Здравствуйте, Дорогие друзья! В прошлых статьях мы с Вами познакомились с некоторыми электрическими сигналами, а также с понятиями АЧХ и затронули тему дискретизации. Думаю, пришло время поговорить о страшном преобразовании Фурье. Что это такое? Простыми словами: у нас есть сигнал с определенной частотой и определенным значением амплитуды, пусть он гармонический (синусоида). Если мы построим график зависимости амплитуды этого сигнала от времени, то получим что-то вроде осциллограммы:
А если вдруг возьмём и захотим сделать график зависимости от частоты? Что мы тогда получим? АЧХ? Не совсем. Ведь мы задали одну частоту для нашего сигнала. То есть по сути у нас будет торчать столбик высотой в заданную амплитуду на заданной частоте. Что же это? Спектр. Мы уже говорили о том, что такое спектр: это графическое представление коэффициентов разложения Фурье. Вот и преобразование подключилось. Оно для этого и используется: для переноса ИНФОРМАЦИИ о сигнале из временной области в частотную. То есть помогает изобразить совокупность сигналов в виде «столбиков» в спектре.
Вот так. И ничего сложного. Давайте теперь поймём что тут и где. «Палочка» на нулевой частоте – это постоянная составляющая, ее частота, как можно догадаться нуль. «Палочка» на ста Герцах – это переменная составляющая сигнала. Высота «палочек» - уровень сигнала. Что это за уровень? Чтобы объяснить так, чтобы было понятно давайте запишем функцию нашего сигнала, то есть математическое описание формы сигнала. Пусть как я говорил у нас задан гармонический сигнал, то есть его можно описать двумя способами:
Почему из этих двух можно использовать любую формулу для описания одного и того же сигнала? Смотрим:
Как говорится, не верь на слово, поэтому вспомним, чем отличается график косинуса от синуса.
Пусть наш сигнал представлен вот такой функцией:
Проще говоря, у нас синусоида с частотой 1 кГц.
Функция сигнала проще некуда, поэтому при расчетах не ошибёмся. Запишем формулу для преобразования Фурье:
Сколько тут всего: и сумма, и синусы с косинусами, ещё и коэффициенты непонятные. Конечно же эти коэффициенты мы не придумываем, а высчитываем. Запоминаем формулы:
Сложно-то как! Или нет? Давайте попробуем выполнить преобразование для нашего сигнала. Идём по шагам:
С первым интегралом всё понятно, но что делать со вторым, ведь там разность аргументов? Давайте распишем косинус разности аргументов:
Выражение стало более красивым. Теперь можно подставить в формулу известные нам значения: синус и косинус девяноста:
Итак, косинус у нас занулился. Запишем, что у нас осталось:
Под знаком синуса у нас не просто переменная t, а функция от этой переменной, в то время, как интеграл у нас по «dt», поэтому нужно внести изменения в подынтегральное выражение:
Первый, а вернее сказать «нулевой» коэффициент найден. Давайте найдем остальные, вплоть до n=1 (да-да: бери сколько хочешь, хоть две!):
Упрощаем:
И снова первый интеграл содержит под знаком косинуса произведение, а второй – произведение функций. Будем решать эти интегралы по отдельности:
Пока что оставим этот интеграл в таком виде. Переходим к следующему:
Для решения подобных интегралов существует свой метод: воспользоваться свойствами подынтегральной функции. Давайте применим его. У произведения косинусов есть одно свойство: оно равно половине суммы косинусов от суммы и разности их аргументов, то есть:
Подставляем в наш интеграл, 1/2 сразу выносим за знак интеграла:
Разобьём на два интеграла:
Вычисляем по отдельности:
Теперь считаем амплитуду первой составляющей сигнала (первой гармоники):
Давайте разберемся почему так. Рассмотрим для начала формулы постоянной составляющей и альфа-коэффициента Фурье:
То есть «а нулевое» по сути – это «а n-ное» при n=0. Обычное упрощение: убираем косинус из формулы, в которой он и так станет единицей. Давайте поймём как в принципе всё это работает. Начнем конечно же с постоянной составляющей.
Первое, что мы делаем – вычисляем интеграл, то есть находим площадь под кривой с заданной функцией. Для лучшего восприятия отобразим всё на рисунке:
Если рассматривать всё буквально, то размерность полученных величин будут выражаться в Вольт*секунду. Если Вы не поняли такого пояснения, упрощаю: у нас имеется очень-очень много прямоугольников с одинаковой шириной dt (по иксу), измеряются эти dtв секундах. По игреку у нас отложено значение амплитуды сигнала – оно исчисляется в Вольтах. Под знаком интеграла – элементарные площади прямоугольников высотой U(t) и шириной dt, сам же знак интеграла означает сумму этих элементарных площадей:
Что такое постоянная составляющая? Постоянное напряжение, на которое смещают сигнал. Для того, чтобы его найти, нужно нашу площадь «размазать» по всему периоду.
Отлично! Теперь нужно найти высоту этой полоски: делим интеграл на период:
С постоянной составляющей разобрались. Теперь перейдём к n-ным составляющим. Альфа-коэффициенты, или коэффициенты «а n-ные»: функция под интегралом домножается на косинус. Построим график для такого произведения. Форма кривой на таком графике может быть различной, на нее влияют значения постоянной составляющей и амплитуды сигнала, ну и конечно же порядковый номер составляющей, то есть n. Рассмотрим случай, когда постоянная составляющая меньше, чем амплитуда сигнала, то есть сигнал полностью не смещен в положительную область (тот же самый сигнал, который мы и рассматривали):
Как мы уже заметили ранее косинус отрицательного и положительного аргументов равны, поэтому при вычислении интеграла решающую роль будет играть функция U(t). В рассматриваемом на данный момент примере U(t) – обычная синусоида и в формуле на рисунке 9 n=1. Например, при n=2 кривая примет вид:
При вычислении интеграла для функции на рисунке 9 мы получим нуль. Почему? Смотрим:
На этом рисунке «положительные» площади отмечены красным цветом «отрицательные» – синим. Даже без проведения вычислений видно, что эти площади компенсируют друг друга. Давайте оставим параметры амплитуды и постоянной составляющей прежними, а фазу сдвинем, скажем на альфа градусов и n зададим равным какому-нибудь k(пусть у нас останется единица), так, что график функции станет следующим:
Найдём интеграл теперь:
Этот пример более удачный: интеграл не равен нулю. «Размазываем» по периоду то, что остается после вычитания «синей площади» из «красной»:
Из пояснения к постоянной составляющей мы уже знаем, чему будет равна высота полученного прямоугольника: половине коэффициента «а n-ное». Почему половине? Потому что нормирование по Фурье производится как бы по полупериоду (T/2), поэтому при «растекании» площади по всему периоду у нас будет получен половинный уровень n-ного коэффициента. Это справедливо и для коэффициентов «b n-ных».
Продолжим! Вернемся к нашему первому сигналу (рисунок 4) и домножим его на синус при n=0 и нулевой начальной фазе. Мы получим следующий график:
Здесь мы видим, что интеграл от такой функции будет не нулевым:
Ну а дальше, действуем по известному алгоритму: «размазываем» результат интегрирования по полупериоду и определяем высоту получившегося прямоугольника:
Теперь мы можем вернуться к самому сигналу. Дальнейшие рассуждения будут связаны именно с ним:
Когда мы говорим об амплитуде сигнала, для нас нуль на оси ординат перестает иметь значение: отсчет ведется от уровня постоянной составляющей. Что такое амплитуда в принципе и как сопоставить с ней полученные коэффициенты? Если вспомним самую первую нашу «мини-лекцию», то с лёгкостью ответим на эти вопросы. Оговорюсь сразу: шаг сетки по игреку на графиках произведений и графике сигнала различный! (Поэтому не стоит считать клеточки, чтобы получить какое-нибудь значение)
Итак, если Вы перечитали ту статью или же помните всё, что в ней изложено, то идём дальше. Амплитуда – вектор, который может быть представлен как радиус. Радиус чего и на какой плоскости окружность с этим радиусом располагается пока не важно. Одно слово «радиус» уже говорит как найти амплитуду:
Конечно же коэффициенты Фурье и есть те самые X и Y – координаты. То есть:
Чтож, пожалуй на сегодня хватит. Надеюсь моя статья была Вам полезна. В одной из следующих статей мы рассмотрим что такое прямое и обратное преобразование Фурье и поговорим о формах записи преобразования. Задача же этой статьи – ознакомление с принципами выполнения преобразования и с тем, что такое коэффициенты ряда Фурье. Спасибо, что читаете (нас уже больше пятисот и я этому несказанно рад)! Удачи в учебе и труде!