Здравствуйте, читатели!
Сегодня мы рассмотрим одну из важных тем, которая затрагивается как в школе, так и в институтах, а именно - графики элементарных функций.
Можно сказать, что знание графиков элементарных функций может значительно упростить вам жизнь при выполнении тех или иных задач из области математики. Конечно, вы можете построить по точкам графики тех или иных функций, но не всегда бывает очевидно, что за график мы получаем в ходе построений. А вот ниже приведенные графики функций достаточно распространенные.
С чего же мы начнём? С координатной оси, конечно!
Перед вами декартовая прямоугольная система координат, в которой проводятся построения двумерных чертежей.
Этапы построения декартовой прямоугольной системы координат:
1)Чертим координатные оси под углом 90 градусов.
Важно отметить, что для построения координатной оси лучше пользоваться линейкой, ибо кривые оси не в почёте.
2) Подписываем оси маленькими буквами х и y.
Ось OX - это горизонтальная ось, ось абсцисс.
Ось OY - это вертикальная ось, ось ординат.
3) Задаем масштаб по осям: отмечаем на оси нуль и две единички как на рисунке. При выполнении чертежа самым удобный масштаб: 2 клеточки = 1 единица. Однако бывают случаи, когда наш чертеж не может поместится на листке бумаги при данном масштабе. Тогда берут следующий масштаб: 1 клеточка = 1 единица.
Совет: НИКОГДА НЕ ИСПОЛЬЗУЙТЕ ПУЛЕМЕТ ...-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6... Стандартно отмечаем нолик и единицы по осям. Потом по мере необходимости добавляем другие значения. Например, вам нужно на чертеже отметить точку А(1, 6). Единица на оси абсцисс уже отмечена, тогда на оси ординат остаётся отметить 6 единиц и по координатам поставить точку.
И ещё один совет: если вам нужно построить график функции y = f(x), то подставьте в данное уравнение вместо x число, а потом посчитайте чему равно у. Например, y = 3x - 9. Подставив x = 1, получим у = 3 * 1 - 9 = -6. Точка (1, - 6) принадлежит графику функции у = 3х - 9. Для более сложного варианта функций потребуется бОльшее количество точек (например, для кубических функций).
Так, с этим разобрались. Ну а если нет - смело задавайте вопросы в комментариях. А мы пока двинемся дальше.
Немного о преобразовании графиков функций
Пусть нам известен график функции y = f(x). Тогда возникает вопрос: а как построить график функции y = c*f(dx + a) + b, где a,b,c,d - параметры (т.е. фиксированные числа)?
Тут стоит сказать, что каждый параметр имеет свое значение.
1) Параметр a отвечает за сдвиг функции относительно оси абсцисс.
Если а > 0, то график сдвигается влево на а единиц.
Если а < 0, то график сдвигается вправо на а единиц.
2) Параметр b отвечает за сдвиг функции относительно оси ординат.
Если b > 0, то график сдвигается вверх на b единиц.
Если b < 0, то график сдвигается вниз на b единиц.
3)Параметр с отвечает за растяжение/сжатие графика вдоль оси ординат.
Если с > 1, то график растягивается в с раз.
Если 0 < c < 1, то график сжимается в 1/c раз.
4)Параметр d отвечает за растяжение/сжатие графика вдоль оси абсцисс.
Если d > 1, то график растягивается в d раз.
Если 0 < d < 1, то график сжимается в 1/d раз.
Пункты 3 и 4 не особо кто-то любит, в отличие от 1 и 2, которые просты в понимании.
График линейной функции
Линейная функция задается уравнением вида y = ax + b. График такой функции обычно называют прямой.
Чтобы построить график прямой, нужно выбрать две точки.
Например, чтобы построить прямую y = x, мы выберем такие точки: (0;0), (1;1). Потом мы соединим данные две точки одной прямой линией.
Есть пару интересных моментов, которые помогут понять как именно расположена прямая на координатной плоскости:
1) Если уравнение прямой принимает вид y = ax (то есть b = 0, причем а не равно нулю), то график прямой проходит через начало координат. Иными словами, вы в данном случае ТОЧНО знаете, что прямая проходит через точку (0;0). Осталось найти вторую точку. Если с этим возникнут проблемы, то сначала поднимитесь вверх и посмотрите советы по построению. Ну а если вопросы всё же останутся, то не стесняемся писать в комментариях.
2) Если уравнение прямой принимает вид y = b (то есть a = 0), то график прямой параллелен оси абсцисс. Ниже представлен пример подобной функции ( а точнее y = 2).
3) Если уравнение вида x = c, то график данной функции будет прямая параллельная оси ординат. Соответствующий пример будет приведен ниже.
График квадратичной функции
Что является графиком данной функции. Ответ: парабола. Собственно, уравнение вида y = ax^2 + bx + c (^ - обозначение степени), a отлично от нуля.
Рассмотрим самый распространенный случай: y = x^2
Для построения данного случая можно воспользоваться такими точками:
x = 1 (x = - 1), y = 1
x = 1,5 (x = -1,5), y = 2,25
x = 2 (x = -2), y = 4
x = 2,5 (x = -2,5), y = 6,25
x = 3 (x = -3), y = 9
Важное замечание: данные точки могут быть использованы только для случая y = x^2.
Если пару моментов, о которых стоит упомянуть:
1)Если уравнение параболы примет вид у = х^2 + c, то по сути ваша парабола y = x^2 поднимется на с единиц вверх (при с > 0) или опустится на c единиц (при с < 0)
2)Если уравнение параболы принимает вид y = ax^2 + bx + c, то можно попытаться найти точки, принадлежащие параболе. Первые две находятся из условия y = 0, то есть вы решаете квадратное уравнение и получаете корни.
Если корня два, то просто делаете насечки на оси абсцисс.
Если корень один, делаем то же самое.
Ну а если не повезло найти корни, то истерично начинаем ругаться матом пробуем отыскать вершину параболы. Если вы у квадратного уравнения нашли только один корень, то пропускаем этот ход, ведь эта точка и будет вершиной параболы.
Вершина параболы: х0 = -b / (2a)
Ну а потом подставляем х0 в уравнение y = ax^2 + bx + c.
Получим y0 = a(x0)^2 + b(x0) + c. (На всякий случай, в записи х0 0 - это индекс, а не х * 0).
Пример:
Парабола задана уравнением y=-2 x^(2)+4 x+4.
Получаем а = -2, b = 4,c = 4. Пробуем решить уравнение
-2 x^(2)+4 x+4 = 0.
Получаем х1 = 1+sqrt(3), х2 = 1-sqrt(3). Корни, конечно, не самые красивые, возьмем пример более простой но куда деваться. Поскольку sqrt(3) = 1,73 примерно, то можно сказать, что x2 = -0,73, x1 = 1,73. Прекрасно. Осталось найти вершину параболы. х0 = -b / (2a) = 4/(2*(-2)) = 1. Тогда y0 = 6.
Дальше стоило бы найти оставшиеся точки, через которые проходит парабола, но этот момент я опущу и приложу рисунок графика.
График функции y = sqrt(x)
Графиком данной функции является ветвь параболы. Построение данной функции фактически подобно построению параболы, если повернуть лист бумаги на 90 градусов влево, с отличием в построении одной лишь ветви.
Если же функция будет задана уравнением y = sqrt(x + a) + b, где параметр а отвечает за движение графика относительно оси абсцисс, а параметр b - за движение графика относительно оси ординат. ВАЖНО! x + a >= 0
Небольшое замечание про преобразование функции:
1) a > 0 - график сдвигается влево на а единиц
2) а < 0 - график сдвигается вправо на a единиц
3) b > 0 - график сдвигается вверх на b единиц
4) b < 0 - график сдвигается вниз на b единиц
Например, график функции y = sqrt( x + 2) - 4
График гиперболической функции
Старая добрая гипербола. Она задается уравнением y = 1/x.
Однако уравнение гиперболы может быть и таким y = с/(dx+а) + b. Но мы же уже знаем про преобразование графиков функций, верно?
С построением придется немного помучаться, то есть выбрать нужные точки и соединить их кривой. Чем больше точек, тем лучше.
Приведу по примеру на сжатие и растяжение гиперболы.
График показательной функции
Обычно график показательной функции задается уравнением вида y = a^x, где 0<a<1 и 1<a. Но чаще всего встречается экспоненциальная функция, где а = e = 2.718...
Построить показательную функцию бывает часто непросто, особенно экспоненциальную, которую можно построить точно только по калькулятору (хотя некоторые это могут попытаться оспорить). Поэтому примем во внимание следующие факты: при x < 0 график бесконечно стремится к оси абсцисс, а при x > 0 график и вовсе улетает вверх, а как скоро - узнать можно с помощью точек.
График логарифмической функции
График данной функции задается уравнением вида y = log_a (x) (на практике цифра а пишется чуть ниже буквы g). Но чаще всего встречается логарифм с основанием e = 2.718... Его ещё записывают так: y = ln x.
Здесь история построения такая же, как и у показательной функции, а если и число е закралось в основание логарифма, то хоть топор вешай. Но спасение примерно такое же, как и у показательной функции. При y > 0 лучше строить по точкам, а при y < 0 график начинает сближаться с осью ординат, но никогда не достигает её.
А можно поступить ещё веселее: поворачиваем лист бумаги на 90 градусов влево и строим график функции x = e^y. Получим тот же результат.
Графики тригонометрических функций
С синусами, косинусами, тангенсами и котангесами мы знакомы ещё со времён геометрии. Поэтому знать тригонометрическую таблицу нужно на зубок. Кроме таблицы Брадиса, конечно =)
Данные функции славятся своей одной особенностью - они бесконечно повторяются с периодом. А ещё все они либо чётные, либо нечётные. Просто помучаемся с построением на интервале от 0 до 2 pi (для тангенса и котангенса только на интервале от 0 до pi), а потом ctrl-c ctrl-v просто повторим построения с небольшими изменениями на других интервалах.
Главный бонус для синуса и косинуса : |sin x| <= 1, |cos x| <= 1
График синуса задается уравнением греха вида y = sin x.
График косинуса задается уравнением вида y = cos x.
График косинуса можно получить передвижением графика синуса на pi/2 единиц влево. График синуса можно получить передвижением графика косинуса вправо на pi/2 единиц.
График тангенса задается уравнением вида y = tg x.
Замечание: в точках pi/2 + pi * k, где k - целое число, функция тангенса улетает в бесконечность.
График котангенса задается уравнением вида y = ctg x.
Замечание: в точках pi * k, где k - целое число, функция тангенса улетает в бесконечность.
Построение данных графиков обычно не вызывает сложностей, ведь точки заранее известны. Хотя работать с числом пи не всегда приятно, но куда деваться.
Совет: при построении тригонометрических функций лучше на оси абсцисс за единицу возьмите pi/6, а на оси ординат за единицу лучше взять 0.5.
Графики обратных тригонометрических функций
Графики обратных тригонометрических функций строить ещё проще, ведь периода здесь уже нет. Зато можно проводить построения графиков данных функций с помощью той же тригонометрической таблицы.
Есть один момент : функции ограничены. Данные ограничения немного усложнят жизнь, но не сильно =)
График арксинуса задается уравнением вида y = arcsin x
График арккосинуса уравнением вида y = arccos x
График арктангенса задается уравнением вида y = arctg x
График арккотангенса задается уравнением вида y = arcctg x
Итак, сейчас мы рассмотрели графики элементарных функций, которые могут пригодиться вам при дальнейшем изучении математики.
Если статья была полезна, подпишись! Ну а если нет - напиши в комментариях, что именно не понравилось. Конструктивная критика приветствуется =)