Начало: Математика для чайников. Глава 1. Что такое математическая абстракция.
Предыдущий выпуск: Математика для чайников. Глава 6. Метод математической индукции
Теория множеств – важный раздел математики, потому что очень многие математические понятия определены именно через множества. Например, как я писал в статье Математика для чайников. Глава 4. Алгебра , алгебра – это множество, в котором содержатся абстракции данной алгебры и операции над ними.
Так что же такое множество? Представьте себе такую «волшебную» коробочку, в которою мы можем поместить сколько угодно много предметов. Хоть бесконечно. Но не факт, что там предметов будет именно бесконечность. Сколько положили, столько и будет. Так вот, эта коробочка со всеми положенными в нее предметами и есть множество. Отсюда сразу запомните, что множества могут быть конечными и бесконечными.
А теперь более строго определение множества. Множество – это математический объект, который является совокупностью (набором) других математических объектов, называемых элементами множества . В качестве элемента множества может быть что угодно, в том числе и множество. Но часто задается конкретно, а что может быть элементом множества. Например, если это множество чисел, то его элементами могут быть только числа.
Как задать множество? Можно просто перечислить его элементы. Например вот так: {1,2,3,4}. Можно задать правило, по которому можно определить, принадлежит элемент множеству или нет. Например «множество натуральных чисел», «множество рациональных чисел», «множество натуральных чисел, больших 2». Как правило, множества обозначаются большими буквами. Элементы – маленькими. Если элемент принадлежит множеству, то используют специальный знак:
Читается как «икс принадлежит A ».
Если элемент не принадлежит множеству, то пишем:
Читается «икс не принадлежит А».
Например:
Порядка элементов в множестве не важен. То есть, множества, содержащие одни и те же элементы, равны, например:
Каждый элемент входит в множество один раз. Если добавить ко множеству элемент, который там уже есть, ничего не меняются. То есть, вот эти два множества равны:
Как я уже говорил, элементом множества может быть что угодно. В том числе и точка на плоскости (или в пространстве). Поэтому с целью проиллюстрировать операции над множествами, их рисуют в виде цветных фигурок. В этом случае элементами множества являться точки внутри этих фигурок. И тут возникает вопрос: а граница фигуры принадлежит множеству или нет? На самом деле может быть и так и так. Помните, я выше писал, что множество можно задать правилом, которое определяет, принадлежит ли элемент множеству или нет. А правило может говорить, что граница принадлежит множеству, а может и говорить, что нет. Запомните это, это важная особенность. Часто такая мелочь используется во всяких определениях в математике.
Рассмотрим пример. Принадлежит ли точка x =2, множеству точек отрезка (2,3]?
Обратите внимание, что тут одна скобка круглая, другая квадратная. Круглая скобка обозначает, что граница не включена в множество, а квадратная – что включена. Фактически, тут имеет место неравенство:
Так как левая граница не включена во множество, то
А вот если взять отрезок [2,3] То точка уже будет принадлежать ему:
Часть элементов какого-либо множества, является его подмножеством. Формально определение звучит так: «Множество A называется подмножеством множества B если все элементы, принадлежащие A , так же принадлежат и B . Это определение записывается в виде формулы:
Первая часть
Читается так « A принадлежит B »
Стрелочка с двумя концами означает, что как из левой части следует правая часть, так и наоборот. То есть, из того, что « A принадлежит B » следует, что «все элементы, принадлежащие множеству A , так же принадлежат и B ». Справедливо и обратное: «Если все элементы множества A принадлежат множеству B , то это значит, что множество A является подмножеством множества B ».
Далее, перевернутая буковка “ A ” обозначает квантор всеобщности. И пусть вас не пугает термин «квантор», он лишь означает, что либо что-то действует для всех чего-то там, либо «существуют такие чего-то там». В данном случае выражение
Следует читать «для всех x ». Ну а полностью выражение
Читается как «для всех x принадлежащих A следует, что x принадлежит так же и B ».
Следует заметить, что подмножество может содержать только те элементы которые содержатся в надмножестве (том множестве, подмножеством которого оно является). Если мы добавим к подмножеству хоть один лишний элемент, то это уже не будет подмножеством. Например, множество {1,2,3} является подмножеством множества {1,2,3,4,5}, а множество {1,2,8} уже не является, потому что элемента 8 нет в надмножестве.
Бывает, что пишут:
Это значит, что A не только является подмножеством множества B , но еще и может равняется ему. Собственно говоря, множество является подмножеством самому себе.
А еще есть такое понятие, как пустое множество, которое обозначают знаком:
Пустое множество не содержит никаких элементов и является подмножеством любого множества, в том числе и самого себя. Но, что характерно, пустое множество не является элементом самого себя, так как оно не содержит никаких элементов.
Теперь поговорим об операциях над множествами. Множества можно объединить . Это значит, что мы просто объединяем их элементы в единое множество. Записывается это так:
Графически операцию объединение множеств можно представить так:
Соответственно, количество элементов в объединенном множестве меньше или равно сумме элементов объединяемых множеств. Почему может быть меньше? Потому что и в том и в другом множестве могут быть одинаковые элементы. А повторы, как я уже сказал выше, не считаются, они идут как один элемент. Если объединить множество с сами собой или с пустым множеством – то будет то же самое множество.
Другая операция – это пересечение множеств. При этой операции мы берем только те элементы, которые есть и в том и в другом множестве. Обозначается эта операция так:
Проиллюстрируем то графически:
Как видим, тут возможны несколько ситуаций:
1. Образуется несколько меньшее множество.
2. Итоговое множество полностью совпадают с одним из пересекающихся множеств – случай, когда оно является подмножество другого.
3. Пустое множество. Это когда множества не имеют общих элементов.
Пересечение множества с сами собой равно этому же множеству. А с пустым множеством – пустому множеству.
Разность множеств. Обозначается как
Разностью множеств A и B являться те элементы, которые есть в A но нет в B . По сути, мы из множества A убираем элементы множества B (поэтому и вычитание множеств). То есть по сути вычесть - значит отнят (из множества A отнять множество B ).
Графически это выглядит так:
Как видим, тут тоже возможны разные случаи. Во-первых, при вычитании можно «отрезать» только часть множества. Во-вторых, можно получить то же самое множество. Это будет в том случае, когда мы вычитаем множество, никак не пересекающееся с нашим (то есть не имеющее с ним общих элементов). Наконец, если мы вычитаем из подмножество его надмножество, то получим пустое множество. То же самое будет, если из множества вычесть само себя.
И четвертая операция над множествами – дополнение . Это по сути вычитание множества из некоторого универсального множества, которое содержит все возможные элементы. Обозначается вот так:
Где U - это универсальное множество. Вот графическая иллюстрация данной операции:
На этом урок закончен, но к теме множеств мы еще вернемся, когда будем подробно рассматривать такой раздел математики, как теорию множеств.
Следующая глава: Математика для чайников. Глава 8. Логарифмы