Всем привет, меня зовут Андрей, это снова я!
Сегодня я хочу рассказать про треугольники, вписанные в окружность. Чаще всего окружности бывают вписанными в треугольник или описанными вокруг треугольника, но иногда могут встречаться в задачах и другие многоугольники. Задачи про окружности и треугольники могут встречаться не только на ЕГЭ, но и в любых других задачах.
Окружность считается вписанной в многоугольник, если все стороны многоугольника касаются этой окружности. Окружность будет описанной вокруг многоугольника, если она будет содержать все вершины многоугольника. В данной статье более подробно рассмотрим вариант второй – когда окружность описана вокруг треугольника.
А рассказать я хочу о том, как можно быстро и правильно нарисовать рисунок к тем задачам, которые касаются описанных окружностей. Если треугольник вписан в окружность, то окружность описана вокруг него.
Секрет первый: всегда начинать построение рисунка нужно с окружности. Если делать рисунок наоборот, начать рисовать треугольник, то будет очень сложно подобрать описанную вокруг него окружность. Желательно знать, где у этой окружности центр. Если мы имеем дело с электронными графическими редакторами и не знаем, как не только нарисовать окружность, но и точно определить ее центр – то лучше всего «скачать» готовую окружность вместе с отмеченным центром. Если же мы рисуем на бумаге циркулем, без помощи электроники – там все гораздо проще найти центр. Например, центр окружности обычно выбирается на пересечении двух линий листа в клеточку, да и игла самого циркуля часто оставляет на бумаге след.
После этого будем рисовать треугольник (ну или другой многоугольник, который нам нужен). Если окружность описана вокруг треугольника – это значит, что нам надо выбрать три точки на самой окружности. Секрет второй: если мы нарисовали окружность, а затем на ней выбрали любые три точки – вершины нашего треугольника, то наш треугольник всегда будет вписан в эту окружность. Эти точки нужно выбирать таким образом, чтобы полученная фигура максимально соответствовала всем условиям задачи. Приведем пример. Пусть надо решить задачу:
- Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 50, основание равно 60. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.
Хотя в условии задачи первым делом упоминается треугольник, а не окружность, мы все равно начнем построении с окружности:
Затем смотрим внимательно – окружность вписана в треугольник, или наоборот: треугольник вписан в окружность. Главное – ничего не перепутать. В нашем случае, в условии сказано: «описанная окружность». А это значит, что треугольник вписан в окружность, то есть надо находить три точки на самой окружности. Кроме того, треугольник равнобедренный, а это значит, что нужно мысленно провести диаметр окружности так, чтобы одна половина окружности оказалась слева, вторая справа:
Тогда одна из вершин треугольника будет строго наверху этого мысленного диаметра, а две другие – симметрично друг другу – одна в «левой» половине окружности, вторая – в «правой». Кроме того, окружность надо делить не просто на три части, но нужно соблюсти соотношение этих частей как 5:5:6, потому что соотношение сторон треугольника равно соотношению дуг окружности, на которую он ее разделяет. Можно, конечно, разделить «на глаз», но для тех, у кого есть и время, и желание построить «точь-в-точь», я расскажу, как это сделать.
Если бы треугольник был равносторонний, мы бы разделили окружность на три одинаковые части. Это делалось бы так: сначала мы бы построили один радиус окружности, желательно на нашем «мысленном» диаметре, и построили бы два угла с вершиной в точке О – центре окружности. У этих углов был бы общий луч, или сторона – это тот радиус, который мы уже построили. Градусная мера была бы у каждого угла – 120 градусов, потому что 120 – это 360/3. Но это было бы в том случае, если бы у треугольника были равными все три стороны. А у нас две равные части, но третья чуть больше каждой из них.
Напомню, что мы хотим построить график не примерно точный, а максимально точный, нам даже придется воспользоваться транспортиром. Конкретно для нашей задачи: начнем строить вторую точку (потому что первая точка будет на самом верху нашего «мнимого» диаметра, который разделил бы наш круг строго пополам по вертикали). Вторая и третья точки будут ей симметричны друг другу и располагаться по разные стороны нашего «мнимого» диаметра. Напомню, что угол в 90 градусов отделил бы 0,25 от окружности в 360 градусов; нам же нужно разделить окружность так, чтобы одна точка ее делила в соотношении 50:160 (потому что 160 – это сумма соотношений сторон нашего треугольника: 50+50+60=160, ведь именно в этом отношении вершины треугольника разделят нашу окружность). Получается 0,3125, это 50/160.
Теперь составляем пропорцию: 1/360=0,3125/х, откуда х=360*0,3125=112,5. Это значит, что нам надо строить угол в 112,5 градусов.
Вот что должно получиться:
У нас получились не только три точки – вершины треугольника А, В и С, но и сами радиусы окружности – ОА, ОВ и ОС. В нашей ситуации 112,5 – это углы АОВ и ВОС. Можно вычислить также и угол АОС: 360-112,5-115,5=135 градусов. А это значит, что соотношение углов АОВ и АОС – это 112,5 к 135, или 225:270, или 45:54, или 5:6. Именно таким по условию задачи и является отношение боковой стороны треугольника к основанию, ведь 5:6 равно 50:60.
Но продолжим решать нашу задачу. Мы пока только очень точно построили нужные нам точки. Конечно, в реальности, возможно, и не нужна такая точность, но желательно иметь на графике такие фигуры, которые очень похожи на те, о которых говорится в условии задачи. Но если есть и время, и желание, и отменный педантизм – то вполне можно построить не просто очень похожие фигуры, а именно точь-в-точь такие, о которых говорится в условии задачи.
Теперь построим треугольник АВС:
Теперь несколько слов о решении этой конкретной задачи. Всего несколько слов, потому что главная цель этой статьи была в том, чтобы показать, что треугольник, вписанный в окружность, лучше всего начинать рисовать с окружности. Повторюсь, потому что эта информация очень важна. Если бы мы вначале нарисовали треугольник, было бы гораздо сложнее подобрать ту окружность, которая проходила бы через все его вершины. Но если мы вначале построим окружность, затем на этой окружности выберем три нужные нам точки – которые будут вершинами треугольника – то при таком построении окружность будет всегда будет описана вокруг этого треугольника, а треугольник будет в нее вписан. Аналогичную задачу, связанную с окружностью, вписанной в треугольник, мы рассмотрим в одной из следующий статей.
Кстати, о нашем треугольнике. Поскольку известны все три стороны треугольника, то сначала вычислим его площадь по формуле Герона:
Вначале вычислим полупериметр треугольника: ½(50+50+60)= ½*160=80;
затем вычислим площадь этого треугольника по формуле Герона:
Это можно вычислить даже без калькулятора. Под корнем – квадрат числа 30, умноженный на 1600 (потому что 1600 – это 80*20), а 1600 – это 40 в квадрате. Следовательно, при извлечении корня мы получим: 40*30 = 1200 (условных единиц – потому что нам не известны единицы при исходных цифрах, про них ничего не сказано в условии задачи).
Далее нужно воспользоваться той формулой, которая связывает площадь треугольника и радиус описанной окружности:
Здесь a, b, c – стороны треугольника, S – его площадь, R – радиус описанной окружности. Можно записать эту формулу по-другому: abc=4SR. Поскольку у нас известно всё, кроме радиуса, то запишем эту формулу по-другому:
Теперь у нас есть все данные для вычислений. В числителе: 50*50*60=150000, в знаменателе: 4*1200=4800. Делим 150000 на 4800, получаем 31,25 (условных единиц). Именно условных единиц, ведь в задании не было никаких конкретных единиц измерения.
- Ответ: 31,25.
Кстати, эту же задачу можно решить и вторым способом. Второй способ будет не самый быстрый и не самый правильный, но им можно воспользоваться в крайнем случае, если вдруг позабылась формула взаимосвязи радиуса описанной окружности и площади треугольника.
Вначале, как и при первом способе, вычислим площадь треугольника по площади Герона - это будет 1200 у.е., подробности вычисления есть в этой статье.
Затем рисуем высоту ВН (перпендикуляр к стороне АС):
Площадь треугольника АВС - это половина произведения стороны АС и высоты ВН. поскольку вся площадь треугольника АВС - это 1200, то то значит, что ВН*АС=1200*2=2400. АС известно и рано 60, это значит, что ВН = 2400/60=40 (у.е.). Это значит, что R+ОН = 40, то есть: ОН = 40-R.
Но у нас есть также прямоугольный треугольник АОН, в котором АО, или R, это гипотенуза; один катет - это ОН (мы уже знаем, что ОН равно 40 - R), второй катет - АН - равен 30, потому что в равнобедренном треугольнике АВС высота ВН также является и медианой, и биссектрисой. Нам в данной ситуации важно именно то, что ВН - это медиана, а это значит, что АН = 30.
Итак, мы имеем систему из двух уравнений. Пусть ОН - это х, а АО - это R.
Поскольку в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, то вот каким будет одно из двух уравнений нашей системы:
Второе уравнение системы простое: х=40-R, это мы уже недавно вычислили.
Подставим в первое уравнение 40-R вместо х. Вот что получится:
Раскроем скобки:
Дальнейшее ясно: 80R=900+1600, откуда R=(900+1600)/80, или R=2500/80.
И снова мы получаем 31,25!
- Ответ: 31,25.