#хакнем_математика 👈 рубрика, содержащая интересный, познавательный контент по математике как для школьников, так и для взрослых 🥳
Сегодняшняя статья для тех, кто «не дружит» с геометрией, а точнее с такой красивой геометрической фигурой, как окружность. Начинаем разбирать задание № 17 из ОГЭ по математике на тему «Окружность, круг и их элементы».
Рассмотрим примеры решения задач, связанных с центральным и вписанным углами.
Пример № 1
Найдите ∠ DEF, если градусные меры дуг DE и EF равны 150° и 68° соответственно.
Решение:
Угол ∠ DEF — вписанный. Напомню, вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают её. Его градусная мера равна половине дуги, на которую он опирается (дуга FD, не содержащая точку Е).
Дуга FD = 360° – (150° + 68°) = 142° .
Угол ∠ DEF =½×142° =71°
Ответ: 71.
Пример № 2
Найдите градусную меру∠ ACB, если известно, что BC является диаметром окружности, а градусная мера центрального ∠ AOC равна 96°.
Решение
∠ ACB — вписанный, опирается на дугу АВ и равен её половине. Таким образом, чтобы найти угол, нужно сначала найти дугу АВ.
ВС — диаметр окружности, следовательно, дуга САВ равна 180°.
∠ AOC — центральный угол (это угол, вершина которого лежит в центре О окружности, а стороны пересекают окружность, его градусная мера равна дуге, на которую он опирается).
По условию ∠ AOC = 96° , тогда дуга АС = 96° ,
а дуга АВ = 180° - 96° = 84°.
Тогда ∠ АСВ =½×84° = 42°
Ответ: 42.
Пример № 3
Сторона AC треугольника ABC содержит центр описанной около него окружности. Найдите ∠ С, если ∠ А = 75°. Ответ дайте в градусах.
Решение:
∠ В — вписанный угол, опирающийся на диаметр АС, следовательно равен 90° (важное свойство!), т.е. ΔАВС — прямоугольный.
По свойству острых углов в прямоугольном треугольнике (их сумма равна 90°) ∠ С = 90° - ∠ А = 90° - 75° = 15° .
Ответ: 15.
Пример № 4
AC и BD — диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 79°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.
Решение:
1. ∠ АСВ — вписанный, по условию ∠ АСВ = 79°,
Так как ∠ АСВ = ½×дуги АВ, то дуга АВ = 2×79°=158°.
2. О — центр окружности, тогда дуга ВАD = 180°, а дуга АD = 180° - 158°= 22°.
3. ∠ АОD — центральный, он равен дуге АD (на которую опирается)
∠ АОD = 22°.
Ответ: 22.
Пример № 5
В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол OCD равен 30°. Найдите величину угла OAB.
Решение:
∠ ОСD и ∠ OAB — вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу DB,
и, следовательно, они равны (свойство!).
Таким образом, ∠ ОСD = 30°.
Ответ: 30.
Конечно это не все типы задач в этом задании. Надеюсь, моя статья поможет вам в подготовке к экзамену. Если вы нашли ошибку или другие способы решения предложенных задач (а они, конечно, есть), пишите в комментариях!
#хакнем_математика 👈 подпишись на этот хэштег, чтобы получать новый интересный и познавательный контент по математике 🥳
Автор: #ирина_чудневцева 41 год, город Ярославль, мама 16-летнего подростка.