Так получилось, что эту зиму мы с женой проводим в Алуште. Развлечений тут зимой не ахти, как много,- ну прогулки по набережной в хорошую погоду, ну посещение магазинов по необходимости, ну кое-какие хозяйственные дела, а так - сплошной пенсионерский досуг, обусловленный, кроме всего прочего, пандемией, - встречи и общение с друзьями перешли в интернет, как теперь говорят: онлайн.
Жена заполняет досуг чтением книг и разгадыванием кроссвордов - у нее заметно увеличился словарный запас и она легко угадывает представителей национальных сонмов богов или образцы античного оружия (даже не представляя, как это все выглядит).
У меня к кроссвордам отношение прохладное - так, подсказать могу, а разгадывать - это не для моего темперамента. И вот от нечего делать я, по примеру старшего брата, решил изучить язык программирования Питон. Сразу оговорюсь, что это далеко не первый алгоритмический язык, который мне довелось изучить (первым был Алгол 60, который нам преподавали в середине 60-х прошлого века), поэтому никаких откровений в новом предмете для меня не было.
А тут подоспел Новый год и, поздравляя друзей и родственников, я ненавязчиво сообщал им, что наступающий 2021=43*47 - т.е. он раскладывается всего на два простых сомножителя, и, как следствие, обещает быть более счастливым, чем 2020=2*2*5*101. Мне возразили, что самые опасные года простые и я легко вычислил, что самый счастливый будет 2048 имеющий в разложении 11 сомножителей, а в простые (2027, 2029 и 2039) надо быть особо осторожными.
Шутки шутками, но для вычисления всех этих равенств я воспользовался вновь приобретенным знанием из Питона - ну не писать же традиционную "Hello World" */ на старости лет. Правда сложность моих произведений тоже на уровне первых уроков информатики в школе, но не об этом речь.
Балуясь с простыми числами я обнаружил, что наибольший интервал между соседними простыми растет с ростом чисел, но как-то медленно и даже возникло подозрение, что он имеет предел.**/ Своими сомнениями я поделился в комментарии к статье о "Песочных простых числах" на Яндекс- дзэн канале "Математика не для всех", рассчитывая, что этот канал посещают люди более сведущие в математике, чем я, и кто-нибудь развеет мои сомнения. Мой расчет оказался правильным.
Не прошло и 20 дней, как на мой комментарий откликнулся Micron Umbarov, чей ответ я с его разрешения цитирую:
"Легко получить сколь угодно длинный ряд составных чисел подряд.На всякий случай поясню, что факториалом называется произведение всех натуральных чисел от единицы до заданного n: n!=1·2·3·4·…·n (отдельно определяется 0!=1). Тогда числа n!+2, n!+3, n!+4,… n!+n все составные, так как делятся на, соответственно, 2, 3, 4,… n, то есть, получаем n–1 составных чисел подряд. Кроме того, могут быть составные числа непосредственно перед перечисленными и непосредственно после них, так что фактически непрерывный ряд из составных чисел может быть длиннее."
Это построение показалось мне таким элегантным, что счел необходимым поблагодарить человека и ответил ему следующим образом:
"Micron Umbarov, спасибо Вам большое - все мне стало понятно. Я, правда, построив график для максимальных интервалов тоже понял, что их размер неограничен и даже описал их зависимость от n, как l=c*(log n)^k, где с - мультипликативная константа, а 1<k<4."
У нас образовалась переписка, причем мы использовали упомянутую статью, как Дубровский и Маша дубовое дупло. Для этого рассказа интерес представляет еще один мой вопрос: являются ли числа вида n!+1 простыми или составными? Мне удалось найти три простых числа этого типа: 2!+1, 3!+1 и 11!+1 - последнее равно 39916801. (Что бы отыскать следующее 27 надо было потратить слишком много машинного времени).
На это мой корреспондент ответил:
"Посмотрите здесь:https://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=FactorialPrime Вообще, на этом сайте — тьма информации о простых числах. Там же можно найти информацию о программах, используемых для поиска больших простых чисел."
Посетив рекомендованный сайт я узнал, что неограниченность простых чисел вида n!+1 является гипотезой. "Ого! Я со своими игрушками вышел на передний край науки",- но это, конечно, шутка.
А Питон я продолжаю изучать.
___________________________________________________________
*Программу, выводящую эти сокровенные слова, первое, что предлагают
воспроизвести в большинстве учебников по программированию.
** Вот такие промежутки между простыми удалось найти: 4652507 -> 154;
17051887 -> 180; 20831533 -> 210; 47326913 -> 220; 122164969 -> 222;
191913031 -> 248.