На тему нового года, но дело вообще не в нём
Вот задача:
Знак ! — это факториал.
Факториал — это произведение целых чисел от единицы до этого числа. Например, 5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120.
Что можно сказать, например, о числе 2023! (две тысячи двадцать три факториал):
- 2023! = 1 × 2 × 3 × 4 × … × 2022 × 2023
- Если убрать последний множитель, то получится число 2022!
- 2023! = 2022! × 2023
- Также 2023! = 2021! × 2022 × 2023
- Также 2023! = 2020! × 2021 × 2022 × 2023
- Также 2023! = 2019! × 2020 × 2021 × 2022 × 2023
И так далее. То есть почти любой факториал (кроме 1!) можно представить как произведение факториала предыдущего целого числа и следующего за ним. Например, 4! = 3! × 4
Этих знаний должно хватить, чтобы решить следующую задачу в уме. Но если не получается, открывайте решение:
Решение
Здесь сокращается почти всё и ответ получается довольно простым.
Так как факториал — это произведение чисел подряд, а значит, 2023! = 2022! × 2023. Зная это, выносим из числителя 2022!
Теперь считаем, что получилось в скобках:
В числителе осталось только произведение чисел. Выносим из него 2021! и смотрим, что получится:
Так как 2021! не равно нулю, то сокращаем на это числитель и знаменатель:
Получается, всё изначальное выражение равно 2022² — этого ответа уже достаточно, если вы решали задачу в уме. Если на листочке, перемножаем в столбик и получаем результат — 4 088 484.