Мы уже знаем основные решающие элементы АВМ. И даже рассмотрели немного подробнее Операционные Усилители и Интеграторы. Пришло время посмотреть, как все это используется на практике.
Сегодняшние примеры будут простыми, причем мы пока оставим в стороне вопросы масштабирования. Любого масштабирования, как по величине, так и по времени. Можно сказать, что наша АВМ будет "идеальной".
Но даже не смотря на то, что примеры будут совсем простыми, без математики нам никак не обойтись. Решение задач на АВМ это на 99% чистая математика. Причем далеко не самая простая математика. Но я обещал, что постараюсь в статьях свести математику к минимуму.
Большинство инженерных задач сводятся к дифференциальным уравнениям и системам уравнений. Это касается и расчетных задач, и моделирования поведения систем материального мира. И именно для решения дифференциальных уравнений высокого порядка, и систем таких уравнений, и предназначены АВМ.
Можно ли АВМ использовать для решения обычных алгебраических, или даже арифметических, задач? Да, можно. И примеры очень простых программ-схем для выполнения алгебраических операций были во второй статье цикла
Вряд ли имеет смысл их повторять. Но "можно" не тождественно "имеет смысл". Алгебраические задачи всегда, или почти всегда, имеют аналитическое решение. И использовать численные методы просто не требуется. А применение ЭВМ, причем не важно, ЦВМ или АВМ, это именно использование численных методов решения.
Тем не менее, в реальных аналоговых системах управления приходится реализовывать алгебраические вычисления в электронном виде. Такие схемы строятся зачастую на базе ОУ, сегодня конечно интегральных, по тем же принципам, что и решающие элементы АВМ.
Однако, это мы будем рассматривать в одной из следующих статей о функциональных преобразователях. А сегодня займемся именно АВМ и их основными задачами.
Поговорим о математике
Не пугайтесь, не очень много и довольно просто. Но без этого действительно не обойтись. Разговор пойдет о теории дифференциальных уравнений.
Дифференциальные уравнения, которыми мы кратко и займемся, можно разделить на три группы:
- Решение существует и оно единственное
- Решение существует, однако единственным не является
- Решения не существует
На АВМ возможно решать только уравнения первой группы. С уравнениями третьей группы все ясно. А вот уравнения второй группы можно попытаться решать на АВМ при условии, что их получится свести к первой группе.
Уравнения первой группы тоже не всегда возможно решить на АВМ, что называется, "в лоб". Реальные АВМ имеют ограничения на диапазон значений переменных. Но сегодня это останется "за кадром".
Система материального мира n-го порядка может быть представлена дифференциальным уравнением n-го порядка, системой n дифференциальных уравнений первого порядка, системы дифференциальных уравнений, некоторые их которых (или даже все) имеет порядок выше первого.
В общем случае, дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид
В системе материального мира или в математической модели независимая переменная может быть любой. Например, модель может описывать деформацию в зависимости от приложенной силы. В этом случае независимой переменной будет сила, а зависимой деформация.
При решении задачи на АВМ независимой переменной является время.
Решением дифференциального уравнения является функция зависящая только от независимой переменной y=g(x) и удовлетворяющая исходному дифференциальному уравнению. Однако, решениями уравнения будут и производные от функции-решения.
Коэффициенты могут быть как константами, так и функциями от любой комбинации переменных x и y, включая производные от y.
Дифференциальное уравнение n-го порядка может быть сведено к системе дифференциальных уравнений первого порядка. Такое преобразование играет важную роль, так как для проверки условий единственности решений исследуется именно эта система уравнений. Однако, сегодня мы не будем рассматривать этот вопрос. В конечном итоге, статья не о математике.
Решение задачи может требоваться для какого то начального набора условий при одном и том же значении независимой переменной. Такая задача называется задачей с начальными условиями. Для системы n-го порядка необходимым (но не достаточным!) условием единственности решения является задание ровно n независимых начальных условий.
Условие называется независимым, если оно не может быть выражено линейной комбинацией других n-1 условий. В уравнения n-го порядка эти начальные условия налагаются на зависимую переменную y и ее производные.
Если задача имеет единственное решение, то начальные условия при некотором фиксированном значении переменной x полностью определяют любую переменную системы при всех значениях переменной x. Конкретное начальное значение переменной x определяется только характером задачи.
Если коэффициент в дифференциальном уравнении является константой, то его называют параметром. В типичных решаемых на АВМ задачах требуется находить решения при нескольких наборах значений параметров. И каждому набору параметров будут соответствовать начальные условия, как единые для всех параметров, так и индивидуальные.
Задача поиска решения дифференциального уравнения удовлетворяющего начальным условиям называется задачей Коши. И большинство АВМ рассчитаны именно на решение задач Коши. Даже МН-7, которая предназначалась для исследования систем автоматического управления, решала задачи Коши. Просто у нее были дополнительные разъемы для объединения нескольких машин и для подключения к модели управляемой системы.
Аналитические методы решения дифференциальных уравнений мы рассматривать не будем. Поэтому математическое вступление будем считать законченным.
Режимы работы АВМ
Ранее мы уже сталкивались, что АВМ может работать однократно или периодически. Эти режимы работы были просты и понятны. В однократном режиме АВМ останавливается после решения задачи, а в периодическом циклы решения повторяются. Причем, возможно, с изменением начальных условий.
С начальными условиями мы сталкивались и в небольшом математическом вступлении. И в статье
мы рассматривали режимы работы интеграторов, среди которых был и режим установки тех самых начальных условий. Но начальные условия нужно как то задавать, причем до решения задачи.
А значит, у нас появляется этап подготовки, или начальной установки, который предшествует этапу решения задачи. А после решения задачи мы должны иметь возможность считывания результата. Таким образом, АВМ может находиться в одном из следующих состояний или режимов
- Режим подготовки. На самом деле, это не совсем режим работы, так как машина выключена. На коммутационных панелям устанавливаются соединения в соответствии с программой-схемой решения задачи. Потенциометрами устанавливаются постоянные коэффициенты. Задаются наборы значений коэффициентов в блоках переменных коэффициентах. Этот этап соответствует программированию машимны.
- Режим начальной установки. Питание машины включено. В этом режиме источники напряжения (переменные) отключены от входов интеграторов (входы не подключены к схеме). Сами интеграторы находятся в режимах сброса/установки. Оператор устанавливает интеграторы в начальное состояние, что соответствует установке на их выходах требуемых значений напряжения.
- Режим готовности. Питание машины включено. Схема собрана. Коэффициенты установлены. Начальные условия в интеграторах установлены. Интеграторы находятся в режиме хранения, их входные цепи не подключены к схеме.
- Режим решения. Питание машины включено. Интеграторы переводятся в режим работы. АВМ занимается решение задачи. Вот именно к режиму решения и относятся однократный и циклический режимы работы машины. То есть, это режимы решения.
- Режим хранения результата (режим фиксации). Питание машины включено. Интеграторы снова переводятся в режим хранения. Оператор может считать, измерить напряжения, на выходах интеграторов, что соответствует считыванию результата решения.
На самом деле, режим хранения результата не является обязательным. Решение может быть не набором значений переменных, а функцией. И эта функция может выводиться на экран осциллографа или на графопостроитель на этапе решения. В таком случае, режим хранения результата становится излишним. Для конкретной задачи, но не для машины в целом.
Может возникнуть вопрос, как реализуется циклический режим решения, если начальные условия должен задавать оператор? Во первых, начальные условия могут быть нулевыми. А сброс интегратора проблем не представляет, как мы видели в предыдущей статье. И цикличность решения легко реализуется на АВМ.
Во вторых, установка начальных условий может быть автоматизирована на гибридных АВМ. Гибридные АВМ имеют как аналоговые решающие блоки, так и цифровые, которые являются вспомогательными и используются для коммутации, ввода начальных значений и условий, вывода результатов решения.
Решение на АВМ простейшего дифференциального уравнения
Вот теперь мы можем действительно можем попробовать что нибудь решить с помощью АВМ. Для начала, очень простое. Например, вот такое линейное дифференциальное уравнение
Вы помните, что при решении задач на АВМ независимой переменной является время. Поэтому и производные в уравнения всегда будут по времени.
Справа показана программа-схема решения этого простейшего уравнения. Что бы из производной dx/dt получить собственно переменную x, мы используем интегрирование. В АВМ интегрированием занимаются интеграторы.Коэффициент интегрирования, в данном случае, равен 1. Поскольку, согласно уравнения, производная равна константе 3.5, мы можем просто подать это напряжение на вход интегратора.
И на его выходе получим искомую переменную, правда со знаком минус. Если нам важен правильный знак, после интегратора нужно включить инвертор. Стрелка сверху пиктограммы интегратора показывает установку начальных условий, если они не нулевые.
Да, вот так просто. Но нужно ля для решения таких дифференциальных уравнений использовать АВМ? Только в качестве учебного примера. Ведь это уравнение легко решить аналитически. И решением будет прямая линия.
Возникает вопрос, как быть, как зафиксировать результат, ведь прямая бесконечна? И напряжение на выходе интегратора будет изменяться непрерывно. Все верно, решением уравнения является функция, бесконечная. Что бы решением стало число, нужно ограничить время интегрирования. То есть, остановить машину переключив ее в режим хранения результата. Разумеется, в данном случае циклический режим решения не потребуется.
Решаем уравнение второго порядка с помощью общего метода
Давайте немного усложним пример. Заодно рассмотрим и общий метод решения таких уравнений на АВМ. Уравнение возьмем такое
Сразу приведем это уравнение к виду, очень похожему на самый первый простейший пример. То есть, производная высшего порядка выражается через остальные части уравнения.
В прошлый раз, у нас производная равнялась константе и была известна, теперь же ситуация иная. Однако, поступим самоуверенно и посчитаем, что правая часть преобразованного уравнения нам известна. А значит, мы можем подать ее на вход интегратора. Но, что бы получить из производной значение переменной, нам уже потребуется два последовательно включенных интегратора
Я на схеме указал переменные, для наглядности. И обозначил (пронумеровал) интеграторы. Однако, теперь это уже не готовая программа-схема решения, а лишь первый промежуточный шаг. Ведь мы были самоуверенны, но нам пока нечего подавать на вход первого интегратора.
А значит, нам нужно собрать схему соответствующую правой части уравнения. Для этого нам потребуется сумматор. Однако, давайте вспомним, что сумматоры инвертируют значение суммы на своем выходе. Поэтому вынесем знак минус в правой части за скобки
Вот теперь можем собирать. И собирать будем из тех переменных, которые получили на первом шаге
Тут нет ничего непонятного. Для сложения/вычитания используем сумматор и инверторы. Постоянные коэффициенты (параметры) задаются потенциометрами. Порядковые номера на схеме проставлены отдельно для потенциометров и для ОУ. Вы ведь помните, что интеграторы, инверторы, сумматоры строятся на основе ОУ?
При этом у нас функция f(t) для решения требуется с обратным знаком. При необходимости мы всегда можем использовать инвертор.
Смотрите, что у нас получилось. У нас есть вход интегратора, на который нужно подать значение производной стоящей в левой части уравнения. У нас есть собранная правая часть уравнения. Осталось их приравнять друг другу. Как? Очень просто, соединяем наши переменные и получаем схему решения задачи
Еще раз отмечу, что сегодня мы абсолютно никак не касаемся вопросов масштабирования. Ни переменных, ни времени.
На этой схеме не показаны начальные условия, что соответствует нулевым начальным условиям. Если они не нулевые, их просто нужно добавить на схему. Эта схема совершенно никак не оптимизирована. Она получена напрямую из исходного уравнения.
Такой метод построения схемы решения и называется общим. И впервые предложен он был Кельвином в 1876 году. Да, тем самым лордом Кельвином. Он называл это методом последовательных приближений, модификацией итерационного метода Пикара.
И именно он обнаружил, для механического интегратора Томсона, что вводимая в машину функция соответствует выдаваемой машиной как результат. Что и позволило сделать важное заключение, хоть оно еще не носило общего характера:
"Дифференциальное уравнение второго порядка общего вида с переменными коэффициентами может быть решено машиной строго, непрерывно и в ходе одного процесса"
Общий метод решения применим и к решению систем дифференциальных уравнений. Но об этом уже в следующий раз
Заключение
Сегодня мы наконец, пробившись через небольшой математическое вступление, составили первые программы-схемы решения задач на АВМ. Да, примеры были очень простыми и, можно сказать, классическими. Но это ведь только первый шаг.
Самое главное, мы увидели, как дифференциальное уравнение напрямую превращается в схему решения задачи. И в этом не было ничего сложного. А вот само составление дифференциальных уравнений описывающих процессы материального мира, математических моделей, куда сложнее. Но это уже темой статей не является.
Кроме того, мы увидели, что даже самые первые механические интеграторы Томсона, которые и АВМ то назвать сложно, и положили начало использованию машин для решения задач, которые трудно поддаются аналитическому решению.