В математике и физике широко пользуются тензорным исчислением, в которой понятия "скаляр", "вектор" и "тензор" являются широко употребляемыми объектами. Для понимания этих понятий необходимо понять, что такое преобразование координат . А понимание "преобразования координат" предполагает понимание того, что преобразуют. А преобразуют – пространства , которые можно параметризовать.
А что такое параметризовать ?
Если просто – это каждой точке пространства дать "имя". А в математике, описывающей пространство, дать "имя" означает присвоить каждой ее точке несколько числовых значений. "Фамилия, Имя, Отчество" точки – это (Число1, Число2, Число3) – в скобках обычно. Фамилия – это x, Имя – y , Отчество – z . При этом какой то точке присвоится значение
(0, 0, 0), которое называется началом системы координат или (более физично) началом системы отсчета. Ну а что такое число – все знают. Ну почти все. Наиболее известное со времен посещения школы пространство – это евклидово пространство. Ее свойства мы изучали на уроках геометрии. А пример координатного его представления – это декартовы координаты. Такое представление для точек евклидова пространства мы использовали, когда строили треугольник по координатам. Еще один пример пространства, обычно двухмерного – это уроки алгебры, на которых мы строили графики функций и отмечали максимальные и минимальные значения, точки перегиба.
Теперь - о преобразованиях координат . Коротко Это просто задание новых "Фамилия, Имя, Отчество" для каждой точки. Для уже известного евклидова пространства это означает присвоить новые числовые значения каждой ее точке. На практике это может быть, например, для всех точек увеличить значение координаты на определенное одно и то же число:
(Число1+ч1, Число2+ x 2, Число3+ x 3) (1)
или
( x + Δx , y + Δy , z + Δz ). (2)
Такая операция называется операцией смещения . Другая операция – это операция поворота системы координат . Здесь уже для преобразования значений координат применяются тригонометрические операции – синус ( Sin ), косинус ( Cos ). Например, двумерного пространства на угол φ:
X ' = X cos φ – Y sin φ , (3)
Y' = -X sin φ + Y cos φ.
Предварительные понятия введены – теперь можно перейти и к скалярам, векторам и вообще к тензорам. Эти понятия являются основными понятия тензорной алгебры, предшественницей которой является векторная алгебра. А до векторов, конечно, были только скаляры.
Скаляр
Под понятием "скаляр " понимается параметр, не меняющий своего значения при преобразованиях координат, но изменяющий свое значение от точки к точке. Это известные со школы функции, которые нам знакомы по предмету "алгебра". Вспомните примерно такие записи:
f ( x ) = x ² +1. (4)
f ( x , y ) = x ² + y ² + 1.
Это типичные скалярные функции. Если даже мы выполним преобразования координат, значение функции не изменится. Пусть у нас имеется преобразование смещения x ' = x +1, y ' = y -1. Обратная функция будет следующей: x = x '–1 , y = y'+1 . Вышеприведенные скалярные функции преобразуются следующим образом:
F '( x ') = ( x '-1)² +1 = x '²-2 x '+1+1 = x '²-2 x '+2. (5)
F '( x ', y ') = ( x '-1)² + ( y +1)² + 1 = ( x '²-2 x '+1)+ ( y '²+2 y '+1)+1 =
= x '²+ y '²-2 x '+2 y '+3.
Под понятием "скалярная функция" обычно понимается одномерная функция координат пространства. Но это не является абсолютным ограничением для нее: под скалярами можно понимать и многомерные математические объекты, в частности, векторы, матрицы, определенные в другом, независимом от рассматриваемого пространстве. Их можно назвать тензорными скалярами. Единственное требование – их неизменяемость при преобразованиях координат. В качестве скаляров могут применяться тензоры дополнительного абсолютного пространства. Пример – несколько скалярных функций как многомерная скалярная функция. В классической механике таким параметром является "время". Она сама по себе неизменна (абсолютна) при любых преобразованиях пространственных координат,
Схожее со "скаляром" понятие – "константа ". Но константа в рамках рассматриваемой теории не является функцией координат и вообще ни от чего не зависит. Часто это просто математические константы. Но … Она может менять свое значение от теории к теории, от одного варианта ее к другой. Пример константы в математике – число π = 3.1415…, или постоянная Планка в физике ħ – постоянная Планка, равная 6,63… × 10-34 Дж × с. Число π вообще ни от чего не зависит. Постоянная Планка как физическая константа зависит от применяемой системы единиц измерения, как и любая другая не скалярная физическая константа с не пустой единицей измерения. Но есть физические константы, не зависящие от единиц измерения. Считается, что константа электромагнитного взаимодействия, численно равна постоянной тонкой структуры α = e ² / ħ c ~ 1/137 является именно такой константой.
"Вектор"
отличается от скаляра тем, что изменяет свое значение не только от точки к точке, но и вполне определенным образом при преобразованиях координат. При преобразованиях координат он преобразуется точно так же (3), как и сами координаты пространства, в котором он определен. Только он не подвержен преобразованиям смещения. При преобразованиях смещения вектор остается самим собой.
Такое поведение вектора вполне обоснован, потому что геометрически он определяется как направленный отрезок с не прикрепленным началом. Если ее Начало определяется координатами ( x ₁ , y ₁ ), а конец ( x ₂ , y ₂ ), то с ним связывается вектор ( x , y ) = ( x ₂ – x ₁ , y ₂ – y ₁ ). Обычно в математике и физике векторы не пишутся в таком виде, а для упрощения записей их "индексируют". Например, вектор ( x , y , z ) записывают в виде ( x ¹, x ², x ³) или еще проще – как x ⁱ. Предполагается, что под этим обозначением понимаются одновременно все элементы вектора со всеми значениями индекса i = 1,2 и 3.
Зачем нужны векторы
Есть такая процедура, или операция, связанная с измерением расстояний. Вопрос: как найти расстояние между двумя обозначенными выше точками ( x ₁ , y ₁ ) и ( x ₂ , y ₂ )? Практически это делается с помощью линейки, рулетки или землемерного циркуля. Современные землемеры – геодезисты пользуются более современными инструментами: нивелирами, теодолит, тахеометр, лазерными рулетками, GPS и т.д.
Но это все – на практике. А практика есть результат теоретических изысканий. В основе их – математика, геометрия. А в геометрии – вектор. И длина вектора, проекция вектора на другой вектор. В геометрии они заменяются углами и тригонометрическими функциями. Результат в обоих случаях один – измерение длин и расстояний.
Скалярные сложение/вычитание и произведение векторов
Первые операции, которые определены с векторами – это операции сложения (+) и вычитания (–). Эти операции практически ничем не отличаются сот таких же операций с числами. Пусть ( x ₁ , y ₁ ) и ( x ₂ , y ₂ ) – два вектора. Их сумма/разность будет определяться простым покомпонентным сложением двух составляющих каждого вектора:
(x₁, y₁) ± (x₂, y₂) = (x₁ ± x₂, y₁ ± y₂). (6)
Геометрически оно выполняется простым прикладыванием второго вектора к концу первого (по правилу треугольника или по правилу параллелограмма), и отрезок от начала первого до конца второго будет задавать сумму этих векторов. Для выполнения операции вычитания нужно вместо второго вектора взять его же, но с замененными началом и концом.
П Р А В И Л А С Л О Ж Е Н И Я В Е К Т О Р О В :
Скалярное произведение двух векторов производится по формуле
(x₁, y₁) * (x₂, y₂) = (x₁*y₁ + x₂*y₂). (7)
Упрощенно это же записывается в виде: a ⁱ b ⁱ, ( a · b ) или просто ab .
В результате получается число – число, а не вектор. Это произведение эквивалентно следующей операции:
(x₁, y₁) * (x₂, y₂) = |x₁, y₁|*|x₂, y₂|* cos ([x₁, y₁]),([x₂, y₂])]. (8)
В прямых скобках определена длина соответствующего отрезка, а под косинусом – угол между этими же векторами с совмещенными началами, как при операции их сложения методом параллелограмма. Кстати, длина самого вектора (см. (8)), точнее – ее квадрат, например, L ² ( x ₁ , y ₁ ), определяется этим же выражением – через скалярное произведение:
L ² (x₁, y₁) = |x₁, y₁| ² = ( x₁ ² + y₁ ²) → L = √( x₁ ² + y₁ ²). (9)
Можно спросить – зачем нужны эти абстрактные математические сложности? Зачем они нужны землемеру? Ответ простой – 1) во первых, современные инструменты землемера построены на этих абстрактных методах и 2) во вторых – компьютеризация и автоматизация всего и вся. Хотите или нет вы их признавать – но они вошли в нашу жизнь надолго, думаю, уже никуда не уйдет. А там сплошные формулы, только на уровне вычислительной техники. И на более сложном уровне, чем я представил Вам.
Частная производная
Один из более сложных представителей множества векторов – это частные производные, применяемые очень и очень широко в математике, а, следовательно, и в вычислительной технике. Везде, где встречаются две и долее переменных – в нашем случае ( x , y , z ) – применяются в том или ином виде частные производные. Не знаю, как в сегодняшних школах – в моей школе этого не было – но в первых курсах ВУЗов есть предмет "дифференциальное исчисление". Дифференциальное исчисление более связано с одной переменной, а частная производная – со многими. Как раз как в векторах – два, три и более измерений: ( x , y , z ). С помощью частных производных вычисляются скорости изменения функции – напомню - скалярной функции, при изменении соответствующих координат. Так вот, эти самые частные производные являются самыми настоящими векторами. А если они вектора, а частные производные в математике и физике – обычное явление, то вся математика и физика – это сплошь и рядом вектора.
Можно, конечно, придумать и другие объекты, которые при преобразованиях координат изменяются также вполне определенным и логически непротиворечивым и обоснованным, возможно – похожим, но уже не векторным, образом. Чуть-чуть о них.
"Тензор "
Под понятием "тензор" обычно понимаются объекты типа "вектор", "матрица", другие многоиндексные объекты произвольной валентности с размерностью, равной размерности n рассматриваемого пространства. Валентность – это количество индексов при элементах тензора:
T = T ⁱ ̇ ̇ ̇ ʲ ₖ…ₘ ,
где i .. j , k .. m – индексы тензора,
(как видно, тензоры записываются с использованием верхних и нижних индексов. Верхние индексы называются контравариантными индексами, нижние – ковариантными. Это может иметь значение, а можно и опустить. В классической механике в евклидовом пространстве их обычно опускают, потому что это всегда можно учесть в знаке соответствующего элемента).
Тензоры получаются применением операции "частная производная" уже сначала к векторным, а уже в дальнейшем уже к полученным данным образом тензорам. Ранг или валентность показывает, сколько раз применялась данная операция к самому начальному объекту. Но это не единственный способ получения тензором. Можно просто определить многомерную функцию с соответствующими свойствами, удовлетворяющими тем, которым удовлетворяют частные производные функций – и они будут точно такими же тензорами, что и полученные с помощью частных производных.
Про площадь и объем не получилось – в другой раз. Продолжение следует.
Ставьте лайки, делитесь в соцсетях.
И комментируйте!