АЛГЕБРА СИУ
МОЙ ИНСТИТУТ,МОИ РАБОТЫ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА И ГОСУДАРСТВЕННОЙ СЛУЖБЫ при ПРЕЗИДЕНТЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»
СИБИРСКИЙ ИНСТИТУТ УПРАВЛЕНИЯ – ФИЛИАЛРАНХиГС
ФАКУЛЬТЕТ ЗАОЧНОГО И ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
Кафедра информатики и математики
УТВЕРЖДЕНО
кафедра информатики и математики
протокол от « 29 » июня 2020г.
№ 10
АЛГЕБРА
Контрольная работа
по направлению подготовки 38.03.01 Экономика
направленность (профиль): Государственные и муниципальные финансы,
Финансы и кредит
квалификация выпускника: бакалавр
форма обучения – заочная
Выполнил:
Студент (-ка) группы
Сапелкина И.А.
Разработчик: Рапоцевич Е.А.
Новосибирск, 2020
1. Выполните умножение матриц АВ–1С
9
Решение:
Для вычисления В–1обратной матрицы В запишем матрицу В, дописав к ней справа единичную матрицу:
Теперь чтобы найти обратную матрицу, используя элементарные преобразования над строками матрицы, преобразуем левую часть полученной матрицы в единичную.
От 2 строки отнимаем 1 строку, умноженную на 2; от 3 строки отнимаем 1 строку, умноженную на 3
2-ую строку делим на -6
от 1 строки отнимаем 2 строку, умноженную на 3; к 3 строке добавляем 2 строку, умноженную на 14
3-ую строку делим на 10
к 1 строке добавляем 3 строку, умноженную на 0.5; от 2 строки отнимаем 3 строку, умноженную на 1.5
Найдем произведение матрицы и матрицы
АВ-1=D
d11= 5×1/12 +4×1/12 + (-2)×1/6 = 5/12,
d12= 5×23/60 + 4×11/60 +(-2)×(-7/30) = 187/60,
d13= 5×0.05 + 4×(-0.15) + (-2)×0.1 = -0.55,
d21=1×1/12 + (-2)×1/12 + 0×1/6 = - 1/12,
d22= 1×23/60 + (-2)×11/30 + 0×(-7/30) =1/60,
d23= 1×0.05 + (-2)×(-0.05) + 0×0.1 = 0.35
d31= 3×1/12 +(-5)×1/12 + 7×1/6 = 1,
d32= 3×23/60 + (-5)×11/30 + 7×(-7/30) = -7/5,
d33= 3×0.05 + (-5)×(-0.05) + 7×0.1 = 1.6
D= АВ-1=
Найдем АВ–1С=Е
е11= 5/12×4 +187/60×(-3) + (-0,55)×0 = - 461/60,
е12= 5/12×1 + 187/60×2 +(-0,55)×1 = 6,1,
е21=(-1/12)×4+ 1/60×(-3) + 0,35×0 = - 23/60,
е22= =(-1/12)×1+ 1/60×2 + 0,35×1 = 0,3,
е31= 1×4 +(-7/5)×(-3) + 1,6×0 = 8,2,
е32= 1×1 + (-7/5)×2 + 1,6×1 = -0,2
АВ–1С=Е=
Ответ: АВ–1С=
2. Найдите решения системы уравнений методом Крамера
7
Решение
В матричной форме эта система записывается
Найдем определитель матрицы системы D= =2·2·(-2)+3·3·1+(-1)·1·(-1)-(-1)·2·1-2·3·(-1)-3·1·(-2)=-8+9+1+2+6+6=16,
D¹0, следовательно, система имеет единственное решение. Далее
D1= =2·2·(-2)+3·3·6+(-1)·0·(-1)-(-1)·2·6-2·3·(-1)-3·0·(-2)= -8+54+0+12+6-0=64,
D2= =2·0·(-2)+2·3·1+(-1)·1·6-(-1)·0·1-2·3·6-2·1·(-2)=0+6-6-0-36+4= -32,
D3= =2·2·6+3·0·1+2·1·(-1)-2·2·1-2·0·(-1)-3·1·6=24+0-2-4-0-18=0.
Отсюда следует, что x==D1/D=64/16=4 , y=D2/D= -32/16= -2, z=D3/D=0/16=0,
Подставив эти значения в систему, убеждаемся, что найденное решение верно.
Ответ: x= 4, y= -2, z=0
3. Векторная алгебра
При каком значении параметра у векторы b=a-уc и c=(-1,2,3) ортогональны, где
a=(2,-1,2).
Решение:
b=a-уc = (2-у∙(-1);-1-у∙2;2-у∙3)=(2+у; -1-2у;2-3у)
Векторы ортогональны, если их скалярное произведение равно 0.
b∙c= -1∙(2+у)+2∙(-1-2у)+3∙(2-3у)=2+у-2-4у+6-3у=6-6у
6-6у=0
у=1
Ответ: у=1
4. Аналитическая геометрия
Привести к каноническому виду кривую второго порядка и определить ее тип . Найти полуоси, координаты центра симметрии и фокусы кривой.
Решение:
Приведем уравнение кривой к каноническому виду, выделяя полные квадраты:
.
9(х2-4х) - 4(у2+2у) - 4=0
9(х2-4х+4) -36 - 4(у2+2у+1) + 4 - 4=0
9(х-2)2- 4(у+1)2= 4+36 - 4
9(х-2)2- 4(у+1)2 - 36=0
l1∙х2+l2∙у2 +g=0,где l1>0l2 <0, g≠0 Получили каноническое уравнение гиперболы
9(х-2)2- 4(у+1)2 =36
(х-2)2/4- (у+1)2/9= 1
(х-2)2/22- (у+1)2/32= 1
Получили каноническое уравнение гиперболы (х-2)2/22- (у+1)2/32= 1 с центром в точке О(2;-1) и полуосями a=2, b=3.
Асимптоты гиперболы:
Параметр c: c2= b2+a2 ,
Тогда фокусы гиперболы расположены в точках:
F1(c+2;-1)= F1( +2;-1)
F2(-c+2;-1)= F2(- +2;-1)
Эксцентриситет гиперболы: e=c/a= /2>1
Сделаем чертеж.
5. Собственные значения и собственные векторы
Найти собственные числа и собственные векторы матрицы
Решение:
Найдем собственные числа из характеристического уравнения:
=(3-λ)(2-λ) - 20= λ2−5λ−14
λ2 - 5λ−14=0
λ1=−2, λ2=7
Собственные значения матрицы λ1=- 2;λ2= 7;они разные, следовательно соответствующие им собственные векторы будут ортогональны.
Найдем соответствующие собственные векторы:
и в качестве собственного вектора, соответствующего λ1= -2
можно взять вектор u1= ;
и в качестве собственного вектора, соответствующего λ2= 7
можно взять вектор u2=
Ответ: собственные числа: λ1=- 2; λ2= 7, собственные векторы: u1= ; u2=
6. Квадратичные формы
Приведите квадратичную форму к каноническому виду.
Решение:
Квадратичной форме соответствует симметрическая матрица А=
Найдем собственные числа матрицы А. Для этого составим характеристическое уравнение:
=0
( )( )-1=0
2-6 +8=0
1=2; 2=4;
Найдем соответствующие собственные векторы:
и в качестве собственного вектора, соответствующего λ1= 2 можно взять вектор
и в качестве собственного вектора, соответствующего λ2= 4 можно взять вектор .
Тогда матрица T= . Данные векторы уже ортогональны. Осталось провести их нормализацию. .
Тогда , базис новой системы координат,
, а при этом .
И канонический вид квадратичной формы
Ответ: