Интродукция. "О, сколько нам событий чУдных"... Новый класс: цвето-геометрические стохастические фракталы Life+!
Содержание статьи.
Введение. Джон Конвей и Бенуа Мандельброт.
Фракталы и их классификации.
Волновые цвето-геометрические фракталы.
Стохастические цвето-геометрические фракталы.
Методика статистического анализа и моделирования.
Множественные примеры...
Заключение. Новый класс стохастических цвето-геометрических фракталов.
Введение. Два имени, которые привлекают внимание автора в течение нескольких десятилетий - это Джон Конвей и Бенуа Мандельброт.
Джон Хортон Конвей /1937 - 2020/ - создатель The Game of Life , в раннем русскоязычном переводе Эволюция, позднее Игра Жизнь . Гениальное изобретение /1970/ Д.Х. Конвея, проф. Принстона и Кембриджа. В классическом представлении - одноцветная, пассивная, созерцательная игра одного игрока (zero-game), которая происходит на бесконечном клетчатом поле.
Бенуа Б. Мандельброт /1924 - 2010/ - автор понятий фрактал, фрактальная геометрия, появившихся в конце 70 гг. Фрактал (от латинского fractus ) означает состоящий из фрагментов, предложено автором в 1975 году для обозначения нерегулярных, самоподобных структур.
Определить место авторских направлений в системе фрактальной геометрии и машинной графики поможет приводимые ниже характеристики алгоритмов построения фракталов - типа А и В, а также сопряженных, по мнению автора, алгоритмов Game of Life и Life+.
Классификация А: геометрические, алгебраические, стохастические фракталы.
1. Геометрические фракталы - самые наглядные. В двухмерном случае их получают с помощью фигуры, называемой прообразом, или затравкой. За один шаг алгоритма, то есть итерацию, каждый из фрагментов, составляющих фигуру, заменяется на фигуру в соответствующем масштабе.
2. Алгебраические фракталы - самая крупная группа. Наиболее изучены двухмерные итерационный процессы их построения, представляя которые можно пользоваться терминологией этих систем: фазовый портрет, установившийся процесс, аттрактор и т.д.
Примеры для 1 и 2 - это фрактал и множество Мандельброта.
Классификация В: детерминированные (алгебраические и геометрические), недетерминированные (стохастические) фракталы.
3. Стохастические фракталы в той или иной классификации - в итерационном процессе построения фрактала хаотически изменяются какие-либо его параметры. Можно предложить неравные части разбиения затравки, случайные изменения длин и углов сопряжения элементов по п.1...
Далее, например, отслеживать параметры торможения процесса по п.2, и случайно расцвечивать его оттенками серого. Совершать инъекции 'омоложения' деградирующего процесса...
Исследуемые автором волнообразные итерации Life+ включают все (или почти все) элементы приведенных выше классификаций. Подробнее см. предыдущую статью автора на Дзен...
Волновые фракталы.
Авторское представление. Вводное сообщение.
Классический (орто-диагональный) алгоритм преобразований - итераций в Game of Life Д. Конвея реализует алгоритм D2: B3/S2,3/D1,4-6. Здесь (см. предыд. материал автора на Дзен) D2 - размерность пространства , Birth - рождение, Survival - выживание, Death - отмирание.
Классический алгоритм все-таки показывает свою ограниченность в смысле цвета и геометрики новообразований. Фигура может зациклиться или приостановить свое развитие, а то и вовсе погибнуть...
Ортогональный алгоритм, предложенный автором в развитие классической Game of Life, напротив, имеет огромный потенциал роста, показывая неостановимую, волнообразную генерацию поколений.
Алгоритм ортогональных преобразований предельно упрощен – по принятым ранее обозначениям генератор запишется как D2:B1//D0-4. Здесь, как и ранее, D2 - размерность пространства, Birth - рождение, Death - отмирание, Survival - выживание, которое, как здесь, по невостребованности отсутствует.
Интерпретация формулы преобразований следующая:
1) - в построениях в качестве соседних участвуют 4 ближайшие клетки, ортогонально расположенных к ведущему элементу aij;
2) - процедура существования отменяется, то есть отмирание происходит всегда;
3)- рождение происходит при числе соседей, равном 1;
4)- цвет рождения здесь определяет ведущий элемент.
Правило 4) в большей степени относится к двухцветному, шахматному варианту игры. Далее, для реализации цветности, будет использоваться принцип декомпозиции - суперпозиции цвета.
В формуле алгоритма преобразований последнее можно более полно отобразить >> D2:B1//D0-4, х3 - г20 в15 (или д10). Первая часть формулы иллюстрирует, как и ранее, правила трансформации поколений.
Далее, комментируется правило суперпозиции, а именно, х3 - в построениях участвуют три процесса в основных тонах со сдвигом друг относительно друга г20 - 20px по горизонтали, в15 - 15 px по вертикали, или, при необходимости, д10 - 10px по диагонали.
Обширный материал автора по теме волновых фракталов см. здесь ниже.
Волновые стохастические фракталы.
Стохастичность в волновые фракталы может привноситься на этапе формирования прообраза - исходной конфигурации, фигуры 0-го поколения (см., например, ниже - вариант 9), либо инъекцией в случайное время случайно образованного, или детерминированного паттерна в дегенерирующую общую композицию.
Здесь отметим то, что полностью отрицать возможность возникновения в том или ином виде зон деградации нельзя - по центру композиций может прослеживаться превалирование хаоса, энтропия - вдалеке от атакующего авангарда дает себя знать ))
Для оздоровления дегенерирующих областей автором применяются методы, показанные выше.
Стохастические фракталы требуют особого внимания в связи с неравнодушным отношением автора к статистике вообще, и статистической динамике, в частности. Развитие этой темы - далее здесь в материале автора © .
Конструирование стохастических объектов, в нашем случае - фракталов, невозможно без знаний основ статистического анализа и моделирования.
В свое время автору удалось создать методику © применения математического аппарата статистики к исследованию и моделированию различных процессов и систем в области экономики и технических наук. См. стр. Публикации на сайте автора, например, http://www.shcheglov.clan.su/depn.jpg или дисс... к.т.н https://search.rsl.ru/ru/record/01008822028 .
В краткой форме, без детализации методика выглядит следующим образом. При первом прочтении пропустить.
Статические статистические методы. Рассматривается один, авто- ... случайный процесс изменения некоторого показателя. Этот показатель X описывается следующими точечными характеристиками: положения - средняя величина..., рассеяния - вариационный размах, дисперсия..., распределения - асимметрия, эксцесс..., связанности отдельных реализаций процесса - автокорреляции...
Показанные (а это далеко не все!) характеристики являются точечными. Назовем одну из функциональных характеристик - функцию распределения F(X), которая демонстрирует насколько текущий процесс изменения показателя (пока одного!) отличается от ординарного, статистически независимого процесса...
Перечисленные точечные характеристики применяются ко второму процессу, теперь Y. То же относится к функции распределения F(Y).
Кроме авто-, существуют парные (а затем и множественные!) характеристики, в простейшем случае пар процессов X и Y. Главная здесь - оценка тесноты связи, или взаимной коррелированности этих процессов - коэффициент парной r (а затем и множественной!) корреляции.
Тем же целям, по сути, служат коэффициенты ковариации cov, регрессии a и смещения b линии регрессии. Перечисленное показывает не только тесноту, но и вид статистической связи случайных процессов.
Функциональные характеристики пары процессов - одна из них парная функция распределения совместного изменения показателей, которая показывает отличие от ординарного двумерного распределения...
Перечисленное выше являет амплитудные статические характеристики как собственно процессов, заданных автономно, так пар и более случайных процессов в совместном их изменениях.
Динамические статистические методы... В отличие от амплитудных, здесь изучаются временнЫе и частотные как авто- характеристики отдельных процессов, так кросс-, или взаимные характеристики пар и более случайных процессов в их взаимодействии.
К временнЫм авто- характеристикам относятся автокорреляционная и автоковариационая функции, показывающие степень связи текущих реализаций i процесса X с предшествующими реализациями j этого же процесса (первая - в нормированном виде).
К временнЫм взаимным характеристикам относятся кросскорреляционная и кроссковариационая функции, показывающие степень связи текущих реализаций i процесса X с предшествующими реализациями j другого процесса Y.
К частотным характеристикам относятся (авто)спектральная плотность и (авто)фазовая характеристика, показывающие, соответственно, частотный и фазовый состав изменчивости процесса X. То же относится ко второму процессу Y, участвующему в построении парных характеристик.
Общее наименование парных характеристик - взаимная (кросс)спектральная плотность, которая разделяется на синфазную и квадратурную составляющие. Иное полагает выделение амплитудного и фазового спектра кросспектральной плотности.
Последнее из перечисленного необходимо при построении амплитудно-частотной - АЧХ и фазо-частотной - ФЧХ характеристик, показывающих усиление или ослабление передачи амплитуды или/и фазы между процессами.
Апофеоз методики - функция парной когерентности, демонстрирующая наличие-отсутствие, точнее, степень связи по той или иной частоте для пары показателей.
Следует отметить, что как временнЫе, так частотные характеристики могут быть не только парными, но и множественными. Пример из последнего - это функция множественной когерентности, интерпретация которой аналогична предыдущему, парному случаю.
В заключение раздела два момента: 1 - о согласованности теоретических и эмпирических оценок исследуемых показателей, и 2 - о конкретных алгоритмах построения тех или иных характеристик.
По п. 1 - согласованность проверяется по критериям согласия, например, критерию Вестергарда согласия эмпирического и теоретического, например, экспоненциального распределений показателя.
По п. 2 - статические оценки, будь то точечные или функциональные, довольно просты в вычислениях и интерпретации, динамические же требуют отдельного отношения.
В период пребывания в аспирантуре и работы в Экспедиции автор полностью реализовал изложенную методику (ИНФ, Fortran, C+, JavaScript...). Отношение к отдельные ее элементам было разное...
Автор, например, неравнодушен к формулам Фурье, дающим замечательную интерпретацию амплитудного и фазового спектров разложения исследуемых показателей!..
Применение отдельных разделов изложенного совершенно необходимо при исследовании волновых вообще, и, в частности, волновых стохастических фракталов.
Более подробно см. стр. Публикации на сайте автора, например, http://www.shcheglov.clan.su/depn.jpg или дисс... к.т.н https://search.rsl.ru/ru/record/01008822028 .
Для совершенно неординарных умов предлагается нижеследующее: the Orto Fractal Full Colour Life+: формат 400х400px, разрешение 4px, генератор D2:B1//D0-4, х3-г0в6(д0).
Игровое поле 400х400. Ортогональный суперпозированный алгоритм. Задайте вариант сценария - см. перечень ниже.
Посмотреть.
Далее: the Orto Fractal Full Colour Life+: формат 600х600px, разрешение 4px, генератор D2:B1//D0-4, х3-г0в6(д0).
Игровое поле 600х600. Ортогональный суперпозированный алгоритм. Задайте вариант сценария - см. перечень ниже.
Посмотреть.
Варианты:
0 - 12 - детерминированные фигуры по подобию Life+ к качестве прообраза (см. статью 12a на Дзен >> zen.yandex.ru/id/5f9804cf65d7f24f5fe59207),
99 - квадрат 3х3, случайный засев фигуры в поле квадрата.
В процессе диалога, в обоих вариантах приложений ввести:
- вариант сценария, например, 3 (по умолчанию - 0, см. выше),
- начальное значение номера хода, например, 5 (по умолчанию - 0), и
- конечное значение номера хода, например,100 (по умолчанию - 500) для вывода на экран.
Внимание! На скриншотах справа дается черно-белая аппроксимация приводимых изображений, в центре показана исходная конфигурация - прообраз и его шахматная нотация. Номер поколения преобразований указан справа сверху, что дает возможность, как указано выше, полностью идентифицировать текущее изображение
Представляются преобразования в ортогональном, в том числе расширенном его вариантах с использованием правил цветности, отражений в ватных границах (поглощение на границах), декомпозиции - суперпозиции изображений.
Показываются возникающие при этом бесконечные коллизии цвета и граничных образований, полностью отвечающих определению фрактала...
Продолжение следует! Подписываемся на канал!
Сайт автора >> http://shcheglov.clan.su
Условия вступления.
Замечания, предложения по темам работ автора - зеленая карта, степень Bk Ev.
Погрешности в статьях - синяя карта, степень Mg Ev. Совместная статья - красная карта, степень Esq. Ev.
Займемся исследованиями прямо сейчас - на интерактивных Приложениях сайта!