Без важнейшего понятия «окрестность точки» понять отличие интервала от отрезка не получится. А, для того, чтобы уяснить смысл «окрестности», необходимо прояснить, что из себя представляет привычная наша с вами ось вещественных чисел. Для многих (в том числе, и математиков), вещественная ось – это «палка». В такой примитивной интерпретации и отрезок, и интервал будут лишь частью «палки» с той лишь разницей, что у отрезка его точки-концы принадлежат отрезку, а у интервала – нет. Т.е. в такой примитивной интерпретации и отрезок и интервал – суть одно и то же (часть «палки»), разница лишь в принадлежности или не принадлежности концов.
В «палочной» интерпретации и само понятие «окрестности точки» совершенно не имеет необходимости. Да и сама точка у позитивистов (они позитивненько смотрят на мир) воспринимается примитивно, как некая «зарубка» на «палке». Необходимости в «окрестности» для такой вот «зарубки» совершенно нет. Смысл «окрестности» тогда вообще не понятен.
Всему виной латинское богословие, впитав которое, все представители западной науки потеряли способность видеть НЕВИДИМОЕ в видимом. Латинство в своих глубинных основаниях осталось языческим, дуальным. Великая схизма 11 века в том и состояла, что «троичное» Православие осталось стоять в прежней Апостольской Истине, а «двоичное» латинство пошло уже своей языческой дорогой.
В научном «горизонте» западного человека это язычество сформировало научный метод объективации. Так выкристаллизовывалось «шариковое» ("палочное") объектное сознание западного человека. Тем самым сформировалось понятие РЕАЛЬНОСТИ. Реальным стало лишь то, что «я вижу и ощущаю». Всё невидимое выкидывается в запредельную область абстракции, объявляется умозрительным, и уж точно, реально не существующим. Это всё «игра человеческого ума».
Понятия «внешнее» и «внутреннее» для представителя западной науки не существует, ибо, «внутреннее» тогда перестаёт быть объективированным (становится не реальным). Нет, у них конечно же есть представление о внутренних органах (например, человека (сердце, там, лёгкие, мозг)), но всё это, так сказать, «внешние» внутренние органы, которые можно объективно ощутить. А, вот, понятия неощутимой души, как внутреннего явления, западная наука не признаёт.
Так вот, «окрестность точки» - это, если хотите, есть «душа» этой точки. Это то «внутреннее», что содержит собой «внешнее». Понимаете, сознание западного человека таким вот «шариковым» объективированием становится разорванным. По причине отсутствия связности в нём самом, это сознание и в устройстве Мира, да и в любом физическом явлении видит всё предельно разорванным. Связи «ВСЕГО СО ВСЕМ» такое сознание не допускает.
Поэтому и в вопросе «окрестности» точки такое западное сознание видит лишь некий малюсенький интервал вокруг неё – этакий «хоровод» таких же точно точек, непонятно для чего группирующихся вокруг точки-ядра (из-за такой непонятности, этот «хоровод» считается условным, невсамделишным).
В своё время, у меня уже была публикация на тему «Что есть точка?». Я там показывал, что точку стоит воспринимать совокупно во всех пространственных измерениях. В этом смысле и наша ось вещественных чисел это не «палка», она имеет троичный статус. Эту ось формируют три РЕАЛЬНО существующие пространства – вещественное, действительное и мнимое. Причём, латинствующее западное сознание вещественное и действительное не различает между собой, отождествляя их (для них это – синонимы).
Представить эти три пространства в единстве оси вещественных чисел не так-то и просто. Весьма условно их можно представить как «косичку», сплетённую из разных «нитей» - «красная нить» вещественная, «синяя» действительная, и «зелёная» мнимая. Кстати, так же условно представлены и цветовые заряды кварков в нуклоне. Я бы конечно предпочёл другую, хотя так же условную их интерпретацию: вещественное - это «внешнее пространство, а два других пространства подразделяются на «внутренние»: действительное пространство будет тогда «внутренним внешним», а мнимое – «внутренним внутренним». Такая вот «загогулина, понимаешь».
Только с введением этих пространств, понятие «окрестности» точки приобретает смысл. Причём этот самый смысл есть – «ВСЁ ВО ВСЁМ». Т.е. точка, имея такую «душу», незримо, через свою окрестность «живёт» во всём сущем, а всё сущее, в свою очередь, такой «окрестностью» формирует эту самую точку. Т.е. посредством своей «окрестности» точка присутствует сразу во всех этих трёх пространствах – в вещественном геометрическом, в действительном топологическом и в мнимом антиподном.
В вещественном геометрическом пространстве (в метрическом мире) мы, собственно, эту самую «окрестность» и не замечаем (как не замечаем мы человеческую душу, хотя, все наши действия обусловлены именно ей). «Окрестность» начинает проявляться лишь в действительном топологическом мире ультраметрики. Именно в этом ультраметрическом пространстве проявляется такое понятие, как «интервал», как «внутренний отрезок». Отличие «интервала» от «отрезка» в том, что «отрезок» задаётся в вещественном метрическом (и, соответственно, геометрическом) мире, а «интервал» - в топологическом действительном ультраметрическом мире.
В ультраметрике аддитивные (свойство складываемости) «отрезки» (с внешними точками), подчиняющиеся аксиоме Архимеда-Евдокса, становятся «интервалами» (с внутренними точками), называемых математиками «ШАРАМИ» (это условное название). У «интервалов-шаров» свойство аддитивности теряется (они уже не складываются друг с другом, но содержатся друг в друге). Не зря ведь, любимой русской игрушкой является матрёшка (только в ультраметрической матрёшке меньшее содержит большее).
Выверни ультраспиново (ультраспин (180˚+180˚=360˚) переводит действительное пространство в вещественное) внешний «отрезок», получишь внутренний «интервал». Почему в геометрии всё изменчиво, а в топологии – неизменно? Неизменность топологии во вложенности «шаров» друг в друге. И ещё, эти самые «шары не пересекаются друг с другом. Центр такого «шара» ВЕЗДЕ, а граница НИГДЕ. Именно поэтому такими «шарами-интервалами» формируются открытые множества, а «отрезками» - закрытые.
А что же мнимое пространство? Без него такие «выверты-переходы» были бы не возможны, как невозможным было бы само существование, как действительного, так и вещественного пространства. Единственное, что указывает на присутствие мнимого мира – это «выколотость» концов «интервала». Такая выколотая точка – это, если хотите, «портал» в мнимый мир.
И, вот, смотрите, наличие всех трёх миров формируется таким математическим понятием, как проектирование (проецирование), или – отображение, когда одно прецируется в другое через третье. Так, протон «смотрится» в электрон, и видит себя нейтроном. А нейтрон, знает, что он – электрон, но через протон. Таинство Триединства – оно велико.
Именно для такого вот проектирования и необходимо такое понятие, как «окрестность», когда внутренность «интервала» проецируется во внешность «отрезка». Каждая точка окрестности «интервала» будет иметь свой образ на «отрезке». Без «интервала» «отрезка» не существует, и, наоборот. И, их обоих не существует без «окрестности».
PS. Действительная окрестность формирует от орбитали электрона (четырёхмерная сфера), до сферического скопления звёздной галактики.
Мнимая же окрестность придаёт форму спиральным галактикам, эклиптикам звёздных систем, копирующих собой мнимую псевдосферу.
Каждая точка нашего организма имеет свою "окрестность", а, значит, Вселенная всегда с нами на связи. Так, что, про «окрестность» - это всё серьёзно.
Всего Вам доброго.