Герой известной комедии Мольера очень удивился, узнав, что он всю жизнь говорил прозой. Точно так же и мы постоянно имеем дело с различными удивительными рядами чисел, не всегда зная, что они получили интересные названия еще в древности. Например, числа, образованные путем последовательного суммирования чисел натурального ряда 1, 2, 3…, называются треугольными: 1, 3, 6, 10, 15… В самом деле, взяв 3, 6, 10 и т. д. шашек, можно выложить на столе треугольники. Числа 1, 4, 9, 16, 25… образуют ряд квадратных чисел. Далее следуют пятиугольные, шестиугольные и другие фигурные числа. В свою очередь, суммируя плоские числа, получаем пространственные фигурные числа.
Фигурные числа стали известны уже в V веке до н. э. Еще в Древней Греции Диофант знал о взаимосвязи между треугольными и квадратными числами, выражаемой формулой 8Т+1=К,
где Т и К соответственно треугольные и квадратные числа.
Фигурные числа вызывали интерес во все времена. Ими занимались такие известные мыслители, как Евклид, Аристотель, Омар Хайям, Фибоначчи, Кардано, Пьер Ферма, Валлис, Леонард Эйлер. Открытые ими зависимости вошли в учебники, справочники и популярные издания. Так, в справочнике Г. Двайта «Таблицы интегралов и другие математические формулы» приводится следующая формула:
1+8+16+24+…+
+8 (n— 1) = (2n—1) 2.
Числа, фигурирующие в выше указанных формулах, все одного класса или порядка, то есть плоские фигурные. Между тем всегда вызывали и вызывают интерес соотношения между различными классами чисел, как можно дальше «находящимися» друг от друга. Такие соотношения показывают глубинные, сложные взаимосвязи в царстве чисел. Формулы такого типа, отражающие взаимоотношения между цепными дробями и рядами, между радикалами и рядами и т. д., умел
интуитивно находить математический гений Индии С. Рамануджан (1887—1920).
Вполне вероятно открытие неизвестных ранее зависимостей между различными классами чисел и в наши дни. Например, предлагаем вниманию читателей обнаруженную нами необычную
формулу:
С ее помощью из дробных чисел (начиная с п=3) получаем сразу квадраты. Приведенная зависимость, по-видимому, единственная в своем роде: ни кубы, ни четвертые степени и т. д. с помощью формул такого типа получить нельзя. Впрочем, может быть, читатели смогут доказать обратное?