - R)/(-v)} (2)
и
(-v)(R/C)) = (R`1 - R), (3)
откуда
(R`1) = R{1 - (v/C)} = R(kуд). (4)
Разделив обе части равенства (4а) на (C), получим соотношение временных координат в системах S` и S (тоже в местных координатах):
(t`1) = t{1 - (v/C)} = t(kуд), (5)
где
(kуд) = {1 - (v/C)} (6)
есть коэффициент преобразования местных координат в двух удаляющихся друг от друга системах.
Далее, при условии, что система S` продолжает с той же скоростью (v) удаляться от начала координат системы S, луч света, двигаясь в обратном направлении в системе S, пройдёт такое же расстояние (R - A) и за такое же время (t), как и в прямом направлении (см. Рис. 8.1.3.).
Тогда за время (t), исчисляемое в системе S и, в течение которого сигнал взаимосвязи, выйдя из точки (R), вернётся обратно в начало координат системы S, начало координат системы S` удалится от начала координат системы S со скоростью (v) ещё на расстояние (а) = v(t). При этом точка (R) покоящейся системы приблизятся к началу координат системы S` со скоростью (-v) ещё на расстояние (-a) = (-vt), займёт в ней положение (R`2) и мы будем иметь (R`2 - R`1).
Таким образом, поскольку (R`2 - R`1) = (R`1 - R) при движении луча света в обратном направлении, мы ещё раз будем иметь (в местных координатах):
(R)/C) = (R`2 - R`1)/(v) или (R)/C) = (R`1 - R)/(v), (7)
Откуда опять имеем
(R`1) = R{1 - (v/C)} = R(kуд) (4)
и опять
(t`1) = t{1 - (v/C)} = t(kуд), (5)
За полный цикл движения луча света (в наблюдаемом времени) мы будем иметь:
2R` = 2R{1 - (v/C)} = 2R(kуд) = RH(kуд), (8)
2t` = 2t{1 - (v/C)} = 2t(kуд) = tH(kуд). (9)
Здесь индекс (H) обозначает наблюдаемое время.
Соотношения же пространственно-временных интервалов в системах будет иметь вид:
в местных координатах
MM = (RM - tM), (10)
M`M = MM(kуд) = (RM - tM)(kуд); (11)
В наблюдаемых координатах
Mн = 2Mм = 2(Rм - tм) = (Rн - tн) (12)
(продолжение следует).
Интерактивный каталог для ориентировании в серии публикаций доступен по ссылке.