Данные уравнения стали основой гидродинамики. Решения этих уравнений применяются во многих практических случаях. Аналитически данные уравнений решены только для некоторых частных задач. Отсутствует понимание полностью свойств уравнений Навье-Стокса.
НАВЬЕ́ – СТО́КСА УРАВНЕ́НИЯ (eng. The Navier- Stokes equation)-дифференциальные уравнения в частных производных. Выведены Анри Навье в 1822 (опубл. в 1827) на основе упрощённой модели молекулярных взаимодействий. В 1845 Джордж Стокс в результате изучения стационарного движения несжимаемой жидкости получил эти уравнения в современной форме с использованием законов сохранения массы и импульса для сплошной среды.
В простейшем случае движения несжимаемой (плотность ρρ постоянна) и нетеплопроводной (темп-ра TT постоянна) среды Н. – С. у. в векторной форме имеют вид:
Здесь
vv – скорость частицы жидкости,
tt – время, FF – внешняя удельная (приходящаяся на единицу массы) сила,
pp – давление, η=μ/ρη=μ/ρ – кинематич. коэф. вязкости (μμ – динамич. коэф. вязкости),
∇∇ – оператор Гамильтона, ΔΔ – оператор Лапласа.
Коэффициенты вязкости зависят от темп-ры и для жидкости, как правило, определяются экспериментально, а для газа выводятся из кинетич. теории газов.
Для проекций скорости на соответствующие оси прямоугольной декартовой системы координат уравненяе записываются в виде системы 3 уравнений:
В зависимости от поставленных условий Н. - С. у. имеют разные формы записи
Н. – С. у. для нестационарных задач относятся к параболическому типу. Решение системы таких уравнений требует задания начальных данных для v,ρ,pv,ρ,p и TT, а также граничных условий на обтекаемой стенке («прилипание», т. е. нулевая скорость на границе, заданная темп-ра или тепловой поток) и на границе рассматриваемой области течения. Н. – С. у. для стационарных задач относятся к эллиптич. типу. В этом случае достаточно задать только граничные условия на границах рассматриваемой области течения и на обтекаемых поверхностях.
Н. – С. у. описывают ламинарные течения, т. е. такие, для которых Рейнольдса число меньше критического. В случае турбулентных режимов течения Н. – С. у. могут быть применены с учётом некоторых дополнительных допущений относительно компонент тензора вязких напряжений; тогда из Н. – С. у. получаются т. н. осреднённые уравнения Рейнольдса. Для газа Н. – С. у. справедливы при особых значений специфических величин
Точные решения Н. – С. у. удаётся найти лишь для небольшого числа частных случаев. В кон. 20 – нач. 21 вв. развиты различные численные методы решения Навье – Стокса уравнений.