Закрашенной точкой на графиках изображается точка, принадлежащая кривой. Белой точкой изображается «выколотая» точка – точка, не принадлежащая кривой.
Примечание. Ниже под аналитическим представлением функций понимается её формульное представление, включающее суперпозиции функций, связанные четырьмя арифметическими действиями, и не содержащее «многоэтажных» выражений – систем отношений.
Ступенчатые функции и их применение
Под ступенчатыми функциями далее подразумеваются разрывные кусочно-постоянные функции. Примером такой функции является функция – целая часть действительного числа y = 〚x〛, график которой представлен на рис. 1.
Простейшие ступенчатые функции
Простейшими ступенчатыми функциями являются две разрывные функции единичного скачка (единичный скачок) η₀(x) и η₁(x), (называемые также единичными функциями Хевисайда) отличающиеся значением в точке x = 0
Функцией η₀(x) удобно пользоваться в операционном исчислении Лапласа, в котором исходные функции f(t) заменяются их образами F(p) по формуле
называемой преобразованием Лапласа. Алгебраические действия над этими образами применяют для получения образов решений дифференциальных и разностных уравнений. Преобразование Лапласа определено для кусочно непрерывных функций, равных
дано аналитическое представление функции, не существующей в устранимой особой точке 0.
С помощью функций Ω(x) и η(x) можно аналитически записать индикаторные функции некоторых числовых множеств.
Индикаторные функции это функции, равные единице, если аргумент принадлежит множеству, и равные нулю в противном случае.
Например.
всюду равно нулю, кроме точки a, в которой равно значению функции в этой точке. Это равенство позволяет с помощью функции Ω(x) аналитически записать разрывную функцию, имеющую разрыв в отдельной точке x₀ в виде «выброса» (когда значения функции в этой точке, отлично от равных в ней левого и правого пределов).
Разрывные функции с точками разрыва первого рода
Ступенчатые являются удобным средством аналитического представления разрывных функций с точками разрыва первого рода и угловыми точками.
Обыкновенными точками функции называются точки, в некоторой окрестности которых сама функция и все её производные любого порядка непрерывны.
Точка гладкости функции n-го порядка – особая точка функции, в которой терпит разрыв производная (n + 1)-го порядка. В точке гладкости (n + 1)-го порядка могут сопрягаться две различные непрерывные в этой точке функции, имеющие одинаковые производные вплоть до n-го порядка и различные производные (n + 1)-го порядка
Устранимая особая тока функции – особая точка, в которой функция не существует, но в ней существует (двухсторонний) предел функции. Функция, имеющая устранимую особую точку, становится непрерывной, если её доопределить пределом в этой точке.
Если функция имеет в некоторой в точке конечные разные левый и правый пределы, то эта точка называется точкой разрыва первого рода.
Если функция f₁(x) непрерывна в некоторой окрестности точки a слева, а функция f₂(x) непрерывна в некоторой окрестности этой точки справа, то функция f(x), равная f₁(x) слева от точки a и равная f₂(x) справа от точки a, называется склеенной из двух функций в точке склейки a.
При этом далее предполагается, что в точке склейки значения функций f₁(x) и f₂(x) определены и конечны (т.е. точка склейки не является точкой разрыва второго рода ни одной из функций), а сама функция f(x) в точке склейки может быть непрерывной или иметь разрыв первого рода.
С помощью простейших ступенчатых функций можно записать
аналитические выражения для функций, имеющих в некоторых изолированных точках угловые особые точки или точки разрыва первого рода, если они являются склеенными в этих точках из непрерывных функций. В некоторых случаях такое представление возможно и для устранимых особых точек.
Ниже на картинках представлены точки разрыва первого рода типа «скачок» и «выброс» и аналитическое представление функций, имеющих такие особые точки, если значения склеиваемых функций f₁(x) и f₂(x) в точке x₀ существуют. В этих случаях склеенная функция представляется в виде
Аналитическое представление некоторых кусочно-постоянных функций
Ступенчатую функцию, равную натуральным значениям в точках с натуральной целой частью, можно аналитически представить в виде бесконечного ряда от функций η(x – i)
а функцию «целая часть» можно представить в виде бесконечного ряда
Определение дельта-функции через ступенчатую функцию
Ступенчатая функция
является примером так называемой финитной функции.
Финитные функции это функции, равные нулю вне некоторого компактного множества, называемого носителем финитной функции.
Носителем функции Ω(a; b, x) является отрезок a ⩽ x ⩽ b.
Доказательство.
Сама по себе в формулах (вне функционалов) δ-функция имеет чисто символическое значение и рассматривается как так называемая обобщённая сингулярная функция, являющаяся ядром интегрального функционала
т. е. отображения, ставящего в соответствие всякой (допустимой) функции f(x) некоторое число.
Основное свойство δ-функции как функционала доказывается следующим образом
постулированное Дираком.
Через δ-функцию можно определить производную от разрывной единичной η-функции, имеющей точку разрыва первого рода в самой точке разрыва (что недопустимо для классической производной)
Список литературы
1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3-х т. Т. II / Пред. и прим.
А.А. Флоринского. – 8-е изд. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 680 с.
2. Гурса Э. Курс математического анализа. Том первый. Часть 1. Производные и дифференциалы. Определённые интегралы. М.-Л.: Государственное технико-теоретическое издательство. 1933. -368 с.
3. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа. С приложением таблиц, составленных Р. Гершелем. Прерв. с нем. -М.: Наука, 1965. -288 с.
Виктор Сухов.
Всего Вам доброго.