"Наше поколение не выдвинуло ни одного математика, который мог бы сравниться с ним. Пытаясь разглядеть сквозь завесу времени, какое будущее нам уготовано, Гильберт поставил и рассмотрел двадцать три нерешённые проблемы, которые… действительно сыграли важную роль в развитии математики на протяжении последующих сорока с лишним лет. Любой математик, решивший одну из них, занимал почётное место в математическом сообществе." Герман Вейль
В июле 1915 г. Альберт Эйнштейн посетил Геттингенский университет (Германия) по приглашению математика Давида Гильберта. Это была плодотворная встреча для обоих ученых. Их интенсивная научная переписка продолжалась в последующие месяцы. Эйнштейн охарактеризовал этот период как самый изнурительный и стимулирующий за всю его жизнь, результатом чего стала серия исследований и статей, в которых Эйнштейн сформулировал уравнения гравитационного поля Общей теории Относительность (ОТО).
В декабре 1915 года оба гения почти одновременно представили и опубликовали статьи, содержащие эти уравнения. В результате этого возник вопрос, был ли Гильберт предшествующим Эйнштейну в их открытии. Однако сам Гильберт был ответственен за разрешение спора, признав в своей статье, что фундаментальные идеи теории были работой его коллеги: «Полученные дифференциальные уравнения гравитации, как мне кажется, согласуются с великолепной общей теорией. теории относительности, установленной Эйнштейном в его более поздних работах».
Истинная цель, которая привела Гильберта к решению ОТО это попытка установить минимальный набор фундаментальных принципов, которые позволили бы ему вывести не только математические уравнения для подтверждения ОТО, но и любую другую теорию физики. Он искал минимальное количество аксиом, на которых базируется вся математическая физика.
Это было еще одним звеном в его колоссальном проекте построения теоретической основы с помощью аксиоматического метода для разработки методов и приемов, необходимых для решения любой математической задачи. Это была цель, согласующаяся с видением и непоколебимой верой Гильберта в способность математики находить ответы на все вопросы. Это было движущей силой и общей нитью успешной карьеры, которая началась в 1886 году, когда он получил должность приват-доцента (доцента) в Кенигсбергском университете, и это в конечном итоге привело его к тому, что он стал архитектором современной математики.
Научная биография Гильберта отчётливо распадается на периоды, посвящённые работе в какой-либо одной области математики:
Теория инвариантов (1885—1893).
Теория алгебраических чисел (1893—1898).
Основания геометрии (1898—1902).
Принцип Дирихле (математическая физика) и примыкающие к нему проблемы вариационного исчисления и дифференциальных уравнений (1900—1906).
Теория интегральных уравнений (1902—1912).
Решение проблемы Варинга в теории чисел (1908—1909).
Математическая физика (1910—1922).
Основания математики (1922—1939).
Краткая биография
Немецкий математик Давид Гильберт родился 23 января 1862 года в Кёнигсберге (сегодня Калининград), столице Восточной Пруссии. Его отца, государственного чиновника, направили в этот город на работу в качестве судьи. Обстановка, в которой рос Гильберт, была чрезвычайно благоприятной для интеллектуального развития мальчика, преимущественно благодаря его матери, невероятно образованной женщине, любившей философию, астрономию и математику. В 18 лет, окончив школу, Гильберт начал изучать математику в Кёнигсбергском университете. Среди его учителей Генрих Вебер и Фердинанд фон Линдеман. В этот период Гильберт впервые занялся теорией инвариантов и познакомился с математиком Германом Минковским (1864-1909), дружбу с которым сохранил на протяжении всей жизни. В 1892 году Гильберт получил место экстраординарного профессора в университете Кёнигсберга. Эта должность не только была престижной, но и давала ему финансовое положение, необходимое для создания семьи. В том же году Гильберт женился на Кете Ерош. Одним из поворотных моментов в его карьере было предложение Феликса Клейна (пошедшего наперекор мнению большинства преподавателей) стать ординарным профессором Гёттингенского университета. Гильберт принял его в 1895 году. На этой должности он оставался 35 лет, фактически до конца жизни. Среди прямых учеников Гильберта в Гёттингене были Эрнст Цермело, Герман Вейль, Джон фон Нейман, Рихард Курант, Гуго Штейнгауз, шахматный чемпион Эммануил Ласкер и другие. Намного больше круг учёных, которые считали себя его учениками, в их числе, например, Эмми Нётер и Алонзо Чёрч.
В 1897 году вышла капитальная монография «Отчёт о числах» по теории алгебраических чисел.
В 1900 году на Втором Международном математическом конгрессе Гильберт формулирует знаменитый список 23 нерешённых проблем математики, послуживший направляющим указателем приложения усилий математиков на протяжении всего XX века. С 1902 Гильберт - редактор авторитетнейшего математического журнала «Mathematische Annalen».
В 1910-х годах Гильберт создаёт в современном виде функциональный анализ, введя понятие, получившее название гильбертова пространства. Одновременно он консультирует Эйнштейна и помогает ему в разработке четырёхмерного тензорного анализа, послужившего фундаментом для Общей теории относительности. В 1920-х годах Гильберт и его школа сосредоточили усилия на построении аксиоматического обоснования математики.
В 1930 году, в соответствии с уставом университета, 68-летний Гильберт ушёл в отставку, хотя время от времени читал лекции студентам. Последнюю лекцию в Гёттингене Гильберт прочитал в 1933 году.
После прихода национал-социалистов к власти в Германии жил в Гёттингене в стороне от университетских дел. Многие его коллеги, имевшие недостаточно арийских предков или родственников, были вынуждены эмигрировать.
Умер Гильберт 14 февраля в военном 1943 году в Гёттингене.
23 проблемы Гильберта
В 1900 году Гильберт представил научному сообществу список из 23 важнейших математических проблем, решение которых должно было быть целью математической науки ХХ века.
"Кто из нас не был бы рад приоткрыть завесу, за которой лежит сокрытое от нас будущее, окинуть взглядом грядущие достижения нашей науки и тайны ее развития в предстоящие столетия? Каковы будут те особенные цели, к которым будут обращаться ведущие математические умы грядущих поколений?" Гильберт. 1900 г
Какие же задачи Гильберт считал тогда главными для математики? Во-первых, обоснование ее новых, бурно развивающихся ветвей: теории множеств, математической логики, теории чисел, алгебраической геометрии, функционального анализа. В каждой их этих областей Гильберт выделил одну-две задачи, — наиболее просто формулируемые и трудные для решения. Таковы континуум-гипотеза и непротиворечивость арифметики, распределение простых чисел и трансцендентность числа е..., классификация непрерывных групп и разрешимость диофантовых уравнений...
К началу 21 века все эти задачи либо решены, либо доказана их неразрешимость. Но каждая решенная проблема породила новые проблемы.
Список проблем
1 Проблема Кантора о мощности континуума (Континуум-гипотеза)
(решена)
2 Непротиворечивость аксиом арифметики (требует уточнения
формулировки)
3 Равносоставность равновеликих многогранников (решена,
опровергнута )
4 Перечислить метрики, в которых прямые являются геодезическими
(требует уточнения формулировки)
5 Все ли непрерывные группы являются ли группами? (решена,
являются)
6 Математическое изложение аксиом физики
7 Является ли число 2 в степени корень из двух трансцендентным (или
хотя бы иррациональным) (решена, является)
8. Проблема простых чисел - гипотеза Римана (есть прогресс)
9 Доказательство наиболее общего закона взаимности в любом
числовом поле (доказана для абелевого случая)
10 Есть ли универсальный алгоритм решения диофантовых уравнений?
(решена, нет)
11 Исследование квадратичных форм с произвольными
алгебраическими числовыми коэффициентами (частично решена)
12 Распространение теоремы Кронекера об абелевых полях на
произвольную алгебраическую область рациональности (не
решена)
13 Можно ли решить общее уравнение седьмой степени с помощью
функций, зависящих только от двух переменных? решена, да можно
14 Доказательство конечной порождённости алгебры инвариантов
алгебраической группы (решена, опровергнуто)
15 Строгое обоснование исчислительной геометрии Шуберта
(частично решена)
16 Топология алгебраических кривых и поверхностей (частично
решена)
17 Представимы ли определённые формы в виде суммы квадратов?
(решена, да)
18 Конечно ли число кристаллографических групп? (решена, да)
существуют ли нерегулярные заполнения пространства
конгруэнтными многогранниками? - решена, да
являются ли гексагональная и кубическая гранецентрированная
упаковки шаров наиболее плотными? - решена, да
19 Всегда ли решения регулярной вариационной задачи Лагранжа
являются аналитическими? (решена, да)
20 Все ли регулярные вариационные задачи с определёнными
граничными условиями имеют решения, если в случае
необходимости самому понятию решения придать расширенное
толкование? (решен)
21 Доказательство существования линейных дифференциальных
уравнений с заданной группой монодромии (решена)
22 Униформизация аналитических зависимостей с помощью
автоморфных функций (частично решена)
23 Развитие методов вариационного исчисления (не решена, но есть
прогресс)
На данный момент решены 16 проблем из 23. Ещё 2 не являются корректными математическими проблемами (одна сформулирована слишком расплывчато, чтобы понять, решена она или нет, другая, далёкая от решения, — физическая, а не математическая). Из оставшихся 5 проблем две не решены никак, а три решены только для некоторых случаев.
К 40-м годам ХХ века карьера Гильберта уже подошла к концу. И не только в силу, возраста, но и из-за удара, который в 1930 году молодой австрийский математик Курт Гёдель нанес идеям Гильберта. «Вселенская аксиоматизация» не состоялась. Вся суперамбициозная, грандиозная программа, над которой несколько десятилетий работал Гильберт, была опровергнута одной-единственной теоремой. Ее автором был Курт Гёдель.
В 1930 году Гёдель защитил докторскую диссертацию, написанную под руководством Ханса Хана (1879-1934). Она называлась «Полнота аксиом логического функционального исчисления» и была посвящена теме, тесно связанной с формалистской программой Гильберта. В начале сентября того же года Гёдель принял участие в конгрессе «Эпистемология точных наук», на котором также выступали Рудольф Карнап, Аренд Гейтинг, Джон фон Нейман и Фридрих Вайсман. Гёдель четко заявил о своих сомнениях в выполнимости программы Гильберта и изложил некоторые свои результаты, демонстрирующие неполноту арифметики. Немногим позже, в 1931 году, когда ему было всего 25 лет, Гёдель опубликовал знаменитую теорему о неполноте, которая подрывала сами основы математики. Несмотря на то что в теореме говорилось о сугубо специализированных вещах, она очень быстро получила широкий международный резонанс.
Спасибо за внимание!