Определение. Натуральное число n называется простым, если оно имеет только два делителя единицу и само число n.
Из четных чисел, очевидно, имеется только одно натуральное число 2, которое является простым, так как все остальные четные числа делятся на 2. Все остальные простые числа являются нечетными. Если все натуральные числа мы разобьем на классы в зависимости от того, какой остаток при делении на 4 получим, то образуются 4 класса. В один класс войдут все натуральные числа, которые делятся на 4. Во второй класс войдут все натуральные числа, которые при делении на 4 дают в остатке единицу. В третий класс войдут все натуральные числа, которые при делении на 4 дают в остатке 2. И, наконец, в четвертый класс войдут все натуральные числа, которые при делении на 4 дают в остатке 3. Очевидно, все нечетные и простые числа окажутся во втором и четвертом классах. Самое маленькое простое число из второго класса будет 5. Следующее простое число из второго класса получается добавлением числа 4 столько раз, пока не получится простое число. Очевидно, таким простым числом будет 13. Не трудно проверить, что и 5 и 13, полученные по указанному алгоритму, являются суммами двух квадратов. Такие простые числа Ферма назвал простыми числами первого рода. Алгоритм получения простых чисел первого рода можно продолжить. Если в процессе применения алгоритма получится составное число, то добавление четверки до получения простого числа продолжается. Таким образом, мы получаем простые числа первого рода 5, 13, 17, 29, 37, 41, ... Все же простые числа, которые окажутся в четвертом классе, будут простыми числами, которые Ферма назвал простыми числами второго рода, и они никогда не могут быть суммами двух квадратов и могут быть получены с помощью алгоритма, описанного нами в дзене. Для этого к самому маленькому простому числу 3 второго рода надо добавить четыре столько раз, пока не получим простое число и т. далее. Если в процессе применения алгоритма получается составное число, то добавляется 4 до получения простого числа, Таким образом мы получаем простые числа второго рода 3, 7, 11, 19, 23, 31, ... . Объявленные Ферма свойства простых чисел первого и второго рода мы доказали еще в 2015 году в нашей работе "Проблема близнецов и другие бинарные проблемы".