Основы методологии моделирования.
Целью исследования обычно являются либо изучение механизма поведения объекта или явления, либо определение значений параметров исследуемого объекта, удовлетворяющих определенному критерию. Это означает, что в процессе исследования необходимо изменять значения параметров исследуемого объекта и таким образом измерять значения показателя, служащего аргументом критерия. Процесс исследования заканчивается, когда исследователь находит совокупность значений параметров объекта, удовлетворяющую заданному критерию с заданной достоверностью.
Проведение таких исследований называется экспериментом. На практике экспериментирование с реальными объектами, как правило, либо обходится очень дорого, либо вообще невозможно из-за нежелательных последствий эксперимента. Примерами таких задач могут быть задачи изучения социальных и экономических последствий от введения новых законодательных актов, исследование влияния, которое окажет на показатели безопасности воздушного движения оснащение воздушных судов новой системой предупреждения столкновений, или исследование характеристик устойчивости конструкции зданий (сооружений) для сейсмически опасного района.
Поэтому обычно в таких случаях для проведения научных экспериментов реальные объекты заменяются соответствующими им более простыми, безопасными и доступными объектами, свойства которых подобны свойствам исследуемых реальных объектов в своей существенной части. Методологической основой такого подхода является моделирование систем.
Моделирование представляет собой универсальный метод получения, описания и использования знаний и используется в любой профессиональной деятельности. В современной жизни, характеризующейся большим разнообразием и сильной взаимозависимостью явлений и процессов, роль и значение моделирования еще более усиливаются. Моделирование реальных систем живой и неживой природы позволяет исследователю или проектировщику выявлять связи между формальными знаниями и изучаемыми системами или процессами.
Методология моделирования применяется во многих областях человеческой деятельности. Из основных областей применения назовем такие области, как:
· построение теории исследуемой системы;
· управление системой в целом или отдельными ее подсистемами, выработка управленческих решений и стратегий;
· автоматизация системы или отдельных ее подсистем;
· обучение, как в прикладных областях знаний, так и в профессинальной сфере;
· прогнозирование реакции систем (выходных данных) на воздействия, ситуаций, состояний.
Модели и моделирование объединяют специалистов различных областей, работающих над решением междисциплинарных проблем, независимо от того, где эта модель и результаты моделирования будут применены. Вид модели и методы ее исследования больше зависят от информационно-логических связей элементов и подсистем моделируемой системы, ресурсов, связей с окружением, используемых при моделировании, а не от конкретной природы, конкретного наполнения системы.
Модели, в особенности модели математические, обладают и другой важной особенностью, а именно, позволяют развивать у исследователя модельный стиль мышления, что дает возможность вникать в структуру и внутреннюю логику моделируемой системы.
Чтобы получить представление об основной сущности понятия модель будем использовать такое ее определение:
Объект А есть модель объекта В, если:
1) А и В не идентичны друг другу;
2) А отвечает на вопросы относительно В.
Иначе говоря, модель представляет собой некоторый объект, замещающий объект-оригинал в целях его изучения или воспроизведения каких-либо его свойств, и есть, таким образом, результат отображения первого на второй.
Например, отображая объект-оригинал, представляющий собой физическую систему, на математическое описание в виде системы дифференциальных уравнений, получим математическую модель объекта-оригинала.
Построение модели есть системная задача, требующая анализа и синтеза исходных данных, гипотез, теорий, знаний специалистов. Системный подход позволяет не только построить модель реальной системы, но и использовать эту модель для оценки различных системных показателей, например, эффективности управления каким-либо объектом или качественных и количественных показателей деловых процессов, протекающих в некоторой структуре.
Любая модель строится и исследуется при определенных допущениях (гипотезах). Например, физическая система, состоящая из тела массы m, движущегося с ускорением a и находящегося под воздействием силы F, описывается математически уравнением F=ma и представляет собой математическую модель физической системы (второй закон Ньютона). Эта модель построена при таких допущениях относительно объекта-оригинала как:
1) трение отсутствует;
2) сопротивление воздуха ничтожно мало;
3) масса тела не меняется;
4) движение происходит с постоянным ускорением.
Когда же нам необходимо иметь инструмент для более точного количественного описания происходящих явлений (иными словами, получить более адекватную модель), мы будем вынуждены включить в рассмотрение какие-то из тех факторов, которыми до этого пренебрегали.
Под моделированием будем понимать процесс, в результате которого решаются две задачи:
1) создание модели для проведения исследований;
2) проведение на основе созданной модели экспериментов, необходимых для достижения конечной цели исследований.
Важно отметить то обстоятельство, что модель, появляющаяся как итог решения первого этапа моделирования, предназначена для решения с ее помощью конкретной задачи, которая должна формулироваться до начала работ по моделированию, и модель должна, следовательно, создаваться на основе гипотез, вытекающих из специфики и требований конечной цели исследований.
В широком смысле моделирование представляет собой научную дисциплину, в которой изучаются методы построения и использования моделей для познания реального мира.
Вопрос 2. Классификация моделей.
Классификацию моделей на верхнем уровне (Рис. 1
Рис.) можно провести, выделив два основных класса – моделей натурных и моделей математических.
Рис. 1. Классификация моделей
При натурном моделировании используется либо сама исследуемая система, либо подобная ей. Модели в этих случаях представляют собой материальные объекты. Поэтому они иногда называются материальными моделями.
При исследовании сложных систем, как правило, создать адекватную физическую модель не представляется возможным. В этих случаях ограничиваются созданием и исследованием математических описаний закономерных отношений между значениями параметров оригиналов. Такие описания называются математическими моделями. Математическая модель - это образ исследуемого объекта, умозрительно создаваемый исследователем с помощью определенных формальных (математических) систем с целью изучения или оценивания определенных свойств данного объекта.
Математическое моделирование можно определить как процесс установления соответствия реальной системе математической модели и проведения исследований на этой модели, позволяющий получить характеристики реальной системы.
Применение математического моделирования дает возможность исследовать объекты, реальные эксперименты над которыми затруднены или невозможны в силу связанных с проведением экспериментов больших затрат, опасности для жизни или здоровья. Такие случаи возможны при изучении новой конструкции летательного аппарата, наличия физических (например, большая удаленность объекта от исследователя) или временных (проведение натурных экспериментов невозможно в установленные сроки) ограничений и т.п.
Одним из основных достоинств математического моделирования является их экономичность. По разным оценкам построение и применение математических моделей требует примерно в 10-100 раз меньших затрат по сравнению с затратами на физическое моделирование.
В зависимости от способов, которые используются для математического описания моделируемой системы и нахождения решения с помощью этого описания, различают аналитическое и компьютерное моделирование.
При аналитическом моделировании процессы функционирования элементов описываются в виде математических соотношений (алгебраических, интегральных, дифференциальных, логических и т.д.).
При компьютерном моделировании описание модели составляется либо в виде алгоритма (программы ЭВМ), либо в форме, которая может восприниматься (интерпретироваться) ЭВМ с целью проведения экспериментов. В зависимости от способа, который используется для решения математической модели, различают численное, статистическое и имитационное моделирование.
При численном моделировании для проведения расчетов используются методы вычислительной математики. От аналитического моделирования численное моделирование отличается тем, что возможно задание различных параметров модели.
Статистическое моделирование, или метод Монте-Карло состоит в обработке данных о системе (модели) с целью получения статистических характеристик системы. Его можно считать разновидностью имитационного моделирования, способ исследования процессов поведения вероятностных систем в условиях, когда неизвестны внутренние взаимодействия в этих системах. Он заключается в машинной имитации изучаемого процесса, который как бы копируется на вычислительной машине со всеми сопровождающими его случайностями; используется главным образом при решении задач исследования операций, в анализе производственной деятельности.
Когда внутренние взаимодействия между элементами системы и механизмы протекания процессов исследуемого объекта достаточно хорошо изучены и описаны, то становится возможным непосредственное воспроизведение протекающих процессов с помощью компьютерной программы. Такой подход называют имитационным моделированием, которое позволяет исследователю или аналитику добиться высокой точности результата при относительно невысоких затратах на его получение.
Математические модели, которые являются основным классом моделей изучаемых в настоящем курсе, можно классифицировать и по целому ряду специфических для них признаков. Укажем некоторые из основных классификаций математических моделей.
Математический аппарат.
В зависимости от применяемого аппарата модель может быть отнесена к одному из следующих видов.
Функциональная – состоит из совокупности нескольких функций, описывающих взаимосвязи между различными параметрами моделируемой системы. Примером функциональной модели может быть выраженная вторым законом Ньютона зависимость между массой, силой и ускорением движущегося тела.
Логическая – состоит из логических высказываний (предикатов) относительно моделируемой системы. Например, правила выполнения арифметических действий над двоичными числами в процессоре ЭВМ могут быть описаны с помощью основных логических операций И, ИЛИ, НЕ.
Табличная – описывает структуру и/или поведение моделируемой системы в виде одной или нескольких таблиц. Так, эффективность применения того или иного антивирусного средства можно описать в виде таблицы, строками которой будут применяемые программы, а столбцами – виды вирусных атак.
Графовая – использует математическое понятие графа для представления моделируемых структур и взаимодействий между отдельными элементами структур. Например, с помощью графовой модели можно представить транспортную сеть с целью оптимизации ее структуры или нахождения оптимальных путей передвижения по этой сети (задача коммивояжера и т.п.).
Алгоритмическая – строится как формализованное описание логической последовательности действий, которые необходимо предпринять для достижения требуемой цели в моделируемой системе. Например, для нахождения критического пути в сетевом графе работ используется алгоритм (метод) критического пути, построенный на рекуррентном правиле.
Игровая – описывает поведение системы из нескольких субъектов (групп субъектов) с конфликтом или антагонизмом целей. Формализация осуществляется на основе аппарата теории игр.
Приведенный перечень не является исчерпывающим и отражает лишь наиболее распространенные типы моделей.
Назначение модели.
Если описание модели не содержит временного параметра, то модель называется статической. Примерами статических моделей являются планетарная модель атома и модель ДНК.
Если описание модели включает временной параметр, то модель называется динамической. Примером динамической модели может быть модель для определения величины пройденного пути свободно падающим телом, которая находится из выражения:
где
g – ускорение свободного падения;
t - время, прошедшее с момента начала движения.
Модельное время.
Модель называется моделью с дискретным временем (или просто дискретной), если поведение моделируемой системы описывается только для дискретного набора моментов времени. Например, если рассматривать систему ведения артиллерийского огня, то решение задачи оценивания эффективности стрельбы можно проводить, привязываясь только к определенным временным моментам, а именно, к моментам произведения выстрела.
Модель называется моделью с непрерывным временем (или просто непрерывной), если поведение моделируемой системы описывается для любого момента времени ее функционирования. Например, в ранее приведенном примере свободно падающего тела величину пройденного пути модель позволяет определять в произвольные моменты времени.
Деление систем на непрерывные и дискретные довольно условно и определяется характером решаемой задачи.
Вид используемых функций.
По этому признаку принято подразделять модели на две большие группы – линейные и нелинейные.
В линейных моделях математическая связь ее выходных параметров с входными представляется с помощью линейных зависимостей.
В качестве примера можно еще раз использовать второй закон Ньютона, который выражается математически, как хорошо известно, следующим образом:
F=ma.
Другим примером может служить также хорошо известный закон Ома, устанавливающий связь меду величиной напряжения, силой тока и сопротивлением:
U = IR.
Однако довольно часто поведение исследуемой системы не подчиняется линейным зависимостям и для их описания нужно применять функции более сложного вида (степенные, логарифмические, показательные), что приводит к нелинейным моделям.
Построение и использование нелинейных моделей сопряжено со значительными трудностями, поэтому на практике чаще прибегают к кусочно-линейной аппроксимации (линеаризации) нелинейных моделей в целях упрощения задачи.
Определенность поведения.
Различают детерминированные и стохастические в зависимости от возможности или невозможности предсказать их поведение.
В детерминированной модели в каждый момент времени можно основываясь на значениях входных параметров, однозначно предсказать значения выходных параметров. К таким моделям можно отнести многие модели, применяемые в астрономии.
В стохастической (недетерминированной, вероятностной) модели в силу действия недостаточной изученных или вовсе неизвестных случайных факторов предсказать поведение модели однозначно нельзя. Описание и исследование моделируемой системы может быть построено на использовании аппарата теории вероятностей и математической статистики, а также известных законов распределения случайных величин. К стохастическим моделям можно отнести модели систем массового обслуживания (парикмахерская, банк, билетная касса, справочное бюро и т.п.), где момент прихода очередного требования и продолжительность нахождения его в системе однозначно непредсказуемы.
Вопрос 3. Требования, предъявляемые к моделям.
Чтобы соответствовать своему назначению и быть практически полезными модели должны отвечать ряду требований, вытекающих из сущности методологии и определяемых условиями конкретной задачи. Укажем основные из них, которые носят принципиальный и универсальный характер.
Создать модель в точности отображающую все свойства моделируемого объекта невозможно. Модель всегда отображает только некоторые аспекты системы, выбираемые исследователем для включения в модель в зависимости от того, насколько эти аспекты существенны с точки зрения решения основной задачи. Выбор цели, таким образом, определяет характер всей последующей работы, связанной с построением и использованием модели, а также полезность и надежность получаемого результата. Таким образом, основным и обязательным свойством модели является ее целенаправленность.
Свойство адекватности модели определяет ее пригодность в качестве инструмента проведения исследований и является основным ее свойством. Модель считается адекватной, если она отражает заданные свойства моделируемого объекта с приемлемой точностью. Точность определяется как степень близости значений выходных параметров модели к выходным параметрам объекта. Если в процессе построения модели допущены принципиальные ошибки, то говорить о ее точности не имеет смысла.
Реальный объект (Рис. 2а).
Рис. 2. Объект-оригинал (а) и его модель (б)
Однако в модели (
Рис.Рис. 2б) отображаются только те факторы и параметры объекта-оригинала, которые имеют существенное значение для решения поставленной задачи. Кроме того, измерения существенных факторов и параметров практически всегда содержат ошибки, обусловленные погрешностью измерительных приборов и незнанием некоторых факторов. В силу этого модель включает в себя только приближенное описание свойств изучаемого объекта, а математическая модель представляет собой еще и абстракцию изучаемого объекта.
где
Точность модели различна в разных условиях функционирования объекта, которые характеризуются внешними параметрами. В пространстве внешних параметров необходимо выделить область адекватности модели, где погрешность меньше заданной предельно допустимой погрешности. Определение области адекватности моделей является довольно сложной и трудоемкой задачей, решение требующей больших вычислительных и временных ресурсов, которые с увеличением размерности пространства внешних параметров растут нелинейно. Эта задача по объему может значительно превосходить задачу параметрической оптимизации самой модели, поэтому для вновь проектируемых объектов может не решаться.
Универсальность модели определяется в основном числом и составом учитываемых в модели внешних и выходных параметров. Задачей разработчика модели является определение множества этих параметров таким образои, чтобы обеспечить получение нужных результатов в достаточно широкой области исследований.
Экономичность модели характеризуется затратами вычислительных ресурсов для ее реализации - затратами машинного времени и памяти. Для решения достаточно сложных задач это обстоятельство может иметь очень большое значение.
Противоречивость требований к модели - широкая область адекватности, высокая степень универсальности и экономичность - обусловливает необходимость создания для объектов одного и того же типа не одной модели, а некоторого их набора, в котором каждая модель предназначена для решения конкретных, в общем случае непересекающихся, задач.
Степень соответствия модели своему назначению и ее практическая полезность характеризуется также наличием у нее таких свойств как:
· Наглядность, под которой понимается обозримость основных свойств и отношений.
· Управляемость, предполагающая наличие в модели хотя бы одного параметра, изменениями которого можно имитировать поведение моделируемой системы в различных условиях.
· Доступность и технологичность для проведения исследования или воспроизведения поведения.
· Адаптивность, под которой понимается способность модели приспосабливаться к различным входным параметрам и воздействиям окружения.
· Способность к эволюции, т.е., к количественному и качественному развитию.
Выводы:
1. Решение многих научных и практических задач сопряжено с большими трудностями в силу невозможности проведения эксперимента с реальным объектом или связанных с проведением эксперимента большими затратами. Преодолеть эти трудности можно путем моделирования изучаемого объекта.
2. Методология моделирования является универсальной как по отношению к типу изучаемых объектов и явлений, так и в смысле постановок задач исследований, которые могут выходить за границы применимости классических теорий и требовать междисциплинарного подхода.
3. Для правильного выбора подхода к решению задач моделирования, так же как и в других областях науки необходима классификация моделей по различным признакам. Одним из наиболее распространенных классов моделей являются математические модели, дающие возможность получить во многих случаях решение с приемлемой точностью при относительно небольших затратах на построение моделей и проведение с ними экспериментов.
4. Эффективность моделирования зависит от того, насколько полно построенная модель соответствует предъявляемым требованиям. Набор этих требований зависит от специфики решаемой задачи, однако, практически во всех случаях в число этих требований входят требования адекватности, универсальности и экономичности.