Найти тему
Vseznayka
368 подписчиков

Практика. Математика. Пределы (lim). Правило Лопиталя.

1737
1 мин
Сегодняшняя практика будет связана с пределами, как вы уже поняли из названия. Будет она связана с правилом Лопиталя. Нет таких студентов, кто сталкивался хоть раз с "вышматом" и не слышал про него. Это правило спасло десятки тысяч студентов по всему миру, во время экзаменов, контрольных, самостоятельных... Стоит и нам с ним познакомиться и крепко подружиться. Не будем растягивать вступление, поскорее перейдём к небольшой теории, а чуть позже к самой практике.

Первым делом нужно дать определение: Правило Лопиталя гласит - предел отношения двух функций, равен пределу отношения производных этих функций при "x" стремящемся к "x0 (икс нулевое)", при неопределённости вида: "ноль делённый на ноль" и "бесконечность делённая на бесконечность".

Вторым делом запишем математическую запись этого правила:

Да-да, придётся вспомнить производные.
Да-да, придётся вспомнить производные.

С теорией достаточно, всё что нам нужно мы выписали. Пора попрактиковаться. И первый пример у нас на сегодня будет:

Посмотрели на пример, подставили вместо "х" бесконечность, выявили вид неопределённости, у нас "бесконечность делённая на бесконечность", значит можно использовать правило Лопиталя, берём производную от числителя и от знаменателя, вычислили, записали в виде предела, далее подставляем бесконечность, опять получилась неопределённость, значит второй раз берём производные, после второго раза у нас осталась под пределом константа, следовательно это и будет ответом, так как "иксов" у нас больше нет.
Посмотрели на пример, подставили вместо "х" бесконечность, выявили вид неопределённости, у нас "бесконечность делённая на бесконечность", значит можно использовать правило Лопиталя, берём производную от числителя и от знаменателя, вычислили, записали в виде предела, далее подставляем бесконечность, опять получилась неопределённость, значит второй раз берём производные, после второго раза у нас осталась под пределом константа, следовательно это и будет ответом, так как "иксов" у нас больше нет.

Надеюсь после первого примера никто не испугался. На самом деле такое часто бывает, что после применения нашего правила один раз, мы не избавляемся от неопределённости и приходится несколько раз брать эти изнуряющие производные. Посмотрим на второй пример, только промежуточными выкладками ограничимся на этот раз:

Первое что тут заметно, так это "синус квадрат" который можно расписать через "косинус двойного угла", мы это и сделали. Подставляем "x=0", определяем вид неопределённости, выяснили, взяли производную числителя и знаменателя, подставили ещё раз, опять неопределённость, берём второй раз производную, подставляем ноль, вот теперь неопределённости нет, подсчитываем всё и записываем ответ.
Первое что тут заметно, так это "синус квадрат" который можно расписать через "косинус двойного угла", мы это и сделали. Подставляем "x=0", определяем вид неопределённости, выяснили, взяли производную числителя и знаменателя, подставили ещё раз, опять неопределённость, берём второй раз производную, подставляем ноль, вот теперь неопределённости нет, подсчитываем всё и записываем ответ.

Слишком похожие примеры решаем, нужно что-нибудь более интересное. Рассмотрим пример такого характера:

Этот вид неопределённости нельзя раскрыть с помощью правила Лопиталя. Как же быть? Нужно преобразовать нашу функцию таким образом, чтобы получилась неопределённость нужного нам вида.
Этот вид неопределённости нельзя раскрыть с помощью правила Лопиталя. Как же быть? Нужно преобразовать нашу функцию таким образом, чтобы получилась неопределённость нужного нам вида.

Приступим...

Мы просто отправили один из натуральных логарифмов в знаменатель знаменателя, таким образом получили нужную нам неопределённость, дальше вычислили производную, преобразовали четырёхэтажную дробь, подставили четвёрку, получили неопределённость, опять преобразовали дробь, теперь уже бесконечность на бесконечность неопределённость, опять берём производную числителя и знаменателя...
Мы просто отправили один из натуральных логарифмов в знаменатель знаменателя, таким образом получили нужную нам неопределённость, дальше вычислили производную, преобразовали четырёхэтажную дробь, подставили четвёрку, получили неопределённость, опять преобразовали дробь, теперь уже бесконечность на бесконечность неопределённость, опять берём производную числителя и знаменателя...

Вы наверно заметили что решение может получиться неожиданно большим, на деле же можно пользоваться различными методами устранения неопределённости, мы использовали лишь свойства дробей и ничего более, чтобы убедиться в том, что метод действительно работает (бывает не всегда).

Иногда не просто осваивать что-то новое, за-то после получения нового знания, мы можем попытаться применить его в нужном русле, именно так мы сегодня и поработали, связали теорию с практикой. На практике оказалось сложней чем обычно, но мы справились, с чем всех и поздравляю. Оставляйте в комментариях свои примеры и не только. Спасибо за внимание.

Другие темы:

6