Детство Квят провёл в Уфе; учась в школе, занимался теннисом, становился победителем на школьных соревнованиях. Переехав в Москву, попал в картинговый центр и попробовал проехать на карте по трассе, что ему очень понравилось. С того момента он стал увлекаться автоспортом, часто посещал автодром. В скором времени у Квята появились свои тренеры, и он стал принимать участие в серьёзных соревнованиях. В 2005 г. стал победителем Рождественского Кубка Сочи по картингу (класс Мини). В этом году также выступал в чемпионате России по картингу (класс Ракет), где занял 12-е место. В 2006 г. стал 13-м в чемпионате Москвы (Ракет). Дальше начал участвовать в итальянских чемпионатах MiniKart, из-за чего в итоге переехал в Рим.
Талантливого юного гонщика быстро заметили различные программы поддержки молодых пилотов крупных концернов, и с 2009 года его карьере стал помогать нефтяной концерн Лукойл, а в 2010 году Квят подписал контракт с проектом Read Bull Junior. Сотрудничество с данными компаниями позволило команде Квята заранее обеспечить финансирование карьеры на несколько лет вперёд и в том же 2010 году, после ряда более заметных успехов в картинговых гонках, попробовать себя в гонках машин с открытыми колесами . Для сезона дебюта были выбраны сразу несколько младших юниорских серий — Квят провёл более тридцати стартов в Европе и Азии на технике Формулы-БМВ и двухлитрового класса Формулы-Рено, добившись приемлемых успехов: достаточно быстро обретя стабильность для регулярных финишей в десятке сильнейших в гонках любого состава, но в более сильных чемпионатах крайне редко борясь за подиумные позиции. В серии, где Квят проводил свои основные старты в том году — в европейской Формулы-БМВ — он занял лишь десятое место при одном подиумном финише, в то время как его напарник по программе и давний картинговый соперник — Карлос Сайнс побывал на подиуме пять раз и поднялся на четвёртую строчку в итоговом личном зачёте.
Год спустя европейцы встретились уже в Североевропейском кубке, где, набравшись опыта, уже боролись за титул, но оба раза уверенный перевес вновь был за испанцем. В младшем первенстве Квят одержал семь побед в двадцати стартах и занял итоговое второе место, а в старшем выиграл лишь две гонки (в четырнадцати стартах) и занял третье место — и его и Сайнса опередил Робин Фряйнс из гоночного коллектива Йозефа Кауфманна. В 2012 году Сайнс был переведён в гонки Формулы-3, а Квята ещё на год оставили в гонках двухлитровой Формуле-Рено. Решение руководителя программы Хельмуто Марко принесло неоднозначный итог — дополнительный год опыта никак не сказался на выступлениях Квята в подобных гонках: в младшем чемпионате (альпийское первенство) он не без проблем, но взял титул (опередив ближайшего соперника лишь на три балла), а в Еврокубке вновь упустил титул — на этот раз проиграв Стоффелю Вандорну (ключевым фактором в борьбе с бельгийцем стала стабильность выступлений — выиграв на три гонки больше, Квят проиграл сопернику в чемпионате десять очков).
В 2013 году Квят воссоединился с Сайнсом в GP3 в MW Arden. На новой технике оба чувствовали себя не слишком уверенно — Сайнс дважды подвергался дисквалификации в гонках, часто попадал в аварии и, несмотря на неплохую скорость, закончил год лишь десятым; Квят начал год схожим образом, но во второй половине чемпионата набрал уверенность в своих силах, трижды подряд выиграл длинные субботние гонки и сначала догнал плотную, но не очень стабильную группу лидеров чемпионата, а потом и возглавил личный зачёт, в итоге привезя ближайшему сопернику тридцать очков. Параллельно в главных командах Red Bull в Ajhvekt-1 образовалась одна пилотская вакансия (Марк Убеер покинул чемпионат мира, а на его позицию в старшей команде был переведён Даниэль Риккардо) и на свободное место, в итоге, был выбран именно Квят, проявивший себя в сезоне-2013 лучше, чем тот же Сайнс и третий член Read Bull Junior Team — португалец Антониу Феликс да Кошта.
Формула-1
Квят с первых Гран-при показывал сопоставимые с напарником результаты, а в гонках проявил способность избегать аварий и беречь свою машину, в первых четырёх стартах четырежды добравшись до финиша. Далее результаты несколько ухудшились — Квят выдал серию из пяти гран-при, где четырежды не добирался до финиша из-за различных технических проблем. Руководство, впрочем, оставалось довольным его действиями и, даже несмотря на проигрыш напарнику в личном зачёте, Квят сначала продлил контракт с Toro Rosso, а когда из старшей команды решил уйти Себастьян Феттель, заменил немца в составе Red Bull Racing. Перевод никак отрицательно не сказался на результатах россиянина в концовке сезона: он по прежнему был быстр на любом отдельном круге, но в гонках каждый раз что-то случалось, и очковый счёт Квята уже после Бельгии замер на отметке в восемь баллов, а его напарник в семи последних Гран-при трижды попал в очковую зону и опередил Квята к концу сезона на 14 зачётных пунктов.
В 2015 году качественного улучшения в результатах, первое время, достичь не удавалось — техника конкурентов заметно прибавила, и болид Red Bull часто уступал даже младшей команде. Впрочем на Гран-При Монако Квят и Риккардо уже в квалификации смогли обеспечить себе позиции в первой пятёрке, а в гонке лишь подтвердили их. Квят, чуть уступивший своему австралийскому напарнику в скорости на одном круге и в квалификации и в гонке, провёл сам заезд лучше, несколько раз обменивался с ним позициями, а в итоге впервые финишировал на четвёртом месте. В дальнейшем техника позволяла пилотам австрийской команды бороться лишь на грани очковой зоны. Следующий шанс побороться за околоподиумные позиции пришёлся на Гран-При Венгрии, где благодаря обгонам и проблемам лидеров пелотона Квят поднялся с седьмой стартовой позиции на вторую финишную, что позволило улучшить достижение российских пилотов в гонках чемпионата мира. На Гран-При Бельгии Квят квалифицировался 12-м, но благодаря множеству эффектных обгонов он финишировал на четвёртом месте; из-за схода Риккардо россиянин опередил его в общем зачёте чемпионата на 6 очков. После Сингапура Квят вновь пропустил напарника вперёд, однако на Гран-При России, заняв пятое место, опять опередил его и удерживал седьмое место в чемпионате до конца сезона. По итогам сезона 2015 года Квят обогнал своего напарника в личном зачёте на три очка, но проиграл Риккардо в квалификациях с командным счётом 7:12.
Сезон 2016 года начался для Квята неудачно: в Австралии машина заглохла ещё на прогревочном круге. В Бахрейне он сумел провести неплохую гонку и набрал очки, в Китае с шестого места прорвался на третье и поднялся на подиум. На Гран-При России в Сочи Квят стартовал восьмым и в попытке атаковать Феттеля дважды ударил его болид, что повлекло за собой другие столкновения, Квят был оштрафован (10-секундный Stop&Go) и очков не набрал. С пятого этапа (Гран-При Испании) Даниил продолжил карьеру в прежней команде Scuderia Toro Rosso , где заменил Макса Ферестаппена. Ферстаппен, заняв место Квята в «Ред Булл», выиграл первую же гонку — Гран-При Испании. Журналисты говорили о «полосе неудач» в карьере Квята: в Монако, Баку, Австрии, Монце и Абу-Даби до финиша не добрался.
После гран-при Сингапура было объявлено, что Квята на гран-при Малайзии в составе команды заменит Пьер Гасли, который принимал участие и на гран-при Японии. Квят выступил на гран-при США, заменив Карлоса Сайнса, ушедшего в «Рено». Он завоевал одно очко, но несмотря на это был заменён на Брендона Хартли, а 25 октября Хельмут Марко объявил, что Квят больше не вернётся в команду и исключён из программы гонщиков Red Bull.
Впоследствии Даниил Квят был нанят командой Ferrari в качестве пилота по развитию.
В 2018 году менеджером Квята стал Николя Тодт, сын Жага Тодта. В сентябре начала появляться информация о возвращении Квята в «Торо Россо» в 2019 году, и 29 сентября на гран-при России об этом было объявлено официально.