Всем привет, в этой статье я хочу поговорить о вопросе ОДЗ? В каких случаях можно обойтись без неё? И в каких случаях она необходима? На эти вопросы я попытаюсь дать ответ.
Корни
Пример 1.
Можно написать ОДЗ, 2x+3 >= 0, x>= -1,5, но в таких примерах я не рекомендую так делать, потому как представьте, что у вас будет вот-такое подкоренное выражение
Человека, который сможет решить данное ОДЗ, можно назвать только супергероем. Но поскольку мы не герои, а обычные люди, давайте попытаемся понять простую вещь.
Мы извлекаем корень(квадратный*) из какого-то неизвестного числа, и в результате этого, что у нас может получиться? Только положительные числа, включая нуль. Мы же не можем извлечь корень из 4 и получить -2.
Теперь нам не важно что a >= 0, поскольку мы написали условие существования правой части. При возведении в квадрат (переход к уравнению следствию) область определения расшириться, и благодаря тому, что b>=0 , вся ненужная пакость(посторонние корни) просто отметутся.
Но для удобства запишем равносильную систему.
Вернемся к первому примеру.
Решаем простейшее кв. уравнение, находим корни
X = -1 не удовлетворяет неравенству системы (x>=0), поэтому x = 3 единственный корень уравнения.
Заметьте, как составители ЕГЭ хотят хитро подловить тех людей, которые бездумно возводят в квадрат обе части уравнения, не учитывая условие существования или того же самого ОДЗ(x>= - 1,5).
Пример 2.
Здесь действуем чуть-по другому, хотя опять же принцип тот же.
При возведении в квадрат обоих частей, для их существования необходимо и достаточно того, что либо x>=0, либо x^2-x >=0. Выбираем то неравенство, которое легче всего решить, естественно это x>=0.
x^2 -x = x , x>= 0
x^2-2x = 0
x(x-2) = 0
x = 0, x = 2
Оба корня удовлетворяют x>=0. Давайте для наглядности проверим условие x^2-x >=0
x(x-1) >=0, решим методом интервалов
x = 0, x = 2 попадают в область >=0, поэтому получаем верный ответ.
Всегда, видя такую конструкцию, выбирайте то неравенство, которое легче решить.
Логарифмы.
С логарифмами такая же песня.
Поскольку основания равны, мы можем их отбросить и перейти к
x+3 = 4x - 15, при условии что либо X + 3 >0, либо 4x-15>0, легче решить x + 3 >0, значить и выбираем это неравенство.
x + 3 = 4x - 15, x > -3
3x = 18
x = 6, подходит, т.к. x > -3.
Ещё один пример.
Здесь можно выполнить преобразование правой части, главное помнить одно - если при выполнении преобразования не меняется ОДЗ данного выражения - то оно является равносильным.
Легче решить x^2 > 0, <=> x не равен 0.
x + 2 = x^2 , x не равен 0.
x^2 - x - 2 = 0
x = -1, x = 2,
Корни удовлетворяют неравенству(x не равен 0).
Без ОДЗ не обойтись.
Здесь обязательно ищем ОДЗ, потому-как здесь нельзя выполнить равносильные преобразование, только переход к уравнению-следствию.
Переходим к произведению логарифма,
Пример 2.
Ни в коем случае не заносим эти выражения под один корень, т.к. начальное ОДЗ:
x >= 1 и x >= -4, <=> x >= 1
Если мы сделаем так, то мы расширим область определения выражения.
ОДЗ будет (x-1)(x+4) >=0,
Поэтому пишем начальное ОДЗ, x >= 1, возводим в квадрат и получаем корни x =-5, x = 1,
x = 1 подходит(x >= 1), x = -5 - посторонний корень.
Если бы мы написали 2-ое ОДЗ, то все эти корни подошли бы, и мы потеряли бы свои драгоценные баллы.
Очень внимательный человек, который ничего не знает об ОДЗ, возвёл бы в квадрат, решил уравнения, и подставил бы x = 1, x = -5 в уравнения, и увидел бы, что при x = -5 извлекается корень из -1,(в обычных школах, в моей по-крайней мере точно, так и учат "решать" уравнения, и это очень печально), значит x = -5 посторонний. Но если бы корней было много или вообще целый отрезок (так бывает в уравнениях с модулем)? Главный совет, который я хочу дать, учитесь НЕ "ТУПО" НАРЕШИВАТЬ уравнения, а понимать всё, что вы делаете, и тогда с математикой проблем не будет.
Советую прорешать задачки из этой книги, и почитать там про равносильные переходы.
В следующей статье я разберу одно непростое 15-задание, которое решается пониманием "неравенства-следствия", если интересно, то будьте добры, подпишитесь на этот канал. Спасибо за внимание. Материалы, из которых я брал примеры: