Задача
Шар свободно скатывается без скольжения с наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол α. Определить его ускорение.
В соответствии с законом сохранения энергии, потенциальная энергия, которой обладал шар в начальный момент свободного скатывания, переходит в кинетическую энергию поступательного движения центра масс и кинетическую энергию вращательного движения шара относительно оси симметрии:
Здесь мы допускаем, что m - масса шара; V- скорость поступательного движения шара; ω - скорость вращательного движения шара относительно центра; J - момент инерции относительно оси симметрии шара и его величина известна:
где R– радиус шара.
Допустим шар начал движение с высоты h и прошел путь длиной L. Выразим высоту h через длину L:
Принимая во внимание равноускоренный характер движения шара по наклонной плоскости можно сделать следующие преобразования:
Подставим выражения, полученные в процессе преобразований, в исходное уравнение, представляющее закон сохранения энергии, и получим:
После соответствующих сокращений, получаем:
Отсюда получаем ускорение шара: