§11. Построение линии пересечения двух плоскостей. (Вторая позиционная задача).
Результатом пересечения двух плоскостей является прямая . Для построения этой прямой достаточно найти две точки, принадлежащие обеим плоскостям и провести через них прямую линию.
Если мы возьмем прямую, принадлежащую одной плоскости и найдем точку ее пересечения с другой плоскостью, то эта точка будет общей для обеих плоскостей. Таким образом, построение линии пересечения двух плоскостей сводится к решению первой позиционной задачи, повторенному дважды.
Задача 11.1. Построить линию пересечения плоскости α, заданной треугольником АВС, и плоскости β, заданной двумя пересекающимися прямыми МЕ и МК (рисунок 11.1). Определить видимость плоскостей.
Решение.
1. Возьмем прямую АВ, принадлежащую плоскости α, и найдем точку ее пересечения с плоскостью β. Для этого заключим ее в проецирующую плоскость и найдем точку пересечения, используя алгоритм для решения первой позиционной задачи (см. §7).
На рисунке 11.2 продемонстрирован этот этап решения – точка N является точкой пересечения прямой АВ и плоскости β(МК, МЕ). В данном случае мы заключили прямую в фронтально-проецирующую плоскость ФП, прямая 1-2 является результатом пересечения плоскости ФП и плоскостиβ.
Не нужно забывать о том, что все точки на чертеже отображены в проекциях. Так, например, на рисунке 11.2. точка N представлена проекциями N1 и N2.
2. Возьмем прямую МК, принадлежащую плоскости β, и найдем точку ее пересечения с плоскостью α. Заключив ее в горизонтально-проецирующую плоскость, и проведя аналогичные построения, найдем точку L (рисунок 11.3).
3. Проведем прямую NL, являющуюся линией пересечения плоскостей α и β (рисунок 11.4).
4. Определяем видимость плоскостей (рисунок 11.5).
Применяем метод конкурирующих точек – для определения видимости на фронтальной проекции берем конкурирующие точки, проекции которых совпадают с точкой 22, для определения видимости на горизонтальной проекции берем точки с проекцией в 41. Конкурирующие точки 22 принадлежат фронтальной проекции АВ и МК. Пройдя по стрелке взгляда вниз, видим, что точка, лежащая на прямой АВ находится ближе к наблюдателю, так как у нее координата у больше, поэтому в районе проекции прямая АВ видимая, а МК – невидимая. Следовательно, проекция М2К2 в точке 22 меняет свой вид с видимой на невидимую.
Точка 41 лежит на горизонтальной проекции ВС и МК. Видимой будет та прямая, которая по стрелке взгляда находится выше на фронтальной проекции, в данном случае это прямая ВС.
Нужно обратить внимание на то, что прямые АВ и ВС меняют видимость в точках пересечения с прямой NL. Линия пересечения плоскостей всегда видимая.
На рисунке 11.6 показано окончательное решение задачи, для наглядности плоскости затонированы.
Задача 11.2. Построить линию пересечения плоскостей α и β, заданных следами (рисунок 11.7). Определить видимость плоскостей.
Решение.
Поскольку следы плоскости – это прямые, принадлежащие этой плоскости, а точки пересечения 1 и 2 одноименных проекций следов являются общими для обеих плоскостей, то очевидно, что результат пересечения плоскостей – это прямая, проходящая через эти точки. На эпюре Монжа определяем фронтальные и горизонтальные проекции точек 1 и 2 (рисунок 11.8).
Как видно на рисунке 11.8, горизонтальная проекция точки 1, являющейся точкой пересечения фронтальных следов α и β, а также фронтальная проекция точки 2 – лежат она оси х, поскольку сами прямые принадлежат плоскостям проекций. Соединив одноименные проекции точек 1 и 2, получим линию пересечения плоскостей (рисунок 11.9).
Определив видимость плоскостей в проекциях, получим окончательное решение задачи (рисунок 11.10)