Это вполне себе один и тот же народ, искусственно разделённый перипетиями истории. Когда Российская империя отжимала территории у Персии (Ирана), о единстве азербайджанской нации не думали от слова совсем.
Азербайджанцев действительно называли "закавказскими татарами" - почти всех тюрков в России татарами именовали, даже казахов иногда.
Были попытки объединиться. Во время Второй мировой часть Ирана была оккупирована советскими войсками. Разумеется, местные коммунисты чувствовали себя при этом вполне вольготно. После войны уже практически подготовили слияние иранского Азербайджана с Азербайджанской ССР. Но тут мировое сообщество, и Запад в первую очередь, конкретно шикнули, и пришлось дать задний ход. В завершение Перестройки, когда начали полыхать проблемные этнические регионы, азербайджанские протестующие прорвали советско-иранскую границу. У некоторых азербайджанцев республики ведь имеются родственники по ту сторону. Кстати, сам Иран это не оценил, и свою границу предпочёл защищать.
Ещё в современном Азербайджане периодически рассматриваются варианты переименовать страну в Северный Азербайджан, что как-бы намекает. В количественном плане азербайджанцев в Иране живёт больше, чем в самом Азербайджане.
Конечно имеются локальные отличия. Не может не быть разницы в языке, учитывая, что на севере всё время оказывал влияние русский язык (теперь и турецкий), а на юге идёт агрессивная персизация или иранизация . Азербайджанцы Ирана пишут не латиницей, а арабскими буквами. Азербайджан - вполне светское государство, а вот в Иране волей-неволей всем жителям приходится соблюдать варварские теократические порядки.