Начало: Математика для чайников. Глава 1. Что такое математическая абстракция.
Предыдущая глава: Математика для чайников. Глава 8. Логарифмы
Многих матанализ пугает. Но на самом деле, если вы понимаете, что такое математическая абстракция, то матанализа не стоит бояться. Математический анализ – это просто набор абстракций чуть более высоко уровня, чем алгебра. Ну а если понятие математической абстракции вам незнакомо, можете прочесть предыдущие урок, начиная с Математика для чайников. Глава 1. Что такое математическая абстракция .
Итак, прежде всего, давайте ответим на вопрос: А что же такое, математический анализ? А узком смысле слова математический анализ – это анализ бесконечно малых величин. В такой анализ входят, как правило, дифференциальные и интегральные исчисления. В более широком смысле, кроме дифференциалов и интегралов, в математический анализ входит:
· Теория функций. Это о том, что такое функция вообще (точное определение), какие бывают функции, что вообще можно делать с функциями, различные свойства функций, способы приближенного вычисления функций и многое другое.
· Теория комплексной переменной. По сути, это та же теория функций, но связанная с комплексными числами. Комплексное число – это число, состоящее из «нормального» числа и мнимой единицы, умноженной на некий коэффициент. А мнимая единица – это корень из минус единицы, которого как бы не существует, но он на самом деле существует.
· Функциональный анализ. Это, по сути теория функций, но скрещенная с топологией. То есть туда добавлены такие понятия, как «пространство». Данный раздел математики изучает поведение и взаимоотношения функций в различных пространствах, плюс всякие линейные операторы и прочее тому подобное.
· Вариационное исчисление. Объект изучения этого раздела так называемые «вариации функционалов». Что это такое? Это обобщенное понятие дифференциала функции. Дифференциал – это, по сути, бесконечно малая часть приращения функции. С ним тесно связано понятие производной – скорости изменения функции. Для чего все это нужно? Чтобы найти экстремумы функции – ее минимумы и максимумы. А для чего их искать? Это нужно в задачах оптимизации. Например, в задачах искусственного интеллекта и машинного обучения необходимо найти минимум ошибки.
· Гармоничный анализ. Здесь задача сводиться к исследованию гармонических функций (синусоида, например). Это про ряды Фурье и прочее тому подобное.
· Дифференциальные и интегральные уравнения. Дифференциальное уравнение – это уравнение, в котором фигурирует производная или дифференциал. Их решение сводиться к тому, чтобы преобразовать уравнения так, чтобы его можно было проинтегрировать. Ну а дальше решаем интеграл и получаем ответ. А интеграл – это сумма бесконечно малых кусочков функции, если говорить простыми словами, ну или площадь фигуры которую «вырезает» график функции. Нетрудно догадаться, что интегральные уравнения – это уравнения, где есть интеграл. А вот как решать такие уравнения – целая наука. Существует много методик, например, преобразование Лапласса.
· Теория динамических систем. Это наука о том, как изменяются во времени различные системы с взаимосвязанными элементами, особенно механические системы. Как правило, для решения таких задач как раз и используют дифференциальные уравнения.
· Эргодическая теория. Здесь можно заметить, что динамические системы с определенной вероятностью повторяют свои состояния. Такое их свойство называют эргодичностью.
· Глобальный анализ. А вот это очень абстрактная абстракция. Гораздо абстрактнее, чем дифференциальные и интегральные уравнения, ибо в глобальном анализе они представлены на многообразиях пространств и векторных расстояниях.
· Нестандартный анализ. Это альтернативная теория, в которой бесконечно малые величины – это ни какие не переменные, а особый вид чисел. Считается, что нестандартный анализ способен изучать свойства актуально бесконечных объектов, предлагая новые методы моделирования, недоступные стандартной математике.
Ну, а теперь вернемся к основам математического анализа. Начнем с функций . Классическое определение гласит, что функция – это соответствие между элементами двух множеств, установленное по такому правилу, что каждому элементу первого множества соответствует один и только одни элемент из второго множества. Что такое множество, вы может узнать здесь: Математика для чайников. Глава 7. Множества . Обычно эти множества – это множества действительных чисел (но не всегда). Функция может быть и комплексная, и векторная, и даже матричная. А вообще соответствие (функцию) можно задать на любых множествах, даже самых экзотических.
Но мы с вами поговорим о числовых функциях. В данном случае это будет просто соответствие одних чисел (аргументов) другим числам (значениям). Множество аргументов называется областью определения функции, а множество значению – областью значений функции. Функцию можно задать в виде таблицы, в виде графика, в виде формулы или в виде какого-то правила. Обычно математический анализ имеет дело с функцией, заданной в виде формулы.
Другой объект, немного похожий на функции, и который тоже может встретится в матанализе - это числовая последовательность . Классическое определение последовательности такое: последовательность - это пронумерованный набор каких-либо объектов, среди которых допускаются повторения, причём порядок объектов имеет значение. Нумерация чаще всего происходит натуральными числами. Соответственно, в случае числовой последовательности такими объектами являться числа. Есть еще строго определение. Оно звучит так: пусть задано некоторое множество X элементов произвольной природы.
Всякое отображение:
множества натуральных чисел N в заданное множество X называется последовательностью.
Теперь пояснение к строгому определению. Под отображением как раз таки понимают функцию, определение которой я дал выше. То есть, отображение – это соответствие элементов одного множества элементам другого множества. Другое множество может быть тем же самым, что и первое множество. В частности, отображение натуральных чисел на натуральные числа.
Вы только что увидели сходство последовательности и функции. Скажу более, по сути, последовательность – это и есть функция, только аргумент в ней – натуральное число.
А теперь рассмотрим понятие ряд . Для этого берем последовательность и считаем суммы от первого элемента для каждого из его элементов. У нас получиться последовательность сумм. А если последовательность бесконечная? В принципе, мы тоже можем сложить все ее бесконечность членов. Теперь смотри что получается. У нас есть последовательность сумм, уходящих в бесконечность. Это и есть ряд. Как вы думаете, эти сумму будут уменьшаться, увеличиваться, к конце концов, чему будет равна самая последняя сумма? А это заливист от того, какую последовательность мы так суммируем. Очевидно, что если это будет последовательность натуральных чисел, которые «уходят» в бесконечность, то и сумма у нас тоже уйдет в бесконечность. В таком случае говорят, что ряд «расходится ».
А теперь анекдот. Заходит в бар математик, заказывает кружку пива и садиться за столик. Заходит второй математик, заказывает полкружки пива и тоже садиться за столик. Потом еще один, и заказывает уже четверть кружки. Следующий оду восьмую. А бар этот волшебный, он вмещает сколько угодно много посетителей. Да и бармен не обычный, он тоже математик и поэтому говорит:
- Ну, началось…. Вот вам на всех две кружки пива.
Для тех, кто не понял юмора. Это был ряд:
Нетрудно догадаться, что его сумма равна двум. На самом деле, этому даже есть строгое математическое доказательство, но мы пока не будем вдаваться в эти дебри. В общем, запомните, бывает, что сумма последовательности, которая образует ряд, равна не бесконечности, а какому – то определенному конечному числу. В этом случае говорят, что ряд сходится .
Теперь перейдем, пожалуй, к одному из самых важным понятий в математическом анализе. Предел . Надо сказать, что строгое определение предела появилось не сразу. Сначала его интуитивно понимали как предельный переход. Затем стали различать предел последовательности и предел функции. В первом случае, это некоторое число, к которому постепенно приближается последовательность при возрастании номеров ее членов. По своей сути, предел последовательности – это такое число, которое имеет бесконечный номер последовательности. Иначе то число, к которому стремиться последовательность, уходя в бесконечность. А вот предел функции – это значение, к которому стремиться функция, приближаясь к данной точке. Вроде, казалось бы, чего проще. Функция приближается к ее значению. В общем случае, это так. Но что вы скажете о значении функции
В точке x =2? Если вы попробуете сосчитать «в лоб» то у вас получиться 0/0. Но на нуль, как вы знаете делить нельзя. Тем более нуль делить на нуль. И как же быть? Дык можно просто вспомнить алгебру (см. Математика для чайников. Глава 5. Основы элементарной алгебры ). И упростить выражение:
Теперь мы без труда вычислим, что в данной точке значение функции равно 4.
Давайте проверим, построив ее график в Excel - e :
Что характерно, Excel даже сам правильно посчитал предел.
А вообще, предел записывается вот так:
Теперь разберемся с производной и интегралом. Давайте представим некоторую функцию вот с таким вот графиком:
Как я уже говорил выше, производная – это скорость изменения функции. Как ее найти? Надо изменения значения функции разделить на значение изменения ее аргумента:
Но если мы возьмем слишком большие приращения, то производную мы вычислим неточную. Чтобы вычислит точно нам надо взять бесконечно малое приращение по x . Если мы решим данный предел, то это и будет производная:
Где dy и dx – дифференциал (бесконечно мало приращение) функции и аргумента соответственно. Таким образом, производная функции – это функция ее скорости, или тангенса угла наклона касательной (геометрический смысл).
Это краткое изложение что такое производная. Более подробно об этом будет в будущих уроках.
А теперь переедем к интегралу. Отметим на этом же графике некоорую область:
Так вот, площадь закрашенной желтым цветом области – это определенный интеграл, обозначается таким изогнутым значком и является пределом суммы бесконечно малых кусочков функции:
Есть еще неопределенный интеграл, это по сути, операция, обратная нахождению производной – то есть, нахождение первообразной.
С интегралами мы подробнее познакомимся в будущих уроках. А на сегодня пока все.
Следующая глава: Математика для чайников. Глава 10. Линейная алгебра