В методической литературе мало упражнений, которые можно использовать для усвоения понятий компактным методом или комбинацией его с раздельным метолом. Рассмотрим, как составляются такие упражнения и какие методы целесообразно применять при их выполнении.
Пример. Рассмотрим одно из определений параллелограмма. Выделим из него все признаки: 1) четырёхугольник; 2) две стороны параллельны; 3) две другие также параллельны. ( другое определение параллелограмма будет иметь другие признаки.) Каждый признак в определении заменяем поочередно его отрицанием и к изменённому таким образом предложению составляем контрпример.
Эти контрпримеры чередуются с примерами, удовлетворяющими определению данного понятия. Причём внешний вид примеров (форма и расположение чертежа, буквенные обозначения и т.д.) все время изменяются. Остаётся сформулировать упражнения:
1) Какие фигуры на следующих чертежах (рис. 71) являются параллелограммами?
Данные обозначены на чертежах.
Выполняя это упражнение, учащиеся допускают следующие типичные ошибки. Доказав, что ABCK – параллелограмм (рис. 71, а), многие из них по аналогии заставляют, что и MKPO тоже параллелограмм (рис.71, б). В этом случае полезно дать сразу ещё один контрпример (рис.72)
Учащиеся отмечают, что при одних и тех же данных (рис.71,б и 72) фигуры могут быть различны. Только после этого они приходят к верному выводу, что MKPO (рис. 71, б) может быть, а может и не быть параллелограммом, – данных недостаточно.
Выполнение подобных упражнений помогает устранить плохую привычку учащихся: делать выводы исходя не из данных задачи, а из чертежа.
2) Укажите высоты в следующих треугольниках (рис. 73). Данные обозначены на чертежах.
При составлении упражнений для усвоения понятий полезно использовать сравнение. Выполняя такие упражнения, учащиеся приручаются устанавливать сходства и различия изучаемых понятий. Так, при ознакомлении учащиеся с гомотетией, центральной и осевой симметрией можно дать следующие упражнение:
3) Прямые BO и AA1 пересекаются в точке О (рис. 74, а). Точки А и А1 симметричны относительно оси ВО. Почему точки А и А1 симметричны относительно точки О?
4) Точки А и А1 симметричны относительно точки О (рис. 74, а). Симметричны ли точки А и А1 относительно прямой ВО?
Здесь данных недостаточно. Несмотря на это, учащиеся ошибочно дают утвердительный ответ. В таком случае полезно сразу же предложить контрпример (рис. 74, б).