Видео версия в конце
Всем привет, добро пожаловать в новый сезон франшизы Проектирование аппаратно-программных средств обработки данных.
В новых сериях мы окунемся в мир сигналов и способах их обработки. Новые задачи потребуют освоение новых инструментов. Новички могут ознакомиться с широким спектром проблем и вопросов, с более опытными зрителями можем вспомнить различные моменты из студенческих лет и профессиональной деятельности. Весьма полезным будет подискутировать на спорные темы. В любом случае, материал не уйдет бесследно в мусорную корзину.
В этом выпуске поделюсь своим взглядом на такой важный вопрос, как спектр сигнала. Возможно вид с этой точки покажется необычным, но это всего лишь угол, под которым мы все смотрим на один и тот же предмет. Итак, заходим с альтернативной стороны.
Проводная связь
В коаксиальном кабеле информацию переносит уровень напряжения между центральным проводником и металлической оплеткой. Такая среда передачи удобна как для передачи аналоговой информации, так и для цифровой.
Если в многоквартирном доме выйти в подъезд и попотрошить щитки с счетчиками электричества, то в вертикальных каналах между этажами можно увидеть это кабели в большом количестве. В основном, они использовались для кабельного телевизионного вещания. Телефонные двухпроводные линии после уплотнительного оборудования сливаются как ручейки вот в такой кабель. Общая домовая телевизионная антенна, давно умершие локальные сети на основе коаксиала и видимо много еще каких применений нашел этот кабель.
В отличие от коаксиала, асинхронный последовательный интерфейс передачи данных использует обыкновенные медные провода для передачи цифровой информации.
Дело тут в том, что в канал поступают напряжения либо логического нуля, либо единицы. И мы все прекрасно понимаем, что напряжение это аналоговая величина, но рассматривается-то принадлежность напряжения к какому то диапазону. Асинхронность это возможность начать передачу синхронного фрейма в любой момент времени. Биты имеют строго определенную длительность и синхронизированы с внутренним источником тактов в передатчике.
Фрейм синхронный, но передача асинхронная.
Широко известный интерфейс USB это развитие асинхронного последовательного интерфейса. В кабеле 4 медных проводника. Земля, питание и две дифференциальных информационных линии.
Дифференциальные это значит информацию переносит разница напряжений между проводниками в паре. Фреймы полностью синхронные, но передаются в произвольный момент времени. Полудуплексный режим передачи это когда в разные стороны фреймы проходят по очереди.
Также широко распространенный кабель витая пара это чаще всего две пары дифференциальных линий для передачи фреймов в полнодуплексном режиме.
Пара в одном направлении, пара в другом. Встречные фреймы проходят в разных парах. Вместе с оптоволоконными линиями эти кабели составляют основу всей инфраструктуры связи на этой планете. Среди всего этого разнообразия только оптоволокно несет в себе полностью синхронный идеально выверенный сигнал.
Беспроводная связь
Есть одна область, которую кабельные линии совсем не затрагивают. Это связь с теми объектами, куда кабели не протянуть по понятным причинам. Поезда и самолеты, корабли и подводные лодки. Дальше можно не продолжать, вы поняли. Беспроводная связь это та область, которая впитала в себя колоссальной количество научных достижений. Постараемся порассуждать на эти темы просто.
Беспроводная связь использует перенос энергии при помощи электромагнитных волн. Излучать такую волну в окружающее пространство довольно просто. Из школьного курса физики известно, что между пластинами с разностью потенциалов есть электрическое поле.
Если пластины развернуть, то силовые линии поля пройдут через окружающее пространство. Переменное напряжение на пластинах создает переменное электрическое поле, а оно создает переменное магнитное поле. И эта цепочка полей переносит энергию в окружающее пространство.
Любая штыревая антенна это разновидности диполя (двух идеальных точек в пространстве с противоположными по знаку электрическими зарядами). Вторая часть штыря либо в корпусе, либо сам корпус является этой второй половиной.
Гармоническое колебание идеально подходит под описание переменного воздействия на антенну. Согласно этому закону меняется и электрическое поле.
Основные параметры гармонического колебания это амплитуда и фаза с частотой. Частота и фаза неразрывны друг с другом, математически связаны и называются угловыми параметрами гармонического сигнала. При встрече электрического поля с приемной антенной в ней наводятся токи и эти смещения электронов приводят к появлению выходного напряжения на разъеме антенны. В дальнейшем мы будем рассматривать преимущественно радиосигналы, о них больше всего будет идти речь.
Вводим меру похожести сигналов
Давайте приступим непосредственно к теме. На графике представлены два сигнала. Вместо бесконечности в обе стороны, которые любят математики ограничимся временным промежутком.
То что строго для математиков порой невозможно взять на вооружение инженеру с паяльником. Рассмотрим это временное окно. Насколько эти сигналы похожи? Совсем немного. Введем какое-то более строгое определение похожести.
Если сигналы идеально совпадают, то площадь фигуры, которую они ограничивают будет нулевая. И чем меньше они совпадают друг с другом, тем больше площадь фигуры. Начало уже неплохое. Это можно описать знакомым со школы интегралом.
Определенный интеграл это площадь фигуры, ограничиваемой функцией. В нашем случае можно найти разность площадей фигур или найти интеграл разности функций. Один есть только минус. Если s(t) выше y(t), то интеграл отрицательный. А это не очень удобно интерпретировать. Если функции похожи значит интеграл близок к нулю, а если не похожи, то знак интеграла непредсказуем.
Это исправляется путем квадрата разности. Какая бы по знаку не была разность, квадрат ее - величина положительная. Назовем такой интеграл правдоподобием сигналов.
Квадрат разности раскрывается следующим образом. Квадрат первого минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго.
Интеграл прилетает к каждому слагаемому.
И теперь ответственный трюк. Первый и последний элементы это не что иное как энергии сигналов. Мощности, умноженные на время, суммированные по малым частям в интеграле. Центральный элемент это так называемая интегральная свертка двух функций. Если оставить только ее, то получим совсем другой индикатор похожести двух сигналов. Вот он то нас сейчас и заинтересует.
Это тоже мера похожести, но ведет она себя совсем не так, как тот интеграл разности. К с индексами из названий функций это что-то похожее на корреляцию из математики. Давайте с ней немного разберемся.
Эксперименты с мерой похожести
Возьмем в качестве живого примера гармонический сигнал m(t) с малой амплитудой и частотой 2,2. Второй сигнал n(t) с большой амплитудой и частотой 6,3. Они изображены на графике.
Измерим сначала похожесть сигнала m(t) самого с собой. Для определенности возьмем временное окно от 0 до 100 единиц. Похожесть без малого 2 единицы. Теперь сделаем то же самое для мощного сигнала n(t). Похожесть 220,54. В этом нет ничего удивительного. Физика говорит нам, что это энергии сигналов на этом временном промежутке. Один мощнее другого более чем в 100 раз.
А вот сейчас будет интересно. Измеряем похожесть двух разных сигналов. Она феноменально низкая 0,03. Оба сигнала гармонические и один даже имеет большую мощность, но показатель твердо заявляет, что
сигналы не похожи друг на друга, при этом сами на себя они очень похожи.
Знаете, этим необходимо воспользоваться.
Похожесть — функция от частоты
Вот в чем суть идеи. Можно взять гармонический сигнал единичной амплитуды с частотой 1 герц, измерить похожесть с имеющимся любым сигналом, отложить результат на графике. Потом увеличить частоту гармоники до 2 герц и снова отложить на графике результат похожести. Так можно пройтись по всем частотам и получить общую картину.
И вот что получается. m(t) это имеющийся сигнал. s это та самая гармоника, с меняющейся частотой. Именно с ней будем смотреть похожесть. Формула похожести справа. По горизонтальной оси откладываем частоту гармоники s. По вертикали мера похожести.
Результат нулевой по всему диапазону, кроме частоты совпадающей с m(t). На частоте 2,2 всплеск. Это означает, что на этой частоте гармоника s похожа на сигнал m(t).
Идем далее. Смешаем в одном сигнале мю две гармоники. У них разные частоты и амплитуды. Назовем гармоники s базисной функцией. Пора уже дать ей какое-то имя.
И результат измерения похожести мю на базисные гармоники дает всплески на частоте 2,2, второй более мощный на частоте 6,3. Это с одной стороны предсказуемо, но в то же время приятно что это так работает. Это широкие возможности для анализа произвольных сигналов.
Одно дело смотреть на составляющие разных цветов на одном графике где все понятно, совсем другое дело столкнуться с тем как это выглядит без прикрас.
А вот сейчас попробуйте догадаться сколько здесь гармонических сигналов замешано и какой они амплитуды. А ведь это всего лишь смесь двух сигналов. Анализ дает четкую картину.
Доработка в формулах
Однако, есть в этих размышлениях неучитываемый факт. Необязательно в исследуемом сигнале будут присутствовать только синусы. Фаза гармоник может быть абсолютно любой. А синус и косинус отличаются меж собой по фазе на 90 градусов и их интегральная свертка равна нулю.
Ничего личного, только математика. Давайте теперь ломать придуманный показатель похожести.
В качестве базисной функции возьмем косинус. И вот при совпадении частот с базисной функцией наблюдаем нули.
Печально, но решение находится очень быстро.
Базисными функциями являются как синус так и косинус. Считаются оба варианта похожести и итоговый складывается из корня от суммы квадратов этих вариантов. Если один из вариантов провалится до нуля, то второй скомпенсирует провал.
А выглядит график теперь превосходно. Никаких отрицательных значений и показывает то что есть на самом деле. В сигнале мю есть две главные энергетические составляющие. Одна на частоте 2,2, другая на 6,3. Вклад каждой составляющей наглядно показан на графике. А ведь все начиналось с какой-то непонятной похожести.
Расширяем поле зрения
Напоследок внесем еще одно улучшение. По вертикальной оси откладывать будем не саму меру похожести, а ее десятичный логарифм, умноженный на 10.
Теперь показано, что с каждой новой линией сетки сигнал будет отличаться в 10 раз. В новой системе отсчета помещаются все сигналы от мала до велика. Можно увидеть гармоники и в 1000 и в 10 000 раз мощнее. Это более удобный формат представления.
Эпилог
Что по итогу. Рассуждения не такие строгие, как предлагаются для изучения в технических вузах. Мера похожести это аналог функции корреляции, Отложенная на частотной оси эта мера аналогична энергетическому спектру сигнала. В наших примерах для конкретности у интегралов есть пределы. В умных книгах у интегралов в качестве пределов плюс и минус бесконечности. Простому инженеру от бесконечностей никакой радости. Все равно преобразования в устройствах обработки данных проводятся в определенном временном окне, а никак не на бесконечностях.
В умных книгах пишут про разложение функций в гармонический ряд, но при всем уважении к господину Фурье, все как-то может выглядеть проще на уровне школьной программы.
Это не изобретение спектрального анализа, а взгляд немного с другой точки. Возможно, так видно чуть шире. Пишите что думаете по этому поводу.