Мы начнем с простых логических головоломок, постепенно наращивая сложность. Подумайте над каждой из головоломок и проверьте себя в конце статьи (все ответы с объяснениями собраны в конце статьи); но имейте в виду, некоторые из этих сложных логических головоломок и проблем могут поставить вас в тупик на несколько часов.
Готовы принять вызов?
Простые логические головоломки
1. Утки
Впереди идут две утки, две утки позади и утка посередине. Сколько всего уток?
2. Яблоки
Пять человек ели яблоки, A закончил раньше Б, но позже В. Г закончил раньше Д, но позже Б. Каков был порядок завершения?
3. Любовный треугольник
Макс смотрит на Машу. Маша смотрит на Василия. Макс женат, Василий - нет, и мы не знаем, замужем ли Маша. Смотрит ли женатый человек на неженатого человека?
4. Носки боятся темноты
У мужчины в ящике стола 53 носка: 21 синий, 15 черных и 17 красных. Свет выключен, и он полностью в темноте. Сколько носков он должен взять, чтобы быть на 100 процентов уверенным, что у него есть хотя бы одна пара черных носков?
5. Горящие веревки
Эта задача является классической логической головоломкой. У вас есть две веревки, каждая из которых горит по часу, но, возможно, горит с разной скоростью. Как вы можете измерить 45 минут? (Вы можете зажечь одну или обе веревки на одном или обоих концах одновременно. Линейки и режущих предметов у вас под рукой нет, да они и не помогли бы).
Лгать или говорить правду
6. Две столицы
Вы находитесь на развилке дороги, которая в одном направлении ведет в Город Лжи (где все всегда лгут), а в другом - в Город Правды (где все всегда говорят правду). На развилке есть человек, который живет в одном из городов, но вы не уверены, в каком именно. Какой вопрос вы могли бы задать человеку, чтобы узнать, какая дорога ведет в Город Истины?
7. Лев и единорог
Девушка встречает льва и единорога в лесу. Лев лжет каждый понедельник, вторник и среду, а в остальные дни он говорит правду. Единорог лжет по четвергам, пятницам и субботам, а в остальные дни недели он говорит правду. “Вчера я лгал", - сказал лев девушке. “Я тоже”, - сказал единорог. Какой сегодня день?
8. Рыцарь, лжец и шпион
Есть три человека (Оптимус Прайм, Сириус Блэк и Иванушка), один из которых рыцарь, один - лжец и один - шпион. Рыцарь всегда говорит правду, лжец всегда лжет, а шпион может либо солгать, либо сказать правду. Оптимус Прайм говорит: “Иванушка - лжец”. Сириус Блэк говорит: “Оптимус Прайм - рыцарь”. Иванушка говорит: “Я шпион". Кто рыцарь, кто лжец, а кто шпион?
Переправа через реку
9. Волк, коза и капуста
Рыбак хочет пересечь реку и взять с собой волка, козу и капусту. У него есть лодка, но в нее может поместиться только он сам плюс либо волк, либо коза, либо капуста. Если волк и коза окажутся одни на одном берегу, волк съест козу. Если коза и капуста будут одни на берегу, коза съест капусту. Как может рыбак перевезти волка, козу и капусту через реку так, чтобы никто ничего и никого не съел?
10. Четверо в лодке, не считая припасов
Четыре человека (Иванушка, Василиск, Федор и Игорь) хотят пересечь реку на лодке, которая может перевозить только 100 кг. Иванушка весит 90 кг, Василиск весит 80 кг, Федор весит 60 кг, а Игорь весит 40 кг, и у них 20 кг припасов. Как бы им переправиться, учитывая, что им всем нужно оказаться на другой стороне реки до темна (а, значит, лодка сможет вернуться не больше 4 раз)?
11. Факел на мосту
Четыре человека переходят мост ночью, поэтому всем им нужен факел, но у них есть только один, который горит всего 15 минут. Маруся может пересечь границу за одну минуту, Пьеро - за две минуты, Грета - за пять минут, а Дон - за восемь минут. Одновременно мост может выдержать не более двух человек; а когда по мосту идут двое, они идут в темпе самого медленного участника пары. Как им всем успеть перейти мост за 15 минут?
Фатальный выбор
12. Странная русская рулетка
Плохой парень играет в русскую рулетку с шестизарядным револьвером. Он вставляет одну пулю, вращает барабан и стреляет в несчастного олененка, но выстрела не происходит. Он дает вам выбор, следует ли ему снова вращать барабан или нет, прежде чем стрелять во второй раз. Должен ли он снова вращать барабан? (А вы очень хотите, чтоб олененок остался невредим)
Логические головоломки среднего уровня сложности
13. Теннис
Мария и Лиза решили поиграть в теннис друг против друга. Они ставили по 1 золотому на каждую игру, в которую играли. Мария выиграла три ставки, а Лиза выиграла 5 золотых. Сколько игр они сыграли?
14. Мышеловка
Если пять кошек могут поймать пять мышей за пять минут, сколько времени потребуется одной кошке, чтобы поймать одну мышь?
15. Бочка
Есть бочка без крышки и в ней немного виноградного сока. “Эта бочка заполнена более чем наполовину", - говорит женщина. “Нет, это не так", - говорит мужчина. “Она заполнена меньше чем наполовину”. Без каких-либо измерительных приборов и без извлечения сока из бочки, как они могут легко определить, кто прав?
16. Мешки с шарами
Логическая головоломка: Есть три мешка, в каждом из которых по два шарика. Мешок А содержит два белых шарика, мешок Б содержит два черных шарика, а мешок В содержит один белый шарик и один черный шарик. Вы выбираете случайный мешок и достаете один шарик, он оказывается белым. Какова вероятность того, что оставшийся шарик из того же мешка тоже белый?
17. Угадай шляпу
Трое мужчин выстроились друг за другом. Самый высокий мужчина находится позади и может видеть головы двоих перед собой; второй (средний) человек может видеть одного человека перед собой; человек спереди никого не видит. Им завязывают глаза и надевают на головы шляпы, случайно выбранные из кучи шляп. Эта куча состояла из трех черных шляп и двух белых шляп. Две оставшиеся шляпы спрятаны, а повязки с глаз сняты. Самого высокого мужчину спрашивают, знает ли он, какого цвета шляпа на нем; он не знает. Мужчину, стоящего по центру, спрашивают, знает ли он; он не знает. Но, человек впереди, который никого не видит, говорит, что знает.
Откуда он это знает, и какого цвета шляпа на нем?
Сложные Логические Головоломки
18. Кот в мешке
Кот прячется в одной из пяти коробок. Коробки пронумерованы от одного до пяти и расположены в ряд по порядку. Каждую ночь пугливый кот прячется в соседнюю коробку, находящуюся рядом с коробкой, в которой он прятался в предыдущий день. Каждое утро, вы можете открыть только одну коробку, чтобы проверить, есть ли там кот. Как вам выиграть в этой игре в прятки?
19. Монти Холл
Головоломка стала известной, когда она появилась в колонке журнала Parade “Спроси Мэрилин” в 1990 году, и она была настолько нелогичной, что все, от старшеклассников до лучших математических умов, задавались вопросом об ответе — но будьте уверены, решение точное. Названная в честь ведущего игрового шоу "Давайте заключим сделку", головоломка выглядит так: вам дается три двери на выбор, в одной из которых находится автомобиль, а в двух других - козы. После того, как вы выбрали одну, но не открыли ее, Монти, который знает, где все находится, показывает местоположение козла из-за одной из двух других дверей. Должны ли вы придерживаться своего первоначального выбора или изменить его, если вам нужна машина?
20. Логическая головоломка
Эту головоломку, вариацию на тему "ложь / правда", как известно, называют самой сложной логической головоломкой за всю историю.
Вы встречаете трех богов на вершине горы. Кто-то всегда говорит правду, кто-то всегда лжет, а кто-то говорит правду или лжет случайным образом. Мы можем назвать их Правдой, Ложью и Случайностью. Они понимают русский, но отвечают на своем родном языке, с ja или da для "да" и "нет", но вы не знаете, что есть что. Вы можете задать три вопроса любому из богов (и вы можете задать одному и тому же богу более одного вопроса), и они ответят ja или da. Какие три вопроса вы задаете, чтобы понять, кто есть кто?
Ответы на головоломки
1. Утки
Ответ: Три.
Две утки находятся перед последней уткой; у первой утки есть две утки позади; одна утка находится между двумя другими.
2. Яблоки
Ответ: ВАБГД.
Расположим первые три по порядку, A закончил перед Б, но позже В, так что ВАБ. Затем мы знаем, что Г закончил раньше Д, так что ВAБГ. Мы знаем, что Г закончил после Б, так что ВАБГД.
3. Любовный треугольник
Ответ: Да.
Если Маша замужем, значит, она замужем и смотрит на Василия, который не женат. Если Маша не замужем, то Макс, который женат, смотрит на нее. В любом случае, это утверждение верно.
4. Носки боятся темноты
Ответ: 40 носков.
Если он достанет 38 носков (сумма всех нечерных носков, 21+17), хотя это очень маловероятно, вполне возможно, что все они могут быть синими и красными. Чтобы быть на 100 процентов уверенным, что у него также есть пара черных носков, он должен взять еще два носка.
5. Горящие веревки
Ответ: Поскольку мы не знаем, горят ли веревки последовательно, вы не можете просто зажечь один конец веревки и подождать, пока он не пройдет 75 процентов пути.
Но вот что вы можете сделать: зажгите первую веревку с обоих концов и зажгите другую веревку с одного конца, все одновременно. Первая веревка будет гореть 30 минут (даже если одна сторона горит быстрее, чем другая, это все равно займет 30 минут). В тот момент, когда первая веревка погаснет, зажгите другой конец второй веревки. Поскольку время, затраченное на сжигание второй веревки, составило 30 минут, оставшаяся веревка также займет 30 минут; горение с обоих концов сократит это время вдвое до 15 минут, что даст вам 45 минут совокупно.
6. Две столицы
Ответ: “В каком направлении вы живете?”
Кто-то из Города Лжи будет лгать и указывать на Город Истины; кто-то из Города Истины скажет правду и также укажет на Город Истины.
7. Лев и единорог
Ответ: Четверг.
Единственный день, когда они оба говорят правду, - воскресенье; но сегодня не может быть воскресенья, потому что лев также говорит правду в субботу (вчера). День за днем, единственный день, когда один из них лжет, а другой говорит правду с этими двумя заявлениями, - четверг.
8. Рыцарь, лжец и шпион
Ответ: Мы знаем, что Сириус Блэк говорит неправду, потому что, если бы это было так, было бы два рыцаря; так что Сириус Блэк мог быть либо лжецом, либо шпионом. Иванушка также не может быть рыцарем, потому что тогда его заявление было бы ложью. Так что это должно означать, что Оптимус Прайм - рыцарь. Следовательно, Сириус Блэк, должно быть, шпион, так как шпион иногда говорит правду, оставляя Иванушку лжецом.
9. Волк, коза и капуста
Ответ: Сначала рыбак перевозит козу через реку. Рыбак возвращается один, а затем переправляет волка, но возвращается с козой. Затем, рыбак берет капусту, оставляет ее у волка и возвращается один, чтобы забрать козу.
10. Четверо в лодке, не считая припасов
Может быть несколько вариантов, которые сработают, но вот один из способов:
- Федор и Игорь переплывают реку (в совокупности 100 кг), Игорь возвращается.
- Иванушка в одиночестве переплывает реку, а возвращается - Федор.
- Федор и Игорь снова плывут на другой берег, и Игорь возвращается.
- Василиск переправляется через реку с припасами (в совокупности 100 кг), и Федор возвращается. Федор и Игорь плывут к друзьям.
11. Факел на мосту
Ответ: Маруся и Пьеро переходят мост первыми за две минуты, и Маруся возвращается одна с факелом через одну минуту. Затем, два самых медленных человека - Грета и Дон пересекают мост за восемь минут. Пьеро возвращается через две минуты, подхватывает Марусю и они переходят мост за две минуты. Вся дорога потребовала ровно 15 минут.
12. Странная русская рулетка
Ответ: Да.
Прежде чем он выстрелит, есть один шанс из шести, что пуля будет выпущена. После того, как он нажал на курок, один из 5ти шансов благополучного исхода - сгорел, повысив вероятность того, что во второй раз будет выпущена пуля. Лучше всего снова крутануться.
13. Теннис
Ответ: Одиннадцать.
Поскольку Лиза проиграла Марии три партии, она проиграла 3 золотых (1 золотой за игру). Итак, ей пришлось отыграть эти 3 золотых еще тремя играми, а затем выиграть еще пять игр, чтобы выиграть 5 золотых.
14. Мышеловка
Ответ: Пять минут.
Используя известную нам информацию, одной кошке потребовалось бы 25 минут, чтобы поймать все пяти мышей (5×5 = 25). Затем, работая в обратном направлении и деля 25 на пять, мы получаем пять минут для одной кошки, чтобы поймать каждую мышь.
15. Бочка
Ответ: Наклоняйте бочку до тех пор, пока сок едва не коснется края бочки. Если дно бочки видно, значит, она заполнена меньше чем наполовину. Если дно бочки все еще полностью покрыто вином, значит, она заполнена более чем наполовину.
16. Мешки с шарами
Ответ: 2 из 3.
Вы уже знаете, у вас не мешок Б. Но поскольку в мешке А два белых шарика, вы могли бы выбрать любой из них; подумайте об этом как о четырех шариках в общей сложности из мешков А и В, трех белых и одном черном.
17. Угадай шляпу
Ответ: Черная. Мужчина впереди знал, что он и средний мужчина не носят белых шляп, иначе человек сзади знал бы, что у него черная шляпа (так как белых шляп всего две). Мужчина впереди также знает, что средний мужчина не видел его в белой шляпе, потому что, если бы он это сделал, основываясь на ответе самого высокого мужчины, средний мужчина знал бы, что он сам был в черной шляпе. Итак, мужчина впереди знает, что его шляпа должна быть черной.
18. Кот в мешке
Ответ: Поскольку кот всегда прыгает в соседнюю коробку, после открытия первой коробки можно определить, находится ли кот в четной или нечетной коробке.
Для начала, предположим, что кот начал с четной коробки, 2 или 4.
- В первый день проверяем коробку №2. Если нашли кота — выиграли. Если же нет — значит кот прыгнул в коробку №4. Следовательно, на следующий день кот прыгнет в коробку №3 или №5.
- Во 2-й день проверяем коробку №3 и, если нашли кота — победа. В противном случае кот находится в 5-й коробке и сможет перепрыгнуть только в коробку №4.
- На следующий день проверяем 4-ю коробку — кот определенно должен быть в ней.
Теперь предположим, что кот начал с нечетной коробки, т.е. 1-й, 3-й или 5-й. Следуем той же стратегии до 4-го дня, когда кот окажется в коробке №2 или №4:
- В первый день – кот в коробке №1, №3 или №5.
- Во второй день – кот в коробке №2 или №4.
- В третий день – кот снова в нечетной коробке.
- Следовательно, в 4-й день кот будет во 2-й или 4-й коробке.
Ситуация аналогичной предыдущем случаю – мы можем проверять коробки в порядке «2, 3 и 4» и мы найдем кота.
Итоговая последовательность: 2, 3, 4, 2, 3, 4
Другим вариантом может быть: 2, 3, 4, 4, 3, 2
19. Монти Холл
Ответ: Вам следует изменить первоначальный выбор.
Во время решения представленной задачи обычно приводятся такие рассуждения: ведущий в каждом случае убирает одну дверь с козой, следовательно, вероятность нахождения автомобиля за одной из двух закрытых дверей приравнивается к ½, независимо от того, какой выбор был сделан изначально. Однако это не так. Смысл в том, что, делая первый выбор, участник разделяет двери на A (выбранную), B и C (оставшиеся). Шансы (P) на то, что машина стоит за дверью A, равны 1/3, а на то, что она за дверьми B и C равны 2/3. И шансы на успех при выборе дверей B и C вычисляются так:
P(B) = 2/3 * ½ = 1/3
P(C) = 2/3 * ½ = 1/3
Где ½ является условной вероятностью того, что машина находится именно за этой дверью, при условии, что машина не за той дверью, что выбрал игрок.
Ведущий, открывая заведомо проигрышную дверь из двух оставшихся, сообщает игроку 1 бит информации и изменяет тем самым условные вероятности для дверей B и C на значения 1 и 0. Теперь шансы на успех будут вычисляться так:
P(B) = 2/3*1 = 2/3
P(C) = 2/3*0 = 0
И получается, что если игрок изменит свой изначальный выбор, то его шанс на успех будет равен 2/3.
Объясняется это следующим образом: изменяя свой выбор после манипуляций ведущего, игрок выиграет, если изначально он выбрал дверь с козой, т.к. ведущий открывает вторую дверь с козой, а игроку остаётся лишь поменять двери. Выбрать же изначально дверь с козой можно двумя способами (2/3), соответственно, если игрок заменит двери, то выиграет с вероятностью 2/3
20. Логическая головоломка
Ответ: Прежде чем перейти к ответу, давайте подумаем о гипотетическом вопросе, на который вы знаете ответ, например: “Два плюс два равно четырем?”. Затем сформулируйте его так, чтобы вы задавали его как встроенный вопрос: “Если бы я спросил вас, равно ли два плюс два четырем, вы бы ответили ja?”
- Если ja означает "да", Правда ответила бы ja, но и Ложь тоже (она всегда лжет, поэтому она сказала бы ja, хотя на самом деле ответил бы da).
- Если ja означает "нет", они оба все равно ответят ja — в этом случае Ложь ответит на встроенный вопрос с помощью ja, ведь сказать da на этот вопрос было бы правдой, поэтому он говорит ja. (Ответ Случайности был бы бессмысленным, потому что мы не знаем, лжет она или говорит правду.)
Но что, если бы они ответили на вопрос: “Если бы я спросил вас, равно ли два плюс два пяти, вы бы ответили ja?”
Если ja означает "да", Истина ответит da, как и Ложь; если ja означает "нет", они также оба ответят da.
Итак, вы знаете, что если встроенный вопрос правильный, Истина и Ложь всегда отвечают одним и тем же словом, которое вы используете; если встроенный вопрос неправильный, они всегда отвечают противоположным словом. Вы также знаете, что они всегда отвечают одним и тем же словом друг другу.
Рассуждая таким образом, задайте богу в середине свой первый вопрос: “Если бы я спросил вас, является ли бог слева от меня Случайным, вы бы ответили ja?”
Если бог отвечает ja, и вы говорите либо с Правдой, либо с Ложью, следуя приведенной выше логике, вы знаете, что встроенный вопрос правильный, а бог слева Случайность.
Также возможно, что вы разговариваете со Случайностью; но вы знаете, с кем бы вы ни разговаривали, бог справа не Случайность.
Если ответ da, то все наоборот, и вы знаете, что бог слева не Случайность. Затем вы можете задать богу, который, как вы определенно знаете, не является случайным, вопрос, используя ту же структуру: “Если бы я спросил вас, являетесь ли вы Истиной, вы бы сказали "да"?”
Если они отвечают ja, вы знаете, что говорите Правду; если они отвечают da, вы знаете, что говорите с Ложью. Затем, как только вы определили, что бог Истинен или Ложен, вы можете задать тому же богу последний вопрос, чтобы определить Случайность: “Если бы я спросил вас, является ли бог в середине Случайным, вы бы сказали, ja?” В процессе исключения вы можете затем идентифицировать последнего бога.